En matemáticas y física teórica , una cuasiesfera es una generalización de la hiperesfera y el hiperplano al contexto de un espacio pseudoeuclidiano . Puede describirse como el conjunto de puntos para los cuales la forma cuadrática del espacio aplicado al vector de desplazamiento desde un punto central es un valor constante, con la inclusión de hiperplanos como caso límite.
Este artículo utiliza la siguiente notación y terminología:
Una cuasiesfera es una subvariedad de un espacio pseudoeuclidiano E s , t que consta de los puntos u para los cuales el vector de desplazamiento x = u − o desde un punto de referencia o satisface la ecuación
donde a , c ∈ R y b , x ∈ R s , t . [2] [d]
Dado que a = 0 está permitido, esta definición incluye hiperplanos; es, por tanto, una generalización de círculos generalizados y sus análogos en cualquier número de dimensiones. Esta inclusión proporciona una estructura más regular bajo transformaciones conformes que si se omiten.
Esta definición se ha generalizado a espacios afines sobre números complejos y cuaterniones reemplazando la forma cuadrática por una forma hermitiana . [3]
Una cuasiesfera P = { x ∈ X : Q ( x ) = k } en un espacio cuadrático ( X , Q ) tiene una contraesfera N = { x ∈ X : Q ( x ) = − k } . [e] Además, si k ≠ 0 y L es una línea isotrópica en X hasta x = 0 , entonces L ∩ ( P ∪ N ) = ∅ , perforando la unión de cuasiesfera y contraesfera. Un ejemplo es la hipérbola unitaria que forma una cuasiesfera del plano hiperbólico , y su hipérbola conjugada , que es su contraesfera.
El centro de una cuasiesfera es un punto que tiene el mismo cuadrado escalar desde cada punto de la cuasiesfera, el punto en el que se encuentran el lápiz de líneas normales a los hiperplanos tangentes. Si la cuasiesfera es un hiperplano, el centro es el punto en el infinito definido por este lápiz.
Cuando a ≠ 0 , el vector de desplazamiento p del centro desde el punto de referencia y el cuadrado escalar radial r se pueden encontrar de la siguiente manera. Ponemos Q ( x − p ) = r , y comparando con la ecuación que define arriba para una cuasiesfera, obtenemos
El caso de a = 0 puede interpretarse como que el centro p es un punto bien definido en el infinito con un cuadrado escalar radial infinito o cero (este último para el caso de un hiperplano nulo). Sin embargo, conocer p (y r ) en este caso no determina la posición del hiperplano, solo su orientación en el espacio.
El cuadrado escalar radial puede tomar un valor positivo, cero o negativo. Cuando la forma cuadrática es definida, aunque p y r pueden determinarse a partir de las expresiones anteriores, el conjunto de vectores x que satisfacen la ecuación definitoria puede estar vacío, como es el caso en un espacio euclidiano para un cuadrado escalar radial negativo.
Cualquier par de puntos, que no necesitan ser distintos (incluida la opción de que hasta uno de ellos sea un punto en el infinito) define el diámetro de una cuasiesfera. La cuasiesfera es el conjunto de puntos para los cuales los dos vectores de desplazamiento de estos dos puntos son ortogonales.
Cualquier punto puede seleccionarse como centro (incluido un punto en el infinito), y cualquier otro punto de la cuasiesfera (que no sea un punto en el infinito) define un radio de una cuasiesfera y, por tanto, especifica la cuasiesfera.
Refiriéndose a la forma cuadrática aplicada al vector de desplazamiento de un punto en la cuasiesfera desde el centro (es decir, Q ( x − p ) ) como el cuadrado escalar radial , en cualquier espacio pseudoeuclidiano las cuasiesferas se pueden separar en tres conjuntos disjuntos: aquellos con cuadrado escalar radial positivo, aquellos con cuadrado escalar radial negativo, aquellos con cuadrado escalar radial cero. [F]
En un espacio con una forma cuadrática definida positiva (es decir, un espacio euclidiano), una cuasiesfera con cuadrado escalar radial negativo es el conjunto vacío, una con cuadrado escalar radial cero consta de un solo punto, una con cuadrado escalar radial positivo es una n -esfera estándar y una con curvatura cero es un hiperplano que está dividido con las n -esferas.
