Tangloids es un juego matemático para dos jugadores creado por Piet Hein para modelar el cálculo de espinores .
Una descripción del juego apareció en el libro "Martin Gardner's New Mathematical Diversions from Scientific American" de Martin Gardner de 1996 en una sección sobre las matemáticas del trenzado . [1] [2] [3]
Dos bloques de madera planos, cada uno perforado con tres pequeños agujeros, se unen con tres cuerdas paralelas. Cada jugador sostiene uno de los bloques de madera. El primer jugador sostiene un bloque de madera inmóvil, mientras que el otro jugador hace girar el otro bloque de madera durante dos revoluciones completas. El plano de rotación es perpendicular a las cuerdas cuando no están enredadas. Las cuerdas ahora se superponen entre sí. Luego, el primer jugador intenta desenredar las cuerdas sin girar ninguna de las piezas de madera. Solo se permiten traslaciones (mover las piezas sin girarlas). Después, los jugadores invierten los roles; el que pueda desenredar las cuerdas más rápido es el ganador. Inténtalo con una sola revolución. Por supuesto, las cuerdas se superponen nuevamente, pero no se pueden desenredar sin girar uno de los dos bloques de madera.
El truco de la taza balinesa , que aparece en la danza balinesa de la vela , es una ilustración diferente de la misma idea matemática. El mecanismo anti-twister es un dispositivo destinado a evitar tales enredos de orientación . Se puede encontrar una interpretación matemática de estas ideas en el artículo sobre cuaterniones y rotación espacial .
Este juego sirve para aclarar la noción de que las rotaciones en el espacio tienen propiedades que no se pueden explicar intuitivamente considerando solo la rotación de un único objeto rígido en el espacio. La rotación de vectores no abarca todas las propiedades del modelo abstracto de rotaciones dado por el grupo de rotaciones . La propiedad que se ilustra en este juego se conoce formalmente en matemáticas como el " doble recubrimiento de SO(3) por SU(2) ". Este concepto abstracto se puede esbozar de la siguiente manera.
Las rotaciones en tres dimensiones se pueden expresar como matrices de 3x3 , un bloque de números, uno para cada x, y, z. Si se consideran rotaciones arbitrariamente pequeñas, se llega a la conclusión de que las rotaciones forman un espacio , en el sentido de que si cada rotación se considera como un punto , entonces siempre hay otros puntos cercanos, otras rotaciones cercanas que difieren solo en una pequeña cantidad. En los vecindarios pequeños , esta colección de puntos cercanos se parece al espacio euclidiano . De hecho, se parece al espacio euclidiano tridimensional, ya que hay tres direcciones posibles diferentes para rotaciones infinitesimales: x, y y z. Esto describe adecuadamente la estructura del grupo de rotación en vecindarios pequeños. Sin embargo, para secuencias de grandes rotaciones, este modelo se desmorona; por ejemplo, girar a la derecha y luego acostarse no es lo mismo que acostarse primero y luego girar a la derecha. Aunque el grupo de rotación tiene la estructura del espacio 3D en la escala pequeña, esa no es su estructura en la escala grande. Los sistemas que se comportan como el espacio euclidiano en escala pequeña, pero que posiblemente tengan una estructura global más complicada, se denominan variedades . Ejemplos famosos de variedades incluyen las esferas : globalmente, son redondas, pero localmente, se sienten y se ven planas, ergo, " Tierra plana ".
Un examen cuidadoso del grupo de rotación revela que tiene la estructura de una esfera tridimensional con puntos opuestos identificados . Esto significa que, por cada rotación, hay de hecho dos puntos opuestos polares diferentes y distintos en la esfera tridimensional que describen esa rotación. Esto es lo que ilustran los tangloides. La ilustración es bastante ingeniosa. Imaginemos que realizamos la rotación de 360 grados un grado a la vez, como un conjunto de pequeños pasos. Estos pasos nos llevan por un camino, por un viaje en esta variedad abstracta, este espacio abstracto de rotaciones. Al completar este viaje de 360 grados, no hemos llegado a casa, sino al punto opuesto polar. Y nos quedamos atascados allí: no podemos volver al punto de partida hasta que hacemos otro, un segundo viaje de 360 grados.
