La geometría esférica de Lie es una teoría geométrica de geometría plana o espacial en la que el concepto fundamental es el círculo o la esfera . Fue introducida por Sophus Lie en el siglo XIX. [1] La idea principal que conduce a la geometría esférica de Lie es que las líneas (o planos) deben considerarse como círculos (o esferas) de radio infinito y que los puntos en el plano (o espacio) deben considerarse como círculos (o esferas) de radio cero.
El espacio de círculos en el plano (o esferas en el espacio), incluyendo puntos y líneas (o planos) resulta ser una variedad conocida como la cuadrática de Lie (una hipersuperficie cuadrática en el espacio proyectivo ). La geometría de esferas de Lie es la geometría de la cuadrática de Lie y las transformaciones de Lie que la preservan. Esta geometría puede ser difícil de visualizar porque las transformaciones de Lie no preservan los puntos en general: los puntos pueden transformarse en círculos (o esferas).
Para ello se estudian las curvas en el plano y las superficies en el espacio utilizando sus elevaciones de contacto , que están determinadas por sus espacios tangentes . Esto proporciona una realización natural del círculo osculador de una curva y de las esferas de curvatura de una superficie. También permite un tratamiento natural de los cíclidos de Dupin y una solución conceptual del problema de Apolonio .
La geometría esférica de Lie puede definirse en cualquier dimensión, pero el caso del plano y del espacio tridimensional son los más importantes. En este último caso, Lie notó una notable similitud entre la cuadrática de Lie de esferas en 3 dimensiones y el espacio de líneas en el espacio proyectivo tridimensional, que también es una hipersuperficie cuadrática en un espacio proyectivo de 5 dimensiones, llamada cuadrática de Plücker o de Klein . Esta similitud llevó a Lie a su famosa "correspondencia línea-esfera" entre el espacio de líneas y el espacio de esferas en el espacio tridimensional. [2]
La observación clave que conduce a la geometría de esferas de Lie es que los teoremas de la geometría euclidiana en el plano (o en el espacio) que sólo dependen de los conceptos de círculos (o esferas) y su contacto tangencial tienen una formulación más natural en un contexto más general en el que los círculos, las líneas y los puntos (o esferas, planos y puntos) se tratan en pie de igualdad. Esto se logra en tres pasos. Primero, se añade un punto ideal en el infinito al espacio euclidiano de modo que las líneas (o planos) puedan considerarse como círculos (o esferas) que pasan por el punto en el infinito (es decir, que tienen un radio infinito ). Esta extensión se conoce como geometría inversa con automorfismos conocidos como "transformaciones de Möbius". En segundo lugar, los puntos se consideran como círculos (o esferas) de radio cero. Finalmente, por razones técnicas, los círculos (o esferas), incluidas las líneas (o planos), reciben orientaciones .
Estos objetos, es decir, los puntos, círculos orientados y líneas orientadas en el plano, o los puntos, esferas orientadas y planos orientados en el espacio, a veces se denominan ciclos o ciclos de Lie. Resulta que forman una hipersuperficie cuadrática en un espacio proyectivo de dimensión 4 o 5, que se conoce como la cuadrática de Lie. Las simetrías naturales de esta cuadrática forman un grupo de transformaciones conocidas como las transformaciones de Lie. Estas transformaciones no preservan los puntos en general: son transformaciones de la cuadrática de Lie, no del plano/esfera más el punto en el infinito. Las transformaciones que preservan el punto son precisamente las transformaciones de Möbius. Las transformaciones de Lie que fijan el punto ideal en el infinito son las transformaciones de Laguerre de la geometría de Laguerre. Estos dos subgrupos generan el grupo de transformaciones de Lie, y su intersección son las transformadas de Möbius que fijan el punto ideal en el infinito, es decir, las aplicaciones conformes afines.
Estos grupos también tienen una interpretación física directa: como señaló Harry Bateman , las transformaciones esféricas de Lie son idénticas a las transformaciones esféricas de onda que dejan invariante la forma de las ecuaciones de Maxwell . Además, Élie Cartan , Henri Poincaré y Wilhelm Blaschke señalaron que el grupo de Laguerre es simplemente isomorfo al grupo de Lorentz de la relatividad especial (véase grupo de Laguerre isomorfo al grupo de Lorentz ). Finalmente, también existe un isomorfismo entre el grupo de Möbius y el grupo de Lorentz (véase grupo de Möbius#transformación de Lorentz ).
