Matriz de rotación infinitesimal

Una matriz de rotación infinitesimal o matriz de rotación diferencial es una matriz que representa una rotación infinitamente pequeña .

Mientras que una matriz de rotación es una matriz ortogonal que representa un elemento de (el grupo ortogonal especial ), la diferencial de una rotación es una matriz antisimétrica en el espacio tangente (el álgebra de Lie ortogonal especial ), que en sí misma no es una matriz de rotación. ${\displaystyle R^{\mathsf {T}}=R^{-1}}$ ${\displaystyle SO(n)}$ ${\displaystyle A^{\mathsf {T}}=-A}$ ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(n)}$

Una matriz de rotación infinitesimal tiene la forma

${\displaystyle I+d\theta \,A,}$

donde es la matriz identidad, es extremadamente pequeña, y ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle d\theta }$ ${\displaystyle A\in {\mathfrak {so}}(n).}$

Por ejemplo, si se representa una rotación tridimensional infinitesimal alrededor del eje x , un elemento base de ${\displaystyle A=L_{x},}$ ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3),}$

${\displaystyle dL_{x}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&-d\theta \\0&d\theta &1\end{bmatrix}}.}$

Las reglas de cálculo para matrices de rotación infinitesimal son las habituales, salvo que se descartan rutinariamente los infinitesimales de segundo orden. Con estas reglas, estas matrices no satisfacen todas las mismas propiedades que las matrices de rotación finita ordinarias bajo el tratamiento habitual de los infinitesimales. ^[1] Resulta que el orden en el que se aplican las rotaciones infinitesimales es irrelevante .

Discusión

Una matriz de rotación infinitesimal es una matriz antisimétrica donde:

• Como cualquier matriz de rotación tiene un único valor propio real, que es igual a +1, el vector propio correspondiente define el eje de rotación .
• Su módulo define un desplazamiento angular infinitesimal .

La forma de la matriz es la siguiente: $${\displaystyle A={\begin{pmatrix}1&-d\phi _{z}(t)&d\phi _{y}(t)\\d\phi _{z}(t)&1&-d\phi _{x}(t)\\-d\phi _{y}(t)&d\phi _{x}(t)&1\\\end{pmatrix}}}$$

Cantidades asociadas

Asociado a una matriz de rotación infinitesimal hay un tensor de rotación infinitesimal : ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle d\Phi (t)=A-I}$

$${\displaystyle d\Phi (t)={\begin{pmatrix}0&-d\phi _{z}(t)&d\phi _{y}(t)\\d\phi _{z}(t)&0&-d\phi _{x}(t)\\-d\phi _{y}(t)&d\phi _{x}(t)&0\\\end{pmatrix}}}$$

Dividiéndolo por la diferencia de tiempo se obtiene el tensor de velocidad angular :

${\displaystyle \Omega ={\frac {d\Phi (t)}{dt}}={\begin{pmatrix}0&-\omega _{z}(t)&\omega _{y}(t)\\\omega _{z}(t)&0&-\omega _{x}(t)\\-\omega _{y}(t)&\omega _{x}(t)&0\\\end{pmatrix}}}$

Orden de rotaciones

Estas matrices no satisfacen todas las mismas propiedades que las matrices de rotación finita ordinarias bajo el tratamiento habitual de infinitesimales. ^[2] Para entender lo que esto significa, considere

${\displaystyle dA_{\mathbf {x} }={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&-d\theta \\0&d\theta &1\end{bmatrix}}.}$

Primero, pruebe la condición de ortogonalidad, Q ^T Q = I . El producto es

${\displaystyle dA_{\mathbf {x} }^{\textsf {T}}\,dA_{\mathbf {x} }={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1+d\theta ^{2}&0\\0&0&1+d\theta ^{2}\end{bmatrix}},}$

que difiere de una matriz identidad por los infinitesimales de segundo orden, que se descartan aquí. Por lo tanto, hasta el primer orden, una matriz de rotación infinitesimal es una matriz ortogonal.

A continuación, examine el cuadrado de la matriz,

${\displaystyle dA_{\mathbf {x} }^{2}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1-d\theta ^{2}&-2d\theta \\0&2\,d\theta &1-d\theta ^{2}\end{bmatrix}}.}$

Descartando nuevamente los efectos de segundo orden, observe que el ángulo simplemente se duplica. Esto indica la diferencia más esencial en el comportamiento, que podemos exhibir con la ayuda de una segunda rotación infinitesimal.