La estructura de este espacio abstracto, de una esfera tridimensional con polos opuestos identificados, es bastante extraña. Técnicamente, es un espacio proyectivo . Uno puede intentar imaginar que se toma un globo, se deja salir todo el aire y luego se pegan los puntos de los polos opuestos. Si se intenta en la vida real, uno descubre pronto que no se puede hacer globalmente. Localmente, para cualquier pequeña porción, uno puede lograr los pasos de voltear y pegar; uno no puede hacer esto globalmente. (Tenga en cuenta que el globo es , la esfera tridimensional; no es la esfera tridimensional de las rotaciones). Para simplificar aún más, uno puede comenzar con , el círculo, e intentar pegar los polos opuestos; uno todavía obtiene un desastre fallido. Lo mejor que uno puede hacer es dibujar líneas rectas a través del origen, y luego declarar, por decreto, que los polos opuestos son el mismo punto. Esta es la construcción básica de cualquier espacio proyectivo.
El llamado "doble recubrimiento" se refiere a la idea de que este pegado de polos opuestos puede deshacerse. Esto se puede explicar de manera relativamente simple, aunque requiere la introducción de alguna notación matemática. El primer paso es decir " álgebra de Lie ". Se trata de un espacio vectorial dotado de la propiedad de que dos vectores se pueden multiplicar. Esto surge porque una pequeña rotación sobre el eje x seguida de una pequeña rotación sobre el eje y no es lo mismo que invertir el orden de estos dos; son diferentes, y la diferencia es una pequeña rotación en a lo largo del eje z . Formalmente, esta inequivalencia se puede escribir como , teniendo en cuenta que x , y y z no son números sino rotaciones infinitesimales. No conmutan .
Uno puede entonces preguntarse, "¿qué más se comporta de esta manera?" Bueno, obviamente las matrices de rotación 3D lo hacen; después de todo, el punto es que describen matemáticamente de manera correcta y perfecta las rotaciones en el espacio 3D. Sin embargo, sucede que también hay matrices 2x2, 4x4, 5x5, ... que también tienen esta propiedad. Uno puede preguntar razonablemente "OK, entonces, ¿cuál es la forma de sus variedades?". Para el caso 2x2, el álgebra de Lie se llama su(2) y la variedad se llama SU(2) , y bastante curiosamente, la variedad de SU(2) es la 3-esfera (pero sin la identificación proyectiva de los opuestos polares).
Esto ahora nos permite jugar un pequeño truco. Tomamos un vector en el espacio 3D ordinario (nuestro espacio físico) y le aplicamos una matriz de rotación. Se obtiene un vector rotado . Este es el resultado de aplicar una rotación ordinaria de "sentido común" a . Pero también tenemos las matrices de Pauli ; estas son matrices complejas 2x2 que tienen la propiedad del álgebra de Lie de que y por lo tanto modelan el comportamiento de rotaciones infinitesimales. Consideremos entonces el producto . El "doble recubrimiento" es la propiedad de que no existe una, sino dos matrices 2x2 tales que
Aquí, denota la inversa de ; es decir, La matriz es un elemento de SU(2), y por lo tanto para cada matriz en SO(3), hay dos correspondientes : tanto y harán el truco. Estos dos son los polos opuestos, y la proyección es simplemente se reduce a la observación trivial de que El juego tangeloid está destinado a ilustrar que una rotación de 360 grados lleva a uno en un camino de a . Esto es bastante preciso: uno puede considerar una secuencia de pequeñas rotaciones y el movimiento correspondiente de ; el resultado cambia de signo. En términos de ángulos de rotación , la matriz tendrá un en ella, pero la coincidencia tendrá un en ella. Una mayor elucidación requiere escribir realmente estas fórmulas.
El esquema puede completarse con algunas observaciones generales. Primero, las álgebras de Lie son genéricas, y para cada una, hay uno o más grupos de Lie correspondientes . En física, las rotaciones 3D de objetos 3D normales están descritas obviamente por el grupo de rotación , que es un grupo de Lie de matrices 3x3 . Sin embargo, los espinores , las partículas de espín 1/2 , rotan de acuerdo con las matrices en SU(2). Las matrices 4x4 describen la rotación de partículas de espín 3/2, y las matrices 5x5 describen las rotaciones de partículas de espín 2, y así sucesivamente. La representación de los grupos de Lie y las álgebras de Lie se describe mediante la teoría de la representación . La representación de espín 1/2 pertenece a la representación fundamental , y el espín 1 es la representación adjunta . La noción de doble recubrimiento utilizada aquí es un fenómeno genérico, descrito por los mapas de recubrimiento . Los mapas de recubrimiento son a su vez un caso especial de los haces de fibras . La clasificación de los mapas de recubrimiento se realiza mediante la teoría de la homotopía ; En este caso, la expresión formal de la doble cobertura es decir que el grupo fundamental es aquel en el que el grupo de cobertura codifica las dos rotaciones equivalentes y las superiores. En este sentido, el grupo de rotación proporciona la puerta de entrada, la clave para el reino de vastas áreas de las matemáticas superiores.
