Ecuaciones de Mathisson-Papapetrou-Dixon

Ecuación de la relatividad general

En física , específicamente en relatividad general , las ecuaciones de Mathisson-Papapetrou-Dixon describen el movimiento de un cuerpo masivo que gira y se mueve en un campo gravitacional . Otras ecuaciones con nombres y formas matemáticas similares son las ecuaciones de Mathisson-Papapetrou y las ecuaciones de Papapetrou-Dixon . Los tres conjuntos de ecuaciones describen la misma física.

Llevan el nombre de M. Mathisson , ^[1] WG Dixon , ^[2] y A. Papapetrou . ^[3]

En todo este artículo se utilizan las unidades naturales c = G = 1 y la notación de índice tensorial .

Ecuaciones de Mathisson-Papapetrou-Dixon

Las ecuaciones de Mathisson-Papapetrou-Dixon (MPD) para un cuerpo con masa que gira son ${\displaystyle m}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {Dk_{\nu }}{D\tau }}+{\frac {1}{2}}S^{\lambda \mu }R_{\lambda \mu \nu \rho }V^{\rho }&=0,\\{\frac {DS^{\lambda \mu }}{D\tau }}+V^{\lambda }k^{\mu }-V^{\mu }k^{\lambda }&=0.\end{aligned}}}$

Aquí está el momento adecuado a lo largo de la trayectoria, es el impulso de cuatro del cuerpo. ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle k_{\nu }}$

${\displaystyle k_{\nu }=\int _{t={\text{const}}}{T^{0}}_{\nu }{\sqrt {g}}d^{3}x,}$

el vector son las cuatro velocidades de algún punto de referencia en el cuerpo, y el tