Álgebra de Zinbiel

En matemáticas , un álgebra de Zinbiel o álgebra dual de Leibniz es un módulo sobre un anillo conmutativo con un producto bilineal que satisface la identidad definitoria:

${\displaystyle (a\circ b)\circ c=a\circ (b\circ c)+a\circ (c\circ b).}$

Las álgebras de Zinbiel fueron introducidas por Jean-Louis Loday  (1995). El nombre fue propuesto por Jean-Michel Lemaire por ser "opuesto" al álgebra de Leibniz . ^[1]

En cualquier álgebra de Zinbiel, el producto simetrizado

${\displaystyle a\star b=a\circ b+b\circ a}$

es asociativo​

Un álgebra de Zinbiel es el concepto dual de Koszul de un álgebra de Leibniz. El álgebra de Zinbiel libre sobre V es el álgebra tensorial con producto

${\displaystyle (x_{0}\otimes \cdots \otimes x_{p})\circ (x_{p+1}\otimes \cdots \otimes x_{p+q})=x_{0}\sum _{(p,q)}(x_{1},\ldots ,x_{p+q}),}$

donde la suma es sobre todas las mezclas . ^[1] ${\displaystyle (p,q)}$

Referencias

1. Loday 2001, pág. 45

• Dzhumadil'daev, AS; Tulenbaev, KM (2005). "Nilpotencia de las álgebras de Zinbiel". J.Dyn. Sistema de control . 11 (2): 195–213.
• Ginzburg, Victor ; Kapranov, Mikhail (1994). "Dualidad de Koszul para operadas". Duke Mathematical Journal . 76 : 203–273. arXiv : 0709.1228 . doi :10.1215/s0012-7094-94-07608-4. MR  1301191.
• Loday, Jean-Louis (1995). "Producto de copa para cohomología de Leibniz y álgebras duales de Leibniz" (PDF) . Math. Scand . 77 (2): 189–196.
• Loday, Jean-Louis (2001). Dialgebras y operaciones relacionadas. Apuntes de matemáticas. Vol. 1763. Springer Verlag . Págs. 7–66.
• Zinbiel, Guillaume W. (2012), "Enciclopedia de tipos de álgebras 2010", en Guo, Li; Bai, Chengming; Loday, Jean-Louis (eds.), Operadas y álgebra universal, Nankai Series in Pure, Applied Mathematics and Theoretical Physics, vol. 9, págs. 217–298, arXiv : 1101.0267 , Bibcode :2011arXiv1101.0267Z, ISBN 9789814365116