La cuádrica de Lie del plano se define de la siguiente manera. Sea R 3,2 el espacio R 5 de 5-tuplas de números reales, dotado de la forma bilineal simétrica de signatura (3,2) definida por
El espacio proyectivo R P 4 es el espacio de las rectas que pasan por el origen en R 5 y es el espacio de los vectores x distintos de cero en R 5 hasta la escala, donde x = ( x 0 , x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ). La cuádrica de Lie planar Q consiste en los puntos [ x ] en el espacio proyectivo representados por los vectores x con x · x = 0.
Para relacionar esto con la geometría plana es necesario fijar una línea temporal orientada . Las coordenadas elegidas sugieren utilizar el punto [1,0,0,0,0] ∈ R P 4 . Cualquier punto en la cuádrica de Lie Q puede entonces representarse por un vector x = λ(1,0,0,0,0) + v , donde v es ortogonal a (1,0,0,0,0). Como [ x ] ∈ Q , v · v = λ 2 ≥ 0.
El espacio ortogonal a (1,0,0,0,0), intersecado con la cuádrica de Lie, es la esfera celeste bidimensional S en el espacio-tiempo de Minkowski . Este es el plano euclidiano con un punto ideal en el infinito, que tomamos como [0,0,0,0,1]: los puntos finitos ( x , y ) en el plano están entonces representados por los puntos [ v ] = [0, x , y , −1, ( x 2 + y 2 )/2]; nótese que v · v = 0, v · (1,0,0,0,0) = 0 y v · (0,0,0,0,1) = −1.
Por lo tanto, los puntos x = λ (1,0,0,0,0) + v en la cuádrica de Lie con λ = 0 corresponden a puntos en el plano euclidiano con un punto ideal en el infinito. Por otro lado, los puntos x con λ distinto de cero corresponden a círculos orientados (o líneas orientadas, que son círculos a través del infinito) en el plano euclidiano. Esto es más fácil de ver en términos de la esfera celeste S : el círculo correspondiente a [ λ (1,0,0,0,0) + v ] ∈ Q (con λ ≠ 0) es el conjunto de puntos y ∈ S con y · v = 0. El círculo está orientado porque v / λ tiene un signo definido; [− λ (1,0,0,0,0) + v ] representa el mismo círculo con la orientación opuesta. Así, la función de reflexión isométrica x → x + 2 ( x · (1,0,0,0,0)) (1,0,0,0,0) induce una involución ρ de la cuádrica de Lie que invierte la orientación de círculos y líneas, y fija los puntos del plano (incluido el infinito).
Para resumir: existe una correspondencia uno a uno entre los puntos en la cuádrica de Lie y los ciclos en el plano, donde un ciclo es un círculo orientado (o una línea recta) o un punto en el plano (o el punto en el infinito); los puntos pueden considerarse como círculos de radio cero, pero no están orientados.
Supóngase que dos ciclos están representados por los puntos [ x ], [ y ] ∈ Q . Entonces x · y = 0 si y sólo si los ciclos correspondientes se "besan", es decir, se encuentran entre sí con contacto orientado de primer orden . Si [ x ] ∈ S ≅ R 2 ∪ {∞}, entonces esto simplemente significa que [ x ] se encuentra en el círculo correspondiente a [ y ]; este caso es inmediato a partir de la definición de este círculo (si [ y ] corresponde a un círculo de puntos entonces x · y = 0 si y sólo si [ x ] = [ y ]).
Por lo tanto, queda considerar el caso de que ni [ x ] ni [ y ] estén en S . Sin pérdida de generalidad, podemos tomar x = (1,0,0,0,0) + v e y = (1,0,0,0,0) + w , donde v y w son vectores unitarios espaciales en (1,0,0,0,0) ⊥ . Por lo tanto, v ⊥ ∩ (1,0,0,0,0) ⊥ y w ⊥ ∩ (1,0,0,0,0) ⊥ son subespacios de signatura (2,1) de (1,0,0,0,0) ⊥ . Por lo tanto, coinciden o se intersecan en un subespacio bidimensional. En el último caso, el subespacio bidimensional puede tener signatura (2,0), (1,0), (1,1), en cuyo caso los dos círculos correspondientes en S se intersecan en cero, uno o dos puntos respectivamente. Por lo tanto, tienen contacto de primer orden si y solo si el subespacio bidimensional es degenerado (signatura (1,0)), lo que se cumple si y solo si el lapso de v y w es degenerado. Por la identidad de Lagrange , esto se cumple si y solo si ( v · w ) 2 = ( v · v )( w · w ) = 1, es decir, si y solo si v · w = ± 1, es decir, x · y = 1 ± 1. El contacto está orientado si y solo si v · w = – 1, es decir, x · y = 0.