${\displaystyle dA_{\mathbf {y} }={\begin{bmatrix}1&0&d\phi \\0&1&0\\-d\phi &0&1\end{bmatrix}}.}$

Comparar los productos dA _x  dA _y con dA _y  dA _x ,

${\displaystyle {\begin{aligned}dA_{\mathbf {x} }\,dA_{\mathbf {y} }&={\begin{bmatrix}1&0&d\phi \\d\theta \,d\phi &1&-d\theta \\-d\phi &d\theta &1\end{bmatrix}}\\dA_{\mathbf {y} }\,dA_{\mathbf {x} }&={\begin{bmatrix}1&d\theta \,d\phi &d\phi \\0&1&-d\theta \\-d\phi &d\theta &1\end{bmatrix}}.\\\end{aligned}}}$

Como es de segundo orden, lo descartamos: por lo tanto, hasta primer orden, la multiplicación de matrices de rotación infinitesimales es conmutativa . De hecho, ${\displaystyle d\theta \,d\phi }$

${\displaystyle dA_{\mathbf {x} }\,dA_{\mathbf {y} }=dA_{\mathbf {y} }\,dA_{\mathbf {x} },}$

De nuevo al primer orden. En otras palabras, el orden en que se aplican las rotaciones infinitesimales es irrelevante .

Este hecho útil hace que, por ejemplo, la derivación de la rotación de un cuerpo rígido sea relativamente sencilla. Pero siempre hay que tener cuidado de distinguir (el tratamiento de primer orden de) estas matrices de rotación infinitesimales de las matrices de rotación finitas y de los elementos del álgebra de Lie. Al contrastar el comportamiento de las matrices de rotación finitas en la fórmula de Baker–Campbell–Hausdorff anterior con el de las matrices de rotación infinitesimales, donde todos los términos del conmutador serán infinitesimales de segundo orden, se encuentra un espacio vectorial genuino. Técnicamente, este rechazo de cualquier término de segundo orden equivale a una contracción de grupo .

Generadores de rotaciones

Supongamos que especificamos un eje de rotación mediante un vector unitario [ x , y , z ] y que tenemos una rotación infinitamente pequeña de ángulo Δ θ alrededor de ese vector. Desarrollando la matriz de rotación como una adición infinita y tomando el enfoque de primer orden, la matriz de rotación Δ R se representa como:

${\displaystyle \Delta R={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0&z&-y\\-z&0&x\\y&-x&0\end{bmatrix}}\,\Delta \theta =I+A\,\Delta \theta .}$

Una rotación finita a través del ángulo θ sobre este eje puede verse como una sucesión de pequeñas rotaciones sobre el mismo eje. Aproximando Δ θ como θ / N , donde N es un número grande, una rotación de θ sobre el eje puede representarse como:

${\displaystyle R=\left(I+{\frac {A\theta }{N}}\right)^{N}\approx e^{A\theta }.}$

Se puede observar que el teorema de Euler establece esencialmente que todas las rotaciones pueden representarse de esta forma. El producto Aθ es el "generador" de la rotación particular, siendo el vector ( x , y , z ) asociado con la matriz A . Esto muestra que la matriz de rotación y el formato eje-ángulo están relacionados por la función exponencial.

Se puede derivar una expresión simple para el generador G . Se comienza con un plano arbitrario ^[3] definido por un par de vectores unitarios perpendiculares a y b . En este plano se puede elegir un vector arbitrario x con perpendicular y . Luego se resuelve y en términos de x y se sustituye en una expresión para una rotación en un plano se obtiene la matriz de rotación R , que incluye el generador G = ba ^T − ab ^T .

