Álgebra geométrica conforme

El álgebra geométrica conforme ( CGA ) es el álgebra geométrica construida sobre el espacio resultante de un mapa desde puntos en un espacio base n -dimensional R ^{p , q} hasta vectores nulos en R ^{p +1, q +1} . Esto permite representar operaciones en el espacio base, incluidas reflexiones, rotaciones y traslaciones, utilizando versores del álgebra geométrica; y se descubre que puntos, líneas, planos, círculos y esferas obtienen representaciones particularmente naturales y computacionalmente susceptibles.

El efecto del mapeo es que las k -esferas generalizadas (es decir, incluyendo curvatura cero) en el espacio base se mapean en ( k + 2) - láminas , de modo que el efecto de una traslación (o cualquier mapeo conforme ) del espacio base corresponde a una rotación en el espacio de dimensiones superiores. En el álgebra de este espacio, basada en el producto geométrico de vectores, tales transformaciones corresponden a las operaciones sándwich características del álgebra, similares al uso de cuaterniones para la rotación espacial en 3D , que se combinan de manera muy eficiente. Una consecuencia de que los rotores representen transformaciones es que las representaciones de esferas, planos, círculos y otros objetos geométricos, y las ecuaciones que los conectan, se transforman todas de forma covariante. Un objeto geométrico (una k -esfera) se puede sintetizar como el producto de cuña de k + 2 vectores linealmente independientes que representan puntos del objeto; por el contrario, el objeto se puede descomponer como el producto de cuña repetido de vectores que representan k + 2 puntos distintos en su superficie. Algunas operaciones de intersección también adquieren una forma algebraica ordenada: por ejemplo, para el espacio base euclidiano R ³ , aplicar el producto de cuña al dual de los tetravectores que representan dos esferas produce el dual de la representación trivectorial de su círculo de intersección.

Como esta estructura algebraica se presta directamente a un cálculo eficaz, facilita la exploración de los métodos clásicos de geometría proyectiva y geometría inversiva en un entorno concreto y fácil de manipular. También se ha utilizado como una estructura eficiente para representar y facilitar los cálculos en la teoría de tornillos . CGA se ha aplicado particularmente en relación con el mapeo proyectivo del espacio euclidiano cotidiano R ³ en un espacio vectorial de cinco dimensiones R ^4,1 , que se ha investigado para aplicaciones en robótica y visión por computadora. Se puede aplicar generalmente a cualquier espacio pseudoeuclidiano ; por ejemplo, del espacio de Minkowski R ^3,1 al espacio R ^4,2 .

Construcción de CGA

Notación y terminología

En este artículo, la atención se centra en el álgebra, ya que es esta álgebra en particular la que ha sido objeto de mayor atención a lo largo del tiempo; Otros casos se tratan brevemente en una sección separada. El espacio que contiene los objetos que se modelan se denomina aquí espacio base , y el espacio algebraico utilizado para modelar estos objetos como representación o espacio conforme . Un subespacio homogéneo se refiere a un subespacio lineal del espacio algebraico. ${\displaystyle {\mathcal {G}}(4,1)}$

Los términos para objetos: punto , línea , círculo , esfera , cuasiesfera , etc. se utilizan para referirse al objeto geométrico en el espacio base o al subespacio homogéneo del espacio de representación que representa ese objeto, siendo este último el que generalmente se entiende. salvo que se indique lo contrario. ^[a] Algebraicamente, se utilizará cualquier elemento nulo distinto de cero del subespacio homogéneo, y un elemento se denominará normalizado según algún criterio.

Las letras latinas minúsculas y negrita se utilizan para representar vectores de posición desde el origen hasta un punto en el espacio base. Los símbolos en cursiva se utilizan para otros elementos del espacio de representación.

