En matemáticas , una transformación infinitesimal es una forma límite de una transformación pequeña . Por ejemplo, se puede hablar de una rotación infinitesimal de un cuerpo rígido en un espacio tridimensional. Esto se representa convencionalmente mediante una matriz A antisimétrica de 3×3 . No es la matriz de una rotación real en el espacio; pero para valores reales pequeños de un parámetro ε la transformación
es una pequeña rotación, hasta cantidades del orden ε 2 .
Una teoría completa de las transformaciones infinitesimales fue propuesta por primera vez por Sophus Lie . Esto fue el núcleo de su trabajo, sobre lo que ahora se llama grupos de Lie y sus álgebras de Lie acompañantes ; y la identificación de su papel en la geometría y especialmente en la teoría de ecuaciones diferenciales . Las propiedades de un álgebra de Lie abstracta son exactamente las definitivas de las transformaciones infinitesimales, así como los axiomas de la teoría de grupos encarnan la simetría . El término "álgebra de Lie" fue introducido en 1934 por Hermann Weyl , para lo que hasta entonces se había conocido como el álgebra de las transformaciones infinitesimales de un grupo de Lie.
Por ejemplo, en el caso de rotaciones infinitesimales, la estructura del álgebra de Lie es la proporcionada por el producto vectorial , una vez que se ha identificado una matriz antisimétrica con un vector 3- . Esto equivale a elegir un vector de eje para las rotaciones; la identidad de Jacobi definitoria es una propiedad bien conocida de los productos vectoriales.
El primer ejemplo de una transformación infinitesimal que puede haber sido reconocida como tal fue el teorema de Euler sobre funciones homogéneas . Aquí se afirma que una función F de n variables x 1 , ..., x n que es homogénea de grado r , satisface
con
el operador Theta . Es decir, de la propiedad
es posible diferenciar con respecto a λ y luego establecer λ igual a 1. Esto se convierte entonces en una condición necesaria en una función suave F para tener la propiedad de homogeneidad; también es suficiente (al usar distribuciones de Schwartz se pueden reducir las consideraciones de análisis matemático aquí). Esta configuración es típica, en el sentido de que hay un grupo de escalas de un parámetro en funcionamiento; y la información se codifica en una transformación infinitesimal que es un operador diferencial de primer orden .
La ecuación del operador
dónde
es una versión del teorema de Taylor como operador y, por lo tanto, solo es válida si se tienen en cuenta las advertencias de que f es una función analítica . Si nos centramos en la parte del operador, se demuestra que D es una transformación infinitesimal que genera traslaciones de la línea real a través de la exponencial . En la teoría de Lie, esto se generaliza mucho. Cualquier grupo de Lie conexo se puede construir por medio de sus generadores infinitesimales (una base para el álgebra de Lie del grupo); con información explícita, aunque no siempre útil, dada en la fórmula de Baker–Campbell–Hausdorff .