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=a\cos \left(\alpha \right)+b\sin \left(\alpha \right)\\y&=-a\sin \left(\alpha \right)+b\cos \left(\alpha \right)\\\cos \left(\alpha \right)&=a^{\mathrm {T} }x\\\sin \left(\alpha \right)&=b^{\mathrm {T} }x\\y&=-ab^{\mathrm {T} }x+ba^{\mathrm {T} }x=\left(ba^{\mathrm {T} }-ab^{\mathrm {T} }\right)x\\\\x'&=x\cos \left(\beta \right)+y\sin \left(\beta \right)\\&=\left[I\cos \left(\beta \right)+\left(ba^{\mathrm {T} }-ab^{\mathrm {T} }\right)\sin \left(\beta \right)\right]x\\\\R&=I\cos \left(\beta \right)+\left(ba^{\mathrm {T} }-ab^{\mathrm {T} }\right)\sin \left(\beta \right)\\&=I\cos \left(\beta \right)+G\sin \left(\beta \right)\\\\G&=ba^{\mathrm {T} }-ab^{\mathrm {T} }\\\end{aligned}}}$

Para incluir vectores fuera del plano en la rotación, es necesario modificar la expresión anterior para R incluyendo dos operadores de proyección que particionen el espacio. Esta matriz de rotación modificada se puede reescribir como una función exponencial .

${\displaystyle {\begin{aligned}P_{ab}&=-G^{2}\\R&=I-P_{ab}+\left[I\cos \left(\beta \right)+G\sin \left(\beta \right)\right]P_{ab}=e^{G\beta }\\\end{aligned}}}$

El análisis suele ser más sencillo en términos de estos generadores que de la matriz de rotación completa. El análisis en términos de los generadores se conoce como álgebra de Lie del grupo de rotación.

Mapa exponencial

La conexión del álgebra de Lie con el grupo de Lie es el mapa exponencial , que se define utilizando la serie exponencial matricial estándar para e ^{A [4]} Para cualquier matriz antisimétrica A , exp( A ) es siempre una matriz de rotación. ^[a]

Un ejemplo práctico importante es el caso 3 × 3. En el grupo de rotación SO(3) , se muestra que se puede identificar cada A ∈ so (3) con un vector de Euler ω = θ u , donde u = ( x , y , z ) es un vector de magnitud unitaria.

Por las propiedades de la identificación su (2) ≅ R ³ , u está en el espacio nulo de A . Por lo tanto, u queda invariante por exp( A ) y, por lo tanto, es un eje de rotación.

Utilizando la fórmula de rotación de Rodrigues en forma matricial con θ = θ ⁄ 2 + θ ⁄ 2 , junto con las fórmulas estándar de ángulo doble se obtiene,

${\displaystyle {\begin{aligned}\exp(A)&{}=\exp(\theta ({\boldsymbol {u\cdot L}}))=\exp \left(\left[{\begin{smallmatrix}0&-z\theta &y\theta \\z\theta &0&-x\theta \\-y\theta &x\theta &0\end{smallmatrix}}\right]\right)={\boldsymbol {I}}+2\cos {\frac {\theta }{2}}\sin {\frac {\theta }{2}}~{\boldsymbol {u\cdot L}}+2\sin ^{2}{\frac {\theta }{2}}~({\boldsymbol {u\cdot L}})^{2},\end{aligned}}}$

Esta es la matriz para una rotación alrededor del eje u por el ángulo θ en forma de semiángulo. Para obtener más detalles, consulte el mapa exponencial SO(3) .

Nótese que para ángulos infinitesimales los términos de segundo orden pueden ignorarse y permanece exp( A ) = I + A

Relación con matrices antisimétricas

Las matrices antisimétricas sobre el cuerpo de números reales forman el espacio tangente al grupo ortogonal real en la matriz identidad; formalmente, el álgebra de Lie ortogonal especial . En este sentido, entonces, las matrices antisimétricas pueden considerarse como rotaciones infinitesimales . ${\displaystyle O(n)}$

Otra forma de decir esto es que el espacio de matrices antisimétricas forma el álgebra de Lie del grupo de Lie. El corchete de Lie en este espacio está dado por el conmutador : ${\displaystyle o(n)}$ ${\displaystyle O(n).}$

${\displaystyle [A,B]=AB-BA.\,}$

Es fácil comprobar que el conmutador de dos matrices antisimétricas es nuevamente antisimétrico:

${\displaystyle {\begin{aligned}{[}A,B{]}^{\textsf {T}}&=B^{\textsf {T}}A^{\textsf {T}}-A^{\textsf {T}}B^{\textsf {T}}\\&=(-B)(-A)-(-A)(-B)=BA-AB=-[A,B]\,.\end{aligned}}}$