Espacios de base y representación

El espacio base R ³ se representa extendiendo una base para los desplazamientos desde un origen elegido y agregando dos vectores base e ₋ y e ₊ ortogonales al espacio base y entre sí, con e ₋ ² = −1 y e ₊ ² = +1 , creando el espacio de representación . ${\displaystyle {\mathcal {G}}(4,1)}$

Es conveniente utilizar dos vectores nulos n _o y n _∞ como vectores base en lugar de e ₊ y e ₋ , donde n _o = ( e ₋ − e ₊ )/2 , y n _∞ = e ₋ + e ₊ . Se puede verificar, donde x está en el espacio base, que:

${\displaystyle {\begin{array}{lllll}{n_{\text{o}}}^{2}&=0\qquad n_{\text{o}}\cdot n_{\infty }&=-1\qquad &n_{\text{o}}\cdot \mathbf {x} &=0\\{n_{\infty }}^{2}&=0\qquad n_{\text{o}}\wedge n_{\infty }&=e_{-}e_{+}\qquad &n_{\infty }\cdot \mathbf {x} &=0\end{array}}}$

Estas propiedades conducen a las siguientes fórmulas para los coeficientes del vector base de un vector general r en el espacio de representación para una base con elementos e _i ortogonales a todos los demás elementos de la base:

El coeficiente de n _o para r es − n _∞ ⋅ r

El coeficiente de n _∞ para r es − n _o ⋅ r

El coeficiente de e _i para r es e _i ⁻¹ ⋅ r .

Mapeo entre el espacio base y el espacio de representación.

El mapeo de un vector en el espacio base (desde el origen hasta un punto en el espacio afín representado) viene dado por la fórmula: ^[b]

${\displaystyle g:\mathbf {x} \mapsto n_{\text{o}}+\mathbf {x} +{\tfrac {1}{2}}\mathbf {x} ^{2}n_{\infty }}$

Los puntos y otros objetos que difieren sólo por un factor escalar distinto de cero se asignan al mismo objeto en el espacio base. Cuando se desea la normalización, como para generar un mapa inverso simple de un punto desde el espacio de representación al espacio base o para determinar distancias, se puede usar la condición g ( x ) ⋅ n _∞ = −1 .

Cambio de normalización: mapeo del cono nulo del hiperplano r ⋅ ( n _∞ − n _o ) = 1 al hiperplano r ⋅ n _∞ = −1 .

El mapeo directo es equivalente a:

• primero proyectando conformemente x desde e ₁₂₃ sobre una unidad de 3 esferas en el espacio e ₊ ∧ e ₁₂₃ (en 5-D esto está en el subespacio r ⋅ (− n _o −1/2norte _∞ ) = 0 );
• luego levante esto a un espacio proyectivo, uniendo e _– = 1 , e identificando todos los puntos en el mismo rayo desde el origen (en 5-D esto está en el subespacio r ⋅ (− n _o −1/2norte _∞ ) = 1 );
• luego cambie la normalización, de modo que el plano para la proyección homogénea esté dado por la coordenada n _o que tiene un valor 1 , es decir, r ⋅ n _∞ = −1 .

mapeo inverso

Una aplicación inversa para X en el cono nulo está dada (ecuación de Perwass 4.37) por

${\displaystyle X\mapsto {\mathcal {P}}_{n_{\infty }\wedge n_{\text{o}}}^{\perp }\left({\frac {X}{-X\cdot n_{\infty }}}\right)}$

Esto primero da una proyección estereográfica desde el cono de luz sobre el plano r ⋅ n _∞ = −1 , y luego descarta las partes n _o y n _∞ , de modo que el resultado general es mapear todos los puntos equivalentes αX = α ( n _o + x +1/2x ² norte _∞ ) a x .

Origen y punto en el infinito.

El punto x = 0 en R ^{p , q} se asigna a n _o en R ^{p +1, q +1} , por lo que n _o se identifica como el vector (de representación) del punto en el origen.

Un vector en R ^{p +1, q +1} con un coeficiente n _∞ distinto de cero , pero un coeficiente n _o cero, debe (considerando el mapa inverso) ser la imagen de un vector infinito en R ^{p , q} . La dirección n _∞ por lo tanto representa el punto (conforme) en el infinito . Esto motiva los subíndices _o y _∞ para identificar los vectores de base nula.

