Círculo generalizado

Concepto en geometría que incluye línea y círculo.

En geometría , un círculo generalizado , a veces llamado clina o circlina , ^[1] es una línea recta o un círculo , las curvas de curvatura constante en el plano euclidiano .

El contexto natural de los círculos generalizados es el plano extendido, un plano con un punto en el infinito por el que se considera que pasa toda línea recta. Dados tres puntos distintos en el plano extendido, existe precisamente un círculo generalizado que pasa por los tres.

Los círculos generalizados aparecen a veces en la geometría euclidiana , que tiene una noción bien definida de distancia entre puntos, y donde cada círculo tiene un centro y un radio: el punto en el infinito puede considerarse infinitamente distante de cualquier otro punto, y una línea puede considerarse como un círculo degenerado sin un centro bien definido y con un radio infinito ( curvatura cero ). Una reflexión a través de una línea es una isometría euclidiana (transformación que preserva la distancia) que asigna líneas a líneas y círculos a círculos; pero una inversión en un círculo no lo es, distorsionando las distancias y asignando cualquier línea a un círculo que pasa por el centro del círculo de referencia, y viceversa.

Sin embargo, los círculos generalizados son fundamentales para la geometría inversa , en la que los círculos y las líneas se consideran indistinguibles, el punto en el infinito no se distingue de ningún otro punto y se ignoran las nociones de curvatura y distancia entre puntos. En la geometría inversa, las reflexiones, las inversiones y, de manera más general, sus composiciones , llamadas transformaciones de Möbius , asignan círculos generalizados a círculos generalizados y preservan las relaciones inversas entre los objetos.

El plano extendido puede identificarse con la esfera mediante una proyección estereográfica . El punto en el infinito se convierte entonces en un punto ordinario sobre la esfera, y todos los círculos generalizados se convierten en círculos sobre la esfera.

Plano complejo extendido

Un círculo en el plano complejo especificado como una ecuación implícita en términos de centro y radio.

El plano euclidiano extendido se puede identificar con el plano complejo extendido , de modo que las ecuaciones de números complejos se pueden utilizar para describir líneas, círculos e inversiones.

Ecuación lineal bivariada

Un círculo es el conjunto de puntos en un plano que se encuentran en un radio desde un punto central. ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \gamma .}$

${\displaystyle \Gamma (\gamma ,r)=\{z:{\text{the distance between }}z{\text{ and }}\gamma {\text{ is }}r\}}$

En el plano complejo , es un número complejo y es un conjunto de números complejos. Utilizando la propiedad de que un número complejo multiplicado por su conjugado es el cuadrado de su módulo (su distancia euclidiana desde el origen), una ecuación implícita para es: ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \Gamma }$

${\displaystyle {\begin{aligned}r^{2}&=\left|z-\gamma \right|^{2}=(z-\gamma ){\overline {(z-\gamma )}}\\[5mu]0&=z{\bar {z}}-{\bar {\gamma }}z-\gamma {\bar {z}}+\left(\gamma {\bar {\gamma }}-r^{2}\right).\end{aligned}}}$

Esta es una ecuación polinomial lineal bivariada homogénea en términos de la variable compleja y su conjugado de la forma ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle {\bar {z}},}$

${\displaystyle Az{\bar {z}}+Bz+C{\bar {z}}+D=0,}$

donde los coeficientes y son reales , y y son conjugados complejos . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle C}$

Al dividir por y luego invertir los pasos anteriores, se puede recuperar el radio y el centro de cualquier ecuación de esta forma. La ecuación representa un círculo generalizado en el plano cuando es real, lo que ocurre cuando de modo que el radio al cuadrado es positivo. Cuando es cero, la ecuación define una línea recta. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle AD<BC}$ ${\displaystyle r^{2}=(BC-AD)/A^{2}}$ ${\displaystyle A}$

Recíproco complejo

Es fácil verificar que la transformación recíproca asigna círculos generalizados a círculos generalizados: ${\displaystyle z\mapsto w=1/z}$

${\displaystyle {\begin{aligned}0&=Az{\bar {z}}+Bz+C{\bar {z}}+D\\[5mu]&={\frac {A}{w{\bar {w}}}}+{\frac {B}{w}}+{\frac {C}{\bar {w}}}+D\\[5mu]&=A+B{\bar {w}}+Cw+Dw{\bar {w}}\\[5mu]&=D{\bar {w}}w+Cw+B{\bar {w}}+A.\end{aligned}}}$

Las líneas que pasan por el origen ( ) ${\displaystyle A=D=0}$ se asignan a líneas que pasan por el origen; las líneas que no pasan por el origen ( ) ${\displaystyle A=0,D\neq 0}$ se asignan a círculos que pasan por el origen; los círculos que pasan por el origen ( ) ${\displaystyle A\neq 0,D=0}$ se asignan a líneas que no pasan por el origen; y los círculos que no pasan por el origen ( ) ${\displaystyle A\neq 0,D\neq 0}$ se asignan a círculos que no pasan por el origen.

Representación matricial compleja

La ecuación definitoria de un círculo generalizado

${\displaystyle 0=Az{\bar {z}}+Bz+C{\bar {z}}+D}$

se puede escribir como una ecuación matricial

${\displaystyle 0={\begin{pmatrix}z&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}{\bar {z}}\\1\end{pmatrix}}.}$

Simbólicamente,

${\displaystyle 0=\mathbf {z} ^{\text{T}}{\mathfrak {C}}\,{\bar {\mathbf {z} }},}$

con coeficientes colocados en una matriz hermítica invertible que representa el círculo y un vector que representa un número complejo extendido. ${\displaystyle {\mathfrak {C}}={\mathfrak {C}}^{\dagger }}$ ${\displaystyle \mathbf {z} ={\begin{pmatrix}z&1\end{pmatrix}}^{\text{T}}}$

Dos de estas matrices especifican el mismo círculo generalizado si y sólo si una es un múltiplo escalar de la otra.

Para transformar el círculo generalizado representado por la transformación de Möbius, aplique la inversa de la transformación de Möbius al vector en la ecuación implícita, ${\displaystyle {\mathfrak {C}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {H}},}$ ${\displaystyle {\mathfrak {G}}={\mathfrak {H}}^{-1}}$ ${\displaystyle \mathbf {z} }$

${\displaystyle {\begin{aligned}0&=\left({\mathfrak {G}}\mathbf {z} \right)^{\text{T}}{\mathfrak {C}}\,{\overline {({\mathfrak {G}}\mathbf {z} )}}\\[5mu]&=\mathbf {z} ^{\text{T}}\left({\mathfrak {G}}^{\text{T}}{\mathfrak {C}}{\bar {\mathfrak {G}}}\right){\bar {\mathbf {z} }},\end{aligned}}}$

Así que el nuevo círculo puede representarse mediante la matriz ${\displaystyle {\mathfrak {G}}^{\text{T}}{\mathfrak {C}}{\bar {\mathfrak {G}}}.}$

Notas

1. Hitchman, Michael P. (2009). Geometría con una introducción a la topología cósmica. Jones & Bartlett. pág. 43.

Referencias

• Hans Schwerdtfeger , Geometría de números complejos , Courier Dover Publications , 1979
• Michael Henle, "Geometría moderna: no euclidiana, proyectiva y discreta", 2.ª edición, Prentice Hall , 2001
• David W. Lyons (2021) Geometría de Möbius de LibreTexts