La incidencia de los ciclos en la geometría de esferas de Lie proporciona una solución sencilla al problema de Apolonio . [3] Este problema se refiere a una configuración de tres círculos distintos (que pueden ser puntos o líneas): el objetivo es encontrar todos los demás círculos (incluidos los puntos o líneas) que sean tangentes a los tres círculos originales. Para una configuración genérica de círculos, hay como máximo ocho de esos círculos tangentes.
La solución, utilizando la geometría de esferas de Lie, procede de la siguiente manera. Elija una orientación para cada uno de los tres círculos (hay ocho formas de hacer esto, pero solo hay cuatro hasta invertir la orientación de los tres). Esto define tres puntos [ x ], [ y ], [ z ] en la cuádrica de Lie Q . Por la incidencia de ciclos, una solución al problema apolíneo compatible con las orientaciones elegidas está dada por un punto [ q ] ∈ Q tal que q es ortogonal a x , y y z . Si estos tres vectores son linealmente dependientes , entonces los puntos correspondientes [ x ], [ y ], [ z ] se encuentran en una línea en el espacio proyectivo. Dado que una ecuación cuadrática no trivial tiene como máximo dos soluciones, esta línea se encuentra en realidad en la cuádrica de Lie, y cualquier punto [ q ] en esta línea define un ciclo incidente con [ x ], [ y ] y [ z ]. Por lo tanto, hay infinitas soluciones en este caso.
Si, en cambio, x , y y z son linealmente independientes, entonces el subespacio V ortogonal a los tres es bidimensional. Puede tener signatura (2,0), (1,0) o (1,1), en cuyo caso hay cero, una o dos soluciones para [ q ] respectivamente. (La signatura no puede ser (0,1) o (0,2) porque es ortogonal a un espacio que contiene más de una línea nula). En el caso de que el subespacio tenga signatura (1,0), la única solución q se encuentra en el espacio comprendido entre x , y y z .
La solución general del problema apolíneo se obtiene invirtiendo las orientaciones de algunos de los círculos, o equivalentemente, considerando las ternas ( x , ρ ( y ), z ), ( x , y , ρ ( z )) y ( x , ρ ( y ), ρ ( z )).
Obsérvese que la tripleta ( ρ ( x ), ρ ( y ), ρ ( z )) produce las mismas soluciones que ( x , y , z ), pero con una inversión general de la orientación. Por lo tanto, hay como máximo 8 círculos solución para el problema apolíneo a menos que los tres círculos se encuentren tangencialmente en un único punto, en cuyo caso hay infinitas soluciones.
Cualquier elemento del grupo O(3,2) de transformaciones ortogonales de R 3,2 mapea cualquier subespacio unidimensional de vectores nulos en R 3,2 a otro subespacio de ese tipo. Por lo tanto, el grupo O(3,2) actúa sobre la cuádrica de Lie. Estas transformaciones de ciclos se denominan "transformaciones de Lie". Conservan la relación de incidencia entre ciclos. La acción es transitiva y, por lo tanto, todos los ciclos son equivalentes de Lie. En particular, los puntos no se conservan mediante transformaciones de Lie generales. El subgrupo de transformaciones de Lie que conservan los ciclos de puntos es esencialmente el subgrupo de transformaciones ortogonales que conservan la dirección temporal elegida. Este subgrupo es isomorfo al grupo O(3,1) de transformaciones de Möbius de la esfera. También se puede caracterizar como el centralizador de la involución ρ , que es en sí misma una transformación de Lie.
Las transformaciones de Lie a menudo se pueden utilizar para simplificar un problema geométrico, transformando círculos en líneas o puntos.
El hecho de que las transformaciones de Lie no conserven los puntos en general también puede ser un obstáculo para la comprensión de la geometría esférica de Lie. En particular, la noción de curva no es invariante de Lie. Esta dificultad se puede mitigar mediante la observación de que existe una noción invariante de Lie de elemento de contacto .
Un elemento de contacto orientado en el plano es un par formado por un punto y una línea orientada (es decir, dirigida) que pasa por ese punto. El punto y la línea son ciclos incidentes. La observación clave es que el conjunto de todos los ciclos incidentes tanto con el punto como con la línea es un objeto invariante de Lie: además del punto y la línea, consta de todos los círculos que hacen contacto orientado con la línea en el punto dado. Se denomina lápiz de ciclos de Lie o, simplemente, elemento de contacto .