La elección del origen es arbitraria: se puede elegir cualquier otro punto, ya que la representación es de un espacio afín . El origen simplemente representa un punto de referencia y es algebraicamente equivalente a cualquier otro punto. Como ocurre con cualquier traducción, cambiar el origen corresponde a una rotación en el espacio de representación.

Objetos geométricos

Base

Junto con y , estas son las 32 hojas básicas del álgebra. El origen de la punta plana se escribe como un producto exterior porque el producto geométrico es de grado mixto.( ). ${\displaystyle I_{5}=e_{123}E}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle E=e_{+}e_{-}}$

Como la solución de un par de ecuaciones.

Dada cualquier hoja A distinta de cero del espacio de representación, el conjunto de vectores que son soluciones a un par de ecuaciones homogéneas de la forma ^[3]

${\displaystyle X^{2}=0}$

${\displaystyle X\wedge A=0}$

es la unión de subespacios 1-d homogéneos de vectores nulos y, por tanto, es una representación de un conjunto de puntos en el espacio base. Esto lleva a la elección de una hoja A como una forma útil de representar una clase particular de objetos geométricos. Los casos específicos para la pala A (independiente del número de dimensiones del espacio) cuando el espacio base es un espacio euclidiano son:

• un escalar: el conjunto vacío
• un vector: un solo punto
• un bivector: un par de puntos
• un trivector: un círculo generalizado
• un 4 vectores: una esfera generalizada
• etc.

Cada uno de estos puede dividirse en tres casos según si A ² es positivo, cero o negativo, correspondiente (en orden inverso en algunos casos) al objeto enumerado, un caso degenerado de un solo punto o ningún punto (donde las soluciones distintas de cero de X ∧ A excluye vectores nulos).

Los objetos geométricos enumerados ( n -esferas generalizadas ) se convierten en cuasiesferas en el caso más general de que el espacio base sea pseudoeuclidiano. ^[4]

Los objetos planos pueden identificarse porque el punto del infinito se incluye en las soluciones. Así, si n _∞ ∧ A = 0 , el objeto será una línea, un plano, etc., siendo la pala A respectivamente de grado 3, 4, etc.

Como se deriva de puntos del objeto.

Una hoja A que representa uno de esta clase de objeto se puede encontrar como el producto exterior de vectores linealmente independientes que representan puntos del objeto. En el espacio base, esta independencia lineal se manifiesta como cada punto que se encuentra fuera del objeto definido por los otros puntos. Así, por ejemplo, un cuarto punto que se encuentra en el círculo generalizado definido por tres puntos distintos no puede usarse como un cuarto punto para definir una esfera.

impares

Los puntos en e ₁₂₃ se asignan al cono nulo: la parábola nula si establecemos . ${\displaystyle r\cdot n_{\infty }=-1}$

Podemos considerar el lugar geométrico de los puntos en e ₁₂₃ st en el espacio conforme , para varios tipos de objeto geométrico A. ${\displaystyle g(\mathbf {x} )\cdot A=0}$

Empezamos observando que ${\displaystyle g(\mathbf {a} )\cdot g(\mathbf {b} )=-{\tfrac {1}{2}}\|\mathbf {a} -\mathbf {b} \|^{2}}$

comparar:

• X. a = 0 => x delincuente a; x.(a∧b) = 0 => x delincuente a y x delincuente b
• x∧a = 0 => x paralela a a; x∧(a∧b) = 0 => x paralelo a a o b (o a alguna combinación lineal)

las representaciones del producto interno y del producto externo están relacionadas por dualización

x∧A = 0 <=> x . A* = 0 ( verificación : funciona si x es 1-tenue, A es n-1 tenue)

gramo(x). Una = 0

• Un punto : el lugar geométrico de x en R ³ es un punto si A en R ^4,1 es un vector sobre el cono nulo.