La matriz exponencial de una matriz antisimétrica es entonces una matriz ortogonal : ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle R}$

${\displaystyle R=\exp(A)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {A^{n}}{n!}}.}$

La imagen de la función exponencial de un álgebra de Lie siempre se encuentra en el componente conexo del grupo de Lie que contiene el elemento identidad. En el caso del grupo de Lie, este componente conexo es el grupo ortogonal especial que consiste en todas las matrices ortogonales con determinante 1. Por lo tanto, tendrá determinante +1. Además, dado que la función exponencial de un grupo de Lie compacto conexo es siempre sobreyectiva, resulta que toda matriz ortogonal con determinante unitario puede escribirse como la exponencial de alguna matriz antisimétrica. En el caso particularmente importante de la dimensión, la representación exponencial para una matriz ortogonal se reduce a la forma polar bien conocida de un número complejo de módulo unitario. De hecho, si una matriz ortogonal especial tiene la forma ${\displaystyle O(n),}$ ${\displaystyle SO(n),}$ ${\displaystyle R=\exp(A)}$ ${\displaystyle n=2,}$ ${\displaystyle n=2,}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}a&-b\\b&\,a\end{bmatrix}},}$

con . Por lo tanto, poniendo y se puede escribir ${\displaystyle a^{2}+b^{2}=1}$ ${\displaystyle a=\cos \theta }$ ${\displaystyle b=\sin \theta ,}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\cos \,\theta &-\sin \,\theta \\\sin \,\theta &\,\cos \,\theta \end{bmatrix}}=\exp \left(\theta {\begin{bmatrix}0&-1\\1&\,0\end{bmatrix}}\right),}$

que corresponde exactamente a la forma polar de un número complejo de módulo unitario. ${\displaystyle \cos \theta +i\sin \theta =e^{i\theta }}$

La representación exponencial de una matriz ortogonal de orden también se puede obtener a partir del hecho de que en dimensión cualquier matriz ortogonal especial se puede escribir como donde es ortogonal y S es una matriz diagonal por bloques con bloques de orden 2, más uno de orden 1 si es impar; como cada bloque individual de orden 2 es también una matriz ortogonal, admite una forma exponencial. Correspondientemente, la matriz  S se escribe como exponencial de una matriz por bloques antisimétrica de la forma anterior, de modo que exponencial de la matriz antisimétrica Inversamente, la sobreyectividad de la función exponencial, junto con la diagonal por bloques mencionada anteriormente para matrices antisimétricas, implica la diagonal por bloques para matrices ortogonales. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R=QSQ^{\textsf {T}},}$ ${\displaystyle Q}$ ${\textstyle \lfloor n/2\rfloor }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle S=\exp(\Sigma ),}$ ${\displaystyle R=Q\exp(\Sigma )Q^{\textsf {T}}=\exp(Q\Sigma Q^{\textsf {T}}),}$ ${\displaystyle Q\Sigma Q^{\textsf {T}}.}$

Véase también

• Generadores de rotaciones
• Rotaciones infinitesimales
• Tensor de rotación infinitesimal
• Transformación infinitesimal
• Grupo de rotación SO(3)#Rotaciones infinitesimales

Notas

1. Nótese que este mapa exponencial de matrices antisimétricas a matrices de rotación es bastante diferente de la transformada de Cayley analizada anteriormente, difiriendo en el tercer orden. Por el contrario, una matriz antisimétrica A que especifica una matriz de rotación a través del mapa de Cayley especifica la misma matriz de rotación a través del mapa exp(2 artanh A ) . ${\displaystyle e^{2A}-{\frac {I+A}{I-A}}=-{\frac {2}{3}}A^{3}+\mathrm {O} (A^{4})~.}$
   

Referencias

1. (Goldstein, Poole y Safko 2002, §4.8)
2. (Goldstein, Poole y Safko 2002, §4.8)
3. en el espacio euclidiano
4. (Wedderburn 1934, §8.02)

Fuentes

• Goldstein, Herbert ; Poole, Charles P.; Safko, John L. (2002), Mecánica clásica (tercera edición), Addison Wesley , ISBN 978-0-201-65702-9
• Wedderburn, Joseph HM (1934), Conferencias sobre matrices, AMS , ISBN 978-0-8218-3204-2