Variedad hermítica

Concepto en geometría diferencial

En matemáticas , y más específicamente en geometría diferencial , una variedad hermítica es el análogo complejo de una variedad riemanniana . Más precisamente, una variedad hermítica es una variedad compleja con un producto interno hermítico que varía suavemente en cada espacio tangente (holomorfo) . También se puede definir una variedad hermítica como una variedad real con una métrica riemanniana que conserva una estructura compleja .

Una estructura compleja es esencialmente una estructura casi compleja con una condición de integrabilidad, y esta condición produce una estructura unitaria ( estructura U(n) ) en la variedad. Al descartar esta condición, obtenemos una variedad casi hermítica .

En cualquier variedad casi hermítica, podemos introducir una 2-forma fundamental (o estructura cosimpléctica ) que depende únicamente de la métrica elegida y de la estructura casi compleja. Esta forma es siempre no degenerada. Con la condición de integrabilidad adicional de que sea cerrada (es decir, es una forma simpléctica ), obtenemos una estructura casi de Kähler . Si tanto la estructura casi compleja como la forma fundamental son integrables, entonces tenemos una estructura de Kähler .

Definición formal

Una métrica hermítica en un fibrado vectorial complejo sobre una variedad uniforme es una forma hermítica positiva definida que varía uniformemente en cada fibra. Una métrica de este tipo puede considerarse como una sección global uniforme del fibrado vectorial de modo que para cada punto en , para todos los , en la fibra y para todos los distintos de cero en . ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle (E\otimes {\overline {E}})^{*}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle M}$ $${\displaystyle h_{p}{\mathord {\left(\eta ,{\bar {\zeta }}\right)}}={\overline {h_{p}{\mathord {\left(\zeta ,{\bar {\eta }}\right)}}}}}$$ ${\displaystyle \zeta }$ ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle E_{p}}$ $${\displaystyle h_{p}{\mathord {\left(\zeta ,{\bar {\zeta }}\right)}}>0}$$ ${\displaystyle \zeta }$ ${\displaystyle E_{p}}$

Una variedad hermítica es una variedad compleja con una métrica hermítica en su fibrado tangente holomorfo . Del mismo modo, una variedad casi hermítica es una variedad casi compleja con una métrica hermítica en su fibrado tangente holomorfo.

En una variedad hermítica, la métrica se puede escribir en coordenadas holomorfas locales como donde son los componentes de una matriz hermítica positiva definida . ${\displaystyle (z^{\alpha })}$ $${\displaystyle h=h_{\alpha {\bar {\beta }}}\,dz^{\alpha }\otimes d{\bar {z}}^{\beta }}$$ ${\displaystyle h_{\alpha {\bar {\beta }}}}$

Métrica de Riemann y forma asociada

Una métrica hermítica h en una variedad (casi) compleja M define una métrica riemanniana g en la variedad suave subyacente. La métrica g se define como la parte real de h : $${\displaystyle g={1 \over 2}\left(h+{\bar {h}}\right).}$$

La forma g es una forma bilineal simétrica en TM ^C , el fibrado tangente complejizado . Puesto que g es igual a su conjugado, es la complejización de una forma real en TM . La simetría y la definibilidad positiva de g en TM se deducen de las propiedades correspondientes de h . En coordenadas holomorfas locales, la métrica g puede escribirse $${\displaystyle g={1 \over 2}h_{\alpha {\bar {\beta }}}\,\left(dz^{\alpha }\otimes d{\bar {z}}^{\beta }+d{\bar {z}}^{\beta }\otimes dz^{\alpha }\right).}$$

También se puede asociar a h una forma diferencial compleja ω de grado (1,1). La forma ω se define como menos la parte imaginaria de h : $${\displaystyle \omega ={i \over 2}\left(h-{\bar {h}}\right).}$$

Nuevamente, dado que ω es igual a su conjugado, es la complejización de una forma real en TM . La forma ω se denomina de diversas formas: forma asociada (1,1) , forma fundamental o forma hermítica . En coordenadas holomorfas locales, ω se puede escribir $${\displaystyle \omega ={i \over 2}h_{\alpha {\bar {\beta }}}\,dz^{\alpha }\wedge d{\bar {z}}^{\beta }.}$$

De las representaciones de coordenadas se desprende claramente que cualquiera de las tres formas h , g y ω determina de forma única las otras dos. La métrica riemanniana g y la forma asociada (1,1) ω están relacionadas por la estructura casi compleja J de la siguiente manera para todos los vectores tangentes complejos u y v . La métrica hermítica h se puede recuperar a partir de g y ω mediante la identidad $${\displaystyle {\begin{aligned}\omega (u,v)&=g(Ju,v)\\g(u,v)&=\omega (u,Jv)\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle h=g-i\omega .}$$

Las tres formas h , g y ω conservan la estructura casi compleja J. Es decir, para todos los vectores tangentes complejos u y v . $${\displaystyle {\begin{aligned}h(Ju,Jv)&=h(u,v)\\g(Ju,Jv)&=g(u,v)\\\omega (Ju,Jv)&=\omega (u,v)\end{aligned}}}$$

Por lo tanto , una estructura hermítica en una variedad (casi) compleja M puede especificarse mediante

1. una métrica hermítica h como la anterior,
2. una métrica riemanniana g que preserva la estructura casi compleja J , o
3. una 2-forma no degenerada ω que preserva J y es definida positiva en el sentido de que ω ( u , Ju ) > 0 para todos los vectores tangentes reales distintos de cero u .