(Tenga en cuenta que, debido a que es un espacio proyectivo homogéneo, los vectores de cualquier longitud en un rayo que pasa por el origen son equivalentes, por lo que g(x).A =0 es equivalente a g(x).g(a) = 0).

• Una esfera : el lugar geométrico de x es una esfera si A = S, un vector del cono nulo.

Si

$${\displaystyle \mathbf {S} =g(\mathbf {a} )-{\tfrac {1}{2}}\rho ^{2}\mathbf {e} _{\infty }}$$

entonces S.​ X = 0 => ${\displaystyle -{\tfrac {1}{2}}(\mathbf {a} -\mathbf {x} )^{2}+{\tfrac {1}{2}}\rho ^{2}=0}$

estos son los puntos correspondientes a una esfera

para un vector S fuera del cono nulo, ¿qué direcciones son hiperbólicamente ortogonales? (cf. imagen de transformación de Lorentz)

en 2+1 D, si S es (1,a,b), (usando las coordenadas e-, {e+, e _i }), los puntos hiperbólicamente ortogonales a S son aquellos euclidianamente ortogonales a (-1,a, b)—es decir, un avión; o en n dimensiones, un hiperplano que pasa por el origen. Esto cortaría otro plano que no pasa por el origen en una línea (una hipersuperficie en una superficie n -2), y luego el cono en dos puntos (resp. algún tipo de superficie cónica n -3). Entonces probablemente se verá como una especie de cónica. Esta es la superficie que es la imagen de una esfera bajo g .

• Un plano : el lugar geométrico de x es un plano si A = P , un vector con componente nula _cero . En un espacio proyectivo homogéneo, dicho vector P representa un vector en el plano n _o =1 que estaría infinitamente lejos del origen (es decir, infinitamente lejos fuera del cono nulo), por lo que g(x).P =0 corresponde a x en una esfera de radio infinito, un plano.

En particular:

• ${\displaystyle \mathbf {P} ={\hat {\mathbf {a} }}+\alpha \mathbf {e} _{\infty }}$corresponde a x en un plano con normalidad a una distancia ortogonal α del origen. ${\displaystyle {\hat {\mathbf {a} }}}$
• ${\displaystyle \mathbf {P} =g(\mathbf {a} )-g(\mathbf {b} )}$corresponde a un plano a medio camino entre a y b , con normal a - b

• círculos
• planos tangentes
• líneas
• líneas en el infinito
• pares de puntos

Transformaciones

• reflexiones

Se puede verificar que formar P g( x ) P da una nueva dirección en el cono nulo, g( x' ), donde x' corresponde a una reflexión en el plano de los puntos p en R ³ que satisfacen g( p ) . P = 0.

g( x ). A = 0 => Pg ( x ). A P = 0 => P g( x ) P . P A P (y de manera similar para el producto cuña), por lo que el efecto de aplicar P en forma de sándwich a cualquiera de las cantidades A en la sección anterior es reflejar de manera similar el lugar geométrico correspondiente de los puntos x , por lo que los correspondientes círculos, esferas, líneas y Los planos correspondientes a tipos particulares de A se reflejan exactamente de la misma manera que la aplicación de P a g( x ) refleja un punto x .

Esta operación de reflexión se puede utilizar para construir traslaciones y rotaciones generales:

• traducciones

La reflexión en dos planos paralelos da una traslación,

${\displaystyle g(\mathbf {x} ^{\prime })=\mathbf {P} _{\beta }\mathbf {P} _{\alpha }\;g(\mathbf {x} )\;\mathbf {P} _{\alpha }\mathbf {P} _{\beta }}$

Si y entonces ${\displaystyle \mathbf {P} _{\alpha }={\hat {\mathbf {a} }}+\alpha \mathbf {e} _{\infty }}$ ${\displaystyle \mathbf {P} _{\beta }={\hat {\mathbf {a} }}+\beta \mathbf {e} _{\infty }}$ ${\displaystyle \mathbf {x} ^{\prime }=\mathbf {x} +2(\beta -\alpha ){\hat {\mathbf {a} }}}$

• rotaciones

${\displaystyle g(\mathbf {x} ^{\prime })={\hat {\mathbf {b} }}{\hat {\mathbf {a} }}\;g(\mathbf {x} )\;{\hat {\mathbf {a} }}{\hat {\mathbf {b} }}}$corresponde a una x' que gira alrededor del origen en un ángulo 2 θ donde θ es el ángulo entre a y b , el mismo efecto que tendría este rotor si se aplicara directamente a x .