Obsérvese que los ciclos también son todos incidentes entre sí. En términos de la cuádrica de Lie, esto significa que un lápiz de ciclos es una línea (proyectiva) que se encuentra completamente sobre la cuádrica de Lie, es decir, es la proyectivización de un subespacio bidimensional totalmente nulo de R 3,2 : los vectores representativos de los ciclos en el lápiz son todos ortogonales entre sí.
El conjunto de todas las líneas de la cuadrática de Lie es una variedad tridimensional llamada espacio de elementos de contacto Z 3 . Las transformaciones de Lie preservan los elementos de contacto y actúan transitivamente sobre Z 3 . Para una elección dada de ciclos de puntos (los puntos ortogonales a un vector temporal elegido v ), cada elemento de contacto contiene un punto único. Esto define una función de Z 3 a la 2-esfera S 2 cuyas fibras son círculos. Esta función no es invariante de Lie, como los puntos no son invariantes de Lie.
Sea γ :[ a , b ] → R 2 una curva orientada. Entonces γ determina una función λ desde el intervalo [ a , b ] hasta Z 3 enviando t al elemento de contacto correspondiente al punto γ ( t ) y la línea orientada tangente a la curva en ese punto (la línea en la dirección γ '( t )). Esta función λ se llama elevación de contacto de γ .
De hecho, Z 3 es una variedad de contacto y la estructura de contacto es invariante de Lie. De ello se deduce que las curvas orientadas pueden estudiarse de forma invariante de Lie a través de sus elevaciones de contacto, que pueden caracterizarse, genéricamente, como curvas legendrianas en Z 3 . Más precisamente, el espacio tangente a Z 3 en el punto correspondiente a un subespacio bidimensional nulo π de R 3,2 es el subespacio de esas aplicaciones lineales (A mod π ): π → R 3,2 / π con
y la distribución de contactos es el subespacio Hom( π , π ⊥ / π ) de este espacio tangente en el espacio Hom( π , R 3,2 / π ) de mapas lineales.
De ello se deduce que una curva legendriana inmersa λ en Z 3 tiene un ciclo de Lie preferido asociado a cada punto de la curva: la derivada de la inmersión en t es un subespacio unidimensional de Hom( π , π ⊥ / π ) donde π = λ ( t ); el núcleo de cualquier elemento distinto de cero de este subespacio es un subespacio unidimensional bien definido de π , es decir, un punto en la cuádrica de Lie.
En términos más familiares, si λ es la elevación de contacto de una curva γ en el plano, entonces el ciclo preferido en cada punto es el círculo osculador . En otras palabras, después de tomar las elevaciones de contacto, gran parte de la teoría básica de las curvas en el plano es invariante de Lie.
La geometría de la esfera de Lie en n dimensiones se obtiene reemplazando R 3,2 (que corresponde a la cuádrica de Lie en n = 2 dimensiones) por R n + 1, 2 . Esto es R n + 3 equipado con la forma bilineal simétrica
La cuádrica de Lie Q n se define nuevamente como el conjunto de [ x ] ∈ R P n +2 = P( R n +1,2 ) con x · x = 0. La cuádrica parametriza esferas orientadas ( n – 1) en un espacio n -dimensional, incluyendo hiperplanos y esferas puntuales como casos límite. Nótese que Q n es una variedad (n + 1)-dimensional (las esferas están parametrizadas por su centro y radio).
La relación de incidencia se mantiene sin cambios: las esferas correspondientes a los puntos [ x ], [ y ] ∈ Q n tienen contacto orientado de primer orden si y sólo si x · y = 0. El grupo de transformaciones de Lie ahora es O(n + 1, 2) y las transformaciones de Lie preservan la incidencia de los ciclos de Lie.
El espacio de elementos de contacto es una variedad de contacto (2 n – 1)-dimensional Z 2 n – 1 : en términos de la elección dada de esferas puntuales, estos elementos de contacto corresponden a pares que consisten en un punto en el espacio n -dimensional (que puede ser el punto en el infinito) junto con un hiperplano orientado que pasa por ese punto. El espacio Z 2 n – 1 es, por lo tanto, isomorfo al fibrado cotangente proyectivizado de la n -esfera. Esta identificación no es invariante bajo transformaciones de Lie: en términos invariantes de Lie, Z 2 n – 1 es el espacio de líneas (proyectivas) en la cuádrica de Lie.
Toda hipersuperficie orientada inmersa en un espacio n -dimensional tiene una elevación de contacto con Z 2 n – 1 determinada por sus espacios tangentes orientados . Ya no hay un ciclo de Lie preferido asociado a cada punto: en su lugar, hay n – 1 ciclos de este tipo, correspondientes a las esferas de curvatura en la geometría euclidiana.
El problema de Apolonio tiene una generalización natural que involucra n + 1 hiperesferas en n dimensiones. [4]
En el caso n = 3, la cuadrática Q 3 en P( R 4,2 ) describe la geometría (de Lie) de esferas en el espacio tridimensional euclidiano. Lie notó una notable similitud con la correspondencia de Klein para líneas en el espacio tridimensional (más precisamente en R P 3 ). [2]
Supóngase [ x ], [ y ] ∈ R P 3 , con coordenadas homogéneas ( x 0 , x 1 , x 2 , x 3 ) y ( y 0 , y 1 , y 2 , y 3 ). [5] Sea p ij = x i y j - x j y i . Éstas son las coordenadas homogéneas de la línea proyectiva que une x e y . Hay seis coordenadas independientes y satisfacen una única relación, la relación de Plücker.
De ello se deduce que existe una correspondencia biunívoca entre las líneas en R P 3 y los puntos en la cuádrica de Klein , que es la hipersuperficie cuádrica de los puntos [ p 01 , p 23 , p 02 , p 31 , p 03 , p 12 ] en R P 5 que satisface la relación de Plücker.
La forma cuadrática que define la relación de Plücker proviene de una forma bilineal simétrica de la signatura (3,3). En otras palabras, el espacio de líneas en R P 3 es la cuádrica en P( R 3,3 ). Aunque esto no es lo mismo que la cuádrica de Lie, se puede definir una "correspondencia" entre líneas y esferas usando los números complejos : si x = ( x 0 , x 1 , x 2 , x 3 , x 4 , x 5 ) es un punto en la cuádrica de Lie (complejada) (es decir, las x i se toman como números complejos), entonces
define un punto en la cuádrica de Klein complejizada (donde i 2 = –1).
La geometría de esferas de Lie proporciona una descripción natural de los ciclidros de Dupin . Estos se caracterizan como la envolvente común de dos familias de esferas de un parámetro S ( s ) y T ( t ), donde S y T son aplicaciones de intervalos en la cuadrática de Lie. Para que exista una envolvente común, S ( s ) y T ( t ) deben ser incidentes para todos los s y t , es decir, sus vectores representativos deben abarcar un subespacio nulo bidimensional de R 4,2 . Por lo tanto, definen una aplicación en el espacio de elementos de contacto Z 5 . Esta aplicación es legendriana si y solo si las derivadas de S (o T ) son ortogonales a T (o S ), es decir, si y solo si hay una descomposición ortogonal de R 4,2 en una suma directa de subespacios tridimensionales σ y τ de signatura (2,1), tal que S toma valores en σ y T toma valores en τ . Por el contrario, dicha descomposición determina de manera única una elevación de contacto de una superficie que envuelve dos familias de esferas con un parámetro; la imagen de esta elevación de contacto está dada por los subespacios bidimensionales nulos que intersecan σ y τ en un par de líneas nulas.
Tal descomposición está dada de manera equivalente, con la excepción de una elección de signo, por un endomorfismo simétrico de R 4,2 cuyo cuadrado es la identidad y cuyos espacios propios ±1 son σ y τ . Utilizando el producto interno en R 4,2 , esto está determinado por una forma cuadrática en R 4,2 .
En resumen, los cicluros de Dupin están determinados por formas cuadráticas en R 4,2 tales que el endomorfismo simétrico asociado tiene un cuadrado igual a la identidad y los espacios propios de la firma (2,1).
Esto proporciona una manera de ver que los ciclidros de Dupin son ciclidros, en el sentido de que son conjuntos cero de cuárticos de una forma particular. Para esto, note que como en el caso planar, el espacio euclidiano tridimensional se incrusta en la cuádrica de Lie Q 3 como el conjunto de esferas puntuales aparte del punto ideal en el infinito. Explícitamente, el punto (x, y, z) en el espacio euclidiano corresponde al punto
en Q 3 . Un ciclado consta de los puntos [0, x 1 , x 2 , x 3 , x 4 , x 5 ] ∈ Q 3 que satisfacen una relación cuadrática adicional
para alguna matriz simétrica 5 ×; 5 A = ( a ij ). La clase de ciclidos es una familia natural de superficies en la geometría de esferas de Lie, y los ciclidos de Dupin forman una subfamilia natural.
