Espinor propio

En mecánica cuántica , los espinores propios se consideran vectores base que representan el estado general de espín de una partícula. Estrictamente hablando, no son vectores en absoluto, sino espinores . Para una partícula con espín 1/2, se pueden definir como los vectores propios de las matrices de Pauli .

Espinores propios generales

En mecánica cuántica, el espín de una partícula o conjunto de partículas está cuantizado . En particular, todas las partículas tienen espín entero o semientero. En el caso más general, los espineres propios de un sistema pueden ser bastante complicados. Si tienes un conjunto de partículas del número de Avogadro , cada una con dos (o más) estados de espín posibles, escribir un conjunto completo de espineres propios no sería prácticamente posible. Sin embargo, los espineres propios son muy útiles cuando se trabaja con los espines de un número muy pequeño de partículas.

La partícula de espín 1/2

El ejemplo más simple y esclarecedor de espinores propios es el de una partícula con espín 1/2. El espín de una partícula tiene tres componentes, que corresponden a las tres dimensiones espaciales : , , y . Para una partícula con espín 1/2, solo hay dos estados propios posibles de espín: espín hacia arriba y espín hacia abajo. El espín hacia arriba se denota como la matriz columna: y el espín hacia abajo es . ${\displaystyle S_{x}}$ ${\displaystyle S_{y}}$ ${\displaystyle S_{z}}$ ${\displaystyle \chi _{+}={\begin{bmatrix}1\\0\\\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle \chi _{-}={\begin{bmatrix}0\\1\\\end{bmatrix}}}$

Cada componente del momento angular tiene, por tanto, dos espineres propios. Por convención, se elige la dirección z como la que tiene los estados y como sus espineres propios. Los espineres propios para las otras dos direcciones ortogonales se deducen de esta convención: ${\displaystyle \chi _{+}}$ ${\displaystyle \chi _{-}}$

${\displaystyle S_{z}}$:

${\displaystyle \chi _{+}^{z}={\begin{bmatrix}1\\0\\\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle \chi _{-}^{z}={\begin{bmatrix}0\\1\\\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle S_{x}}$:

${\displaystyle \chi _{+}^{x}={1 \over {\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}1\\1\\\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle \chi _{-}^{x}={1 \over {\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}1\\-1\\\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle S_{y}}$:

${\displaystyle \chi _{+}^{y}={1 \over {\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}1\\i\\\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle \chi _{-}^{y}={1 \over {\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}1\\-i\\\end{bmatrix}}}$

Coordenadas esféricas ( r , θ , φ ): distancia radial r , ángulo polar θ ( theta ) y ángulo azimutal φ ( phi ).

Todos estos resultados no son más que casos especiales de los espinores propios para la dirección especificada por θ y φ en coordenadas esféricas: esos espinores propios son:

${\displaystyle \chi _{+}={\begin{bmatrix}\cos(\theta /2)\\e^{i\varphi }\sin(\theta /2)\\\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle \chi _{-}={\begin{bmatrix}\sin(\theta /2)\\-e^{i\varphi }\cos(\theta /2)\\\end{bmatrix}}}$

Ejemplo de uso

Supongamos que hay una partícula con espín 1/2 en un estado . Para determinar la probabilidad de encontrar la partícula en un estado de espín hacia arriba, simplemente multiplicamos el estado de la partícula por el adjunto de la matriz de espín propio que representa el espín hacia arriba y elevamos al cuadrado el resultado. Por lo tanto, el espín propio nos permite muestrear la parte del estado de la partícula que está en la misma dirección que el espín propio. Primero multiplicamos: ${\displaystyle \chi ={1 \over {\sqrt {5}}}{\begin{bmatrix}1\\2\\\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle c_{+}={\begin{bmatrix}1\ 0\\\end{bmatrix}}*\chi ={1 \over {\sqrt {5}}}}$.

Ahora, simplemente elevamos al cuadrado este valor para obtener la probabilidad de que la partícula se encuentre en un estado de espín hacia arriba:

${\displaystyle P_{+}={1 \over 5}}$

Propiedades

Cada conjunto de espinores propios forma una base ortonormal completa . Esto significa que cualquier estado puede escribirse como una combinación lineal de los espinores base .

Los espinores propios son vectores propios de las matrices de Pauli en el caso de una única partícula de espín 1/2.

Véase también

• Girar
• Espinor
• Vector propio
• Matrices de Pauli

Referencias

• Griffiths, David J. (2005) Introducción a la mecánica cuántica (2.ª ed.). Upper Saddle River, Nueva Jersey: Pearson Prentice Hall. ISBN  0-13-111892-7 .
• de la Peña, Luis (2006). Introducción a la mecánica cuántica (3 edición). México DF: Fondo de Cultura Económica. ISBN 968-16-7856-7 .