• rotaciones generales

Las rotaciones alrededor de un punto general se pueden lograr trasladando primero el punto al origen, luego rotando alrededor del origen y luego trasladando el punto de regreso a su posición original, es decir, un intercalado por parte del operador de modo que ${\displaystyle \mathbf {TR{\tilde {T}}} }$

${\displaystyle g({\mathcal {G}}x)=\mathbf {TR{\tilde {T}}} \;g(\mathbf {x} )\;\mathbf {T{\tilde {R}}{\tilde {T}}} }$

• tornillos

El efecto de un tornillo , o motor , (una rotación alrededor de un punto general, seguida de una traslación paralela al eje de rotación) se puede lograr intercalando g( x ) por parte del operador . ${\displaystyle \mathbf {M} =\mathbf {T_{2}T_{1}R{\tilde {T_{1}}}} }$

M también se puede parametrizar ( teorema de Chasles ) ${\displaystyle \mathbf {M} =\mathbf {T^{\prime }R^{\prime }} }$

• inversiones

una inversión es un reflejo en una esfera; en geometría inversa se analizan varias operaciones que se pueden lograr utilizando tales inversiones . En particular, la combinación de inversión junto con las transformaciones euclidianas, traslación y rotación, es suficiente para expresar cualquier mapeo conforme , es decir, cualquier mapeo que preserve universalmente los ángulos. ( Teorema de Liouville ).

• dilataciones

dos inversiones con el mismo centro producen una dilatación .

Generalizaciones

Historia

Congresos y revistas

Existe una comunidad vibrante e interdisciplinaria en torno a Clifford y las álgebras geométricas con una amplia gama de aplicaciones. Las principales conferencias en esta materia incluyen la serie International Conference on Clifford Algebras and its Applications in Mathematical Physics (ICCA) y Aplicaciones del álgebra geométrica en informática e ingeniería (AGACSE). Un medio de publicación principal es la revista Springer Advances in Applied Clifford Algebras .

Notas

1. Para mayor claridad, este subespacio homogéneo incluye vectores no nulos, que no corresponden a ningún punto del espacio base.
2. El mapeo también se puede escribir F  : x → −( x − e ₊ ) n _∞ ( x − e ₊ ) , como se indica en Hestenes y Sobczyk (1984), p.303. ^[1] La equivalencia de las dos formas se observa en Lasenby y Lasenby (2000). ^[2]

Referencias

1. Hestenes, David y Garret Sobczyk (1984), Desde el álgebra de Clifford hasta el cálculo geométrico: un lenguaje unificado para las matemáticas y la física . Dordrecht: Reidel; págs. 302–303.
2. Lasenby, AN y Lasenby, J (2000), Evolución y representación de superficies mediante álgebra geométrica; en The Mathematics of Surfaces IX: the 9th IMA Conference, Cambridge, 4 a 7 de septiembre de 2000 , págs. 144-168
3. Chris Doran (2003), Combinación de círculos y esferas con álgebra geométrica conforme
4. Jayme Vaz, hijo; Roldão da Rocha, Jr. (2016). Introducción a las álgebras y espinores de Clifford . Prensa de la Universidad de Oxford. pag. 140.ISBN​ 9780191085789.

