Identidad de Fierz

Identidades que involucran bilineales espinoriales

En física teórica , una identidad de Fierz es una identidad que permite reescribir los productos bilineales de dos espinores como una combinación lineal de los productos de los productos bilineales de los espinores individuales. Recibe su nombre en honor al físico suizo Markus Fierz . Las identidades de Fierz también se denominan a veces identidades de Fierz-Pauli-Kofink , ya que Pauli y Kofink describieron un mecanismo general para producir dichas identidades.

Existe una versión de las identidades de Fierz para los espinores de Dirac y otra versión para los espinores de Weyl . Y existen versiones para otras dimensiones además de las dimensiones 3+1. Los espinores bilineales en dimensiones arbitrarias son elementos de un álgebra de Clifford ; las identidades de Fierz se pueden obtener expresando el álgebra de Clifford como un cociente del álgebra exterior ^{[ se necesita más explicación ]} .

Cuando se trabaja en 4 dimensiones espacio-temporales, el bivector puede descomponerse en términos de las matrices de Dirac que abarcan el espacio: ${\displaystyle \psi {\bar {\chi }}}$

${\displaystyle \psi {\bar {\chi }}={\frac {1}{4}}(c_{S}\mathbb {1} +c_{V}^{\mu }\gamma _{\mu }+c_{T}^{\mu \nu }T_{\mu \nu }+c_{A}^{\mu }\gamma _{\mu }\gamma _{5}+c_{P}\gamma _{5})}$.

Los coeficientes son

${\displaystyle c_{S}=({\bar {\chi }}\psi ),\quad c_{V}^{\mu }=({\bar {\chi }}\gamma ^{\mu }\psi ),\quad c_{T}^{\mu \nu }=-({\bar {\chi }}T^{\mu \nu }\psi ),\quad c_{A}^{\mu }=-({\bar {\chi }}\gamma ^{\mu }\gamma _{5}\psi ),\quad c_{P}=({\bar {\chi }}\gamma _{5}\psi )}$

y se determinan generalmente utilizando la ortogonalidad de la base bajo la operación de traza . Al intercalar la descomposición anterior entre las estructuras gamma deseadas, las identidades para la contracción de dos bilineales de Dirac del mismo tipo se pueden escribir con coeficientes de acuerdo con la siguiente tabla.

dónde

${\displaystyle S={\bar {\chi }}\psi ,\quad V={\bar {\chi }}\gamma ^{\mu }\psi ,\quad T={\bar {\chi }}[\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }]\psi /2{\sqrt {2}},\quad A={\bar {\chi }}\gamma _{5}\gamma ^{\mu }\psi ,\quad P={\bar {\chi }}\gamma _{5}\psi .}$

La tabla es simétrica con respecto a la reflexión a través del elemento central. Los signos en la tabla corresponden al caso de espinores conmutativos ; de lo contrario, como es el caso de los fermiones en física, todos los coeficientes cambian de signo .

Por ejemplo, bajo el supuesto de espinores conmutativos, el producto V × V se puede expandir como,

${\displaystyle \left({\bar {\chi }}\gamma ^{\mu }\psi \right)\left({\bar {\psi }}\gamma _{\mu }\chi \right)=\left({\bar {\chi }}\chi \right)\left({\bar {\psi }}\psi \right)-{\frac {1}{2}}\left({\bar {\chi }}\gamma ^{\mu }\chi \right)\left({\bar {\psi }}\gamma _{\mu }\psi \right)-{\frac {1}{2}}\left({\bar {\chi }}\gamma ^{\mu }\gamma _{5}\chi \right)\left({\bar {\psi }}\gamma _{\mu }\gamma _{5}\psi \right)-\left({\bar {\chi }}\gamma _{5}\chi \right)\left({\bar {\psi }}\gamma _{5}\psi \right)~.}$

Las combinaciones de bilineales correspondientes a los vectores propios de la matriz transpuesta se transforman en las mismas combinaciones con valores propios ±1. Por ejemplo, nuevamente para espinores conmutativos, V×V + A×A ,

${\displaystyle ({\bar {\chi }}\gamma ^{\mu }\psi )({\bar {\psi }}\gamma _{\mu }\chi )+({\bar {\chi }}\gamma _{5}\gamma ^{\mu }\psi )({\bar {\psi }}\gamma _{5}\gamma _{\mu }\chi )=-(~({\bar {\chi }}\gamma ^{\mu }\chi )({\bar {\psi }}\gamma _{\mu }\psi )+({\bar {\chi }}\gamma _{5}\gamma ^{\mu }\chi )({\bar {\psi }}\gamma _{5}\gamma _{\mu }\psi )~)~.}$

Las simplificaciones surgen cuando los espinores considerados son espinores de Majorana o fermiones quirales, ya que algunos términos en la expansión pueden desaparecer por razones de simetría. Por ejemplo, para los espinores anticonmutativos en este caso, se deduce fácilmente de lo anterior que

${\displaystyle {\bar {\chi }}_{1}\gamma ^{\mu }(1+\gamma _{5})\psi _{2}{\bar {\psi }}_{3}\gamma _{\mu }(1-\gamma _{5})\chi _{4}=-2{\bar {\chi }}_{1}(1-\gamma _{5})\chi _{4}{\bar {\psi }}_{3}(1+\gamma _{5})\psi _{2}.}$

Referencias

• En LB Okun (1980), 29.3.4, se puede encontrar una derivación de identidades para reescribir cualquier contracción escalar de bilineales de Dirac. Leptones y quarks . North-Holland. ISBN. 978-0-444-86924-1.
• Véase también el apéndice B.1.2 en T. Ortin (2004). Gravedad y cuerdas . Cambridge University Press. ISBN. 978-0-521-82475-0.
• Kennedy, AD (1981). "Álgebras de Clifford en dimensiones 2ω". Revista de Física Matemática . 22 (7): 1330–7. doi :10.1063/1.525069.
• Pal, Palash B. (2007). "Manipulaciones independientes de la representación con espinores de Dirac". arXiv : physics/0703214 .