Tensor de espín

Cantidad tensorial para describir el movimiento giratorio en la relatividad especial y la relatividad general

En matemáticas , física matemática y física teórica , el tensor de espín es una cantidad que se utiliza para describir el movimiento de rotación de partículas en el espacio-tiempo . El tensor de espín tiene aplicación en la relatividad general y la relatividad especial , así como en la mecánica cuántica , la mecánica cuántica relativista y la teoría cuántica de campos .

El grupo euclidiano especial SE( d ) de isometrías directas se genera por traslaciones y rotaciones . Su álgebra de Lie se escribe . ${\displaystyle {\mathfrak {se}}(d)}$

Este artículo utiliza coordenadas cartesianas y notación de índice tensorial .

Antecedentes sobre las corrientes de Noether

La corriente de Noether para las traslaciones en el espacio es el momento, mientras que la corriente para los incrementos en el tiempo es la energía. Estas dos afirmaciones se combinan en una sola en el espacio-tiempo: las traslaciones en el espacio-tiempo, es decir, un desplazamiento entre dos eventos, se genera por el cuadri-momento P . La conservación del cuadri-momento se da por la ecuación de continuidad :

$${\displaystyle \partial _{\nu }T^{\mu \nu }=0\,,}$$

donde es el tensor de tensión-energía , y ∂ son derivadas parciales que forman el gradiente cuatridimensional (en coordenadas no cartesianas esto debe reemplazarse por la derivada covariante ). Integrando sobre el espacio: ${\displaystyle T^{\mu \nu }\,}$

$${\displaystyle \int d^{3}xT^{\mu 0}\left({\vec {x}},t\right)=P^{\mu }}$$

da el vector de cuatro momentos en el tiempo t .

La corriente de Noether para una rotación alrededor del punto y está dada por un tensor de tercer orden, denotado . Debido a las relaciones del álgebra de Lie ${\displaystyle M_{y}^{\alpha \beta \mu }}$

$${\displaystyle M_{y}^{\alpha \beta \mu }(x)=M_{0}^{\alpha \beta \mu }(x)+y^{\alpha }T^{\beta \mu }(x)-y^{\beta }T^{\alpha \mu }(x)\,,}$$

donde el subíndice 0 indica el origen (a diferencia del momento, el momento angular depende del origen), la integral:

$${\displaystyle \int d^{3}xM_{0}^{\mu \nu }({\vec {x}},t)}$$

da el tensor de momento angular en el tiempo t . ${\displaystyle M^{\mu \nu }\,}$

Definición

El tensor de espín se define en un punto x como el valor de la corriente de Noether en x de una rotación alrededor de x ,

$${\displaystyle S^{\alpha \beta \mu }(\mathbf {x} )\mathrel {\stackrel {\mathrm {def} }{=}} M_{x}^{\alpha \beta \mu }(\mathbf {x} )=M_{0}^{\alpha \beta \mu }(\mathbf {x} )+x^{\alpha }T^{\beta \mu }(\mathbf {x} )-x^{\beta }T^{\alpha \mu }(\mathbf {x} )}$$

La ecuación de continuidad

$${\displaystyle \partial _{\mu }M_{0}^{\alpha \beta \mu }=0\,,}$$

implica:

$${\displaystyle \partial _{\mu }S^{\alpha \beta \mu }=T^{\beta \alpha }-T^{\alpha \beta }\neq 0}$$

y por lo tanto, el tensor tensión-energía no es un tensor simétrico .

La cantidad S es la densidad del momento angular de espín (el espín en este caso no sólo se aplica a una partícula puntual, sino también a un cuerpo extendido), y M es la densidad del momento angular orbital. El momento angular total es siempre la suma de las contribuciones de espín y orbital.

La relación:

$${\displaystyle T_{ij}-T_{ji}}$$

Da la densidad de torsión que muestra la tasa de conversión entre el momento angular orbital y el giro.

Ejemplos

Ejemplos de materiales con una densidad de espín distinta de cero son los fluidos moleculares, el campo electromagnético y los fluidos turbulentos . En el caso de los fluidos moleculares, las moléculas individuales pueden estar girando. El campo electromagnético puede tener luz polarizada circularmente . En el caso de los fluidos turbulentos, podemos hacer una distinción arbitraria entre fenómenos de longitud de onda larga y fenómenos de longitud de onda corta. Una vorticidad de longitud de onda larga puede convertirse mediante turbulencia en vórtices cada vez más pequeños que transportan el momento angular a longitudes de onda cada vez más pequeñas y, al mismo tiempo, reducen la vorticidad . Esto puede aproximarse mediante la viscosidad de remolino .

Véase también

• Tensor de tensión-energía de Belinfante-Rosenfeld
• Grupo de Poincaré
• Grupo de Lorentz
• Momento angular relativista
• Ecuaciones de Mathisson-Papapetrou-Dixon
• Pseudovector de Pauli-Lubanski

Referencias

• AK Raychaudhuri; S. Banerji; A. Banerjee (2003). Relatividad general, astrofísica y cosmología. Biblioteca de astronomía y astrofísica. Springer. pp. 66–67. ISBN 978-038-740-628-2.
• JA Wheeler; C. Misner; KS Thorne (1973). Gravitación . WH Freeman & Co. págs. 156–159, §5.11. ISBN 978-0-7167-0344-0.
• LM Butcher; A. Lasenby; M. Hobson (2012). "Localización del momento angular de la gravedad lineal". Phys. Rev. D . 86 (8): 084012. arXiv : 1210.0831 . Código Bibliográfico :2012PhRvD..86h4012B. doi :10.1103/PhysRevD.86.084012. S2CID  119220791.
• T. Banks (2008). "Teoría cuántica de campos moderna: una breve introducción". Cambridge University Press . ISBN 978-113-947-389-7.

• S. Kopeikin, M. Efroimsky, G. Kaplan (2011). "Mecánica celeste relativista del sistema solar". John Wiley & Sons . ISBN 978-352-763-457-6.{{cite news}}: CS1 maint: varios nombres: lista de autores ( enlace )
• WF Maher; JD Zund (1968). "Un enfoque espinorial para el tensor de espín de Lanczos". Il Nuovo Cimento A . 10. 57 (4). Springer: 638–648. Bibcode :1968NCimA..57..638M. doi :10.1007/BF02751371. S2CID  124665829.

Enlaces externos

• von Jan Steinhoff. "Formulación canónica del espín en la relatividad general (tesis doctoral)" (PDF) . Consultado el 27 de octubre de 2013 .