Bibliografía

Libros

• Hestenes et al (2000), en G. Sommer (ed.), Computación geométrica con Clifford Algebra . Springer Verlag. ISBN 3-540-41198-4 (libros de Google) (http://geocalc.clas.asu.edu/html/UAFCG.html sitio web de Hestenes)  
  • Cap. 1: Nuevas herramientas algebraicas para la geometría clásica
  • Cap. 2: Coordenadas homogéneas generalizadas para geometría computacional
  • Cap. 3: Geometría conforme esférica con álgebra geométrica
  • Cap. 4: Un modelo universal para geometrías conformes de espacios euclidianos, esféricos y doble hiperbólicos
• Hestenes (2001), en E. Bayro-Corrochano & G. Sobczyk (eds.), Avances en álgebra geométrica con aplicaciones en ciencia e ingeniería , Springer Verlag. ISBN 0-8176-4199-8 libros de Google  
  • Vino añejo en botellas nuevas (págs. 1 a 14)
• Hestenes (2010), en E. Bayro-Corrochano y G. Scheuermann (2010), Computación con álgebra geométrica en ingeniería e informática . Springer Verlag. ISBN 1-84996-107-7 (libros de Google).  
  • Nuevas herramientas para la geometría computacional y rejuvenecimiento de la teoría del tornillo
• Doran, C. y Lasenby, A. (2003), Álgebra geométrica para físicos , Cambridge University Press. ISBN 0-521-48022-1 §10.2; pag. 351 y siguientes 
• Dorst, L. et al (2007), Álgebra geométrica para informática , Morgan-Kaufmann. ISBN 0-12-374942-5 Capítulo 13; pag. 355 y siguientes 
• Vince, J. (2008), Álgebra geométrica para gráficos por computadora , Springer Verlag. ISBN 1-84628-996-3 Capítulo 11; pag. 199 y siguientes 
• Perwass, C. (2009), Álgebra geométrica con aplicaciones en ingeniería , Springer Verlag. ISBN 3-540-89067-X §4.3: pág. 145 y siguientes 
• Bayro-Corrochano, E. y Scheuermann G. (2010, eds.), Computación con álgebra geométrica en ingeniería e informática . Springer Verlag. ISBN 1-84996-107-7 págs. 3–90 
• Bayro-Corrochano (2010), Computación Geométrica para Transformadas Wavelet, Visión de Robot, Aprendizaje, Control y Acción . Springer Verlag. ISBN 1-84882-928-0 Capítulo 6; págs. 149–183 
• Dorst, L. y Lasenby, J. (2011, eds.), Guía de álgebra geométrica en la práctica . Springer Verlag, págs. 3–252. ISBN 978-0-85729-810-2 . 
• Dietmar Hildenbrand (2013). Fundamentos de la computación con álgebra geométrica . Medios de ciencia y negocios de Springer. ISBN 978-3-642-31793-4.

Recursos en línea

• Wareham, R. (2006), Gráficos por computadora utilizando álgebra geométrica conforme , tesis doctoral, Universidad de Cambridge, págs. 14–26, 31–67
• Bromborsky, A. (2008), Geometría conforme mediante álgebra geométrica (diapositivas en línea)
• Dell'Acqua, A. et al (2008), Movimiento 3D a partir de estructuras de puntos, líneas y planos, Image and Vision Computing , 26 529–549
• Dorst, L. (2010), Tutorial: Representación de movimientos euclidianos que preservan la estructura mediante álgebra geométrica conforme, en E. Bayro-Corrochano, G. Scheuermann (eds.), Computación de álgebra geométrica , Springer Verlag.
• Colapinto, P. (2011), Computación espacial VERSOR con álgebra geométrica conforme, tesis de maestría, Universidad de California en Santa Bárbara
• Macdonald, A. (2013), Un estudio de álgebra geométrica y cálculo geométrico. (Notas en línea) §4.2: p. 26 y siguientes.
• en el álgebra motora sobre R ⁿ⁺¹ :
  • Eduardo Bayro Corrochano (2001), Computación geométrica para sistemas de percepción acción: Conceptos, algoritmos y aplicaciones científicas . (Libros de Google)