Téngase en cuenta que muchos autores denominan a g la métrica hermítica.

Propiedades

Toda variedad (casi) compleja admite una métrica hermítica. Esto se deduce directamente de la afirmación análoga para la métrica de Riemann. Dada una métrica de Riemann arbitraria g en una variedad casi compleja M, se puede construir una nueva métrica g ′ compatible con la estructura casi compleja J de una manera obvia: $${\displaystyle g'(u,v)={1 \over 2}\left(g(u,v)+g(Ju,Jv)\right).}$$

La elección de una métrica hermítica en una variedad casi compleja M es equivalente a una elección de U( n )-estructura en M ; es decir, una reducción del grupo de estructura del fibrado de marcos de M de GL( n , C ) al grupo unitario U( n ). Un fibrado de marcos unitario en una variedad casi hermítica es un fibrado lineal complejo que es ortonormal con respecto a la métrica hermítica. El fibrado de marcos unitarios de M es el fibrado U( n )-estructura principal de todos los fibrados de marcos unitarios.

Toda variedad casi hermítica M tiene una forma de volumen canónica que es simplemente la forma de volumen de Riemann determinada por g . Esta forma se da en términos de la forma (1,1)-asociada ω por donde ω ⁿ es el producto de cuña de ω consigo mismo n veces. La forma de volumen es, por lo tanto, una forma ( n , n )-real en M . En coordenadas holomorfas locales, la forma de volumen se da por $${\displaystyle \mathrm {vol} _{M}={\frac {\omega ^{n}}{n!}}\in \Omega ^{n,n}(M)}$$ $${\displaystyle \mathrm {vol} _{M}=\left({\frac {i}{2}}\right)^{n}\det \left(h_{\alpha {\bar {\beta }}}\right)\,dz^{1}\wedge d{\bar {z}}^{1}\wedge \dotsb \wedge dz^{n}\wedge d{\bar {z}}^{n}.}$$

También se puede considerar una métrica hermítica en un fibrado vectorial holomórfico .

Colectores Kähler

La clase más importante de variedades hermíticas son las variedades de Kähler . Se trata de variedades hermíticas para las que la forma hermítica ω es cerrada : En este caso, la forma ω se denomina forma de Kähler . Una forma de Kähler es una forma simpléctica y, por lo tanto, las variedades de Kähler son naturalmente variedades simplécticas . $${\displaystyle d\omega =0\,.}$$

Una variedad casi hermítica cuya forma (1,1) asociada es cerrada se denomina naturalmente variedad casi Kähler . Cualquier variedad simpléctica admite una estructura casi compleja compatible que la convierte en una variedad casi Kähler.

Integrabilidad

Una variedad de Kähler es una variedad casi hermítica que satisface una condición de integrabilidad . Esto puede enunciarse de varias maneras equivalentes.

Sea ( M , g , ω, J ) una variedad casi hermítica de dimensión real 2 n y sea ∇ la conexión de Levi-Civita de g . Las siguientes son condiciones equivalentes para que M sea Kähler:

• ω es cerrado y J es integrable,
• ∇ J = 0 ,
• ∇ω = 0 ,
• el grupo holonomico de ∇ está contenido en el grupo unitario U( n ) asociado a J ,

La equivalencia de estas condiciones corresponde a la propiedad " 2 de 3 " del grupo unitario .

En particular, si M es una variedad hermítica, la condición dω = 0 es equivalente a las condiciones aparentemente mucho más fuertes ∇ ω = ∇ J = 0 . La riqueza de la teoría de Kähler se debe en parte a estas propiedades.

Referencias

• Griffiths, Phillip; Joseph Harris (1994) [1978]. Principios de geometría algebraica . Wiley Classics Library. Nueva York: Wiley-Interscience. ISBN 0-471-05059-8.
• Kobayashi, Shoshichi; Katsumi Nomizu (1996) [1963]. Fundamentos de geometría diferencial , vol. 2. Wiley Classics Library. Nueva York: Wiley Interscience . ISBN. 0-471-15732-5.
• Kodaira, Kunihiko (1986). Variedades complejas y deformación de estructuras complejas . Clásicos de las matemáticas. Nueva York: Springer. ISBN 3-540-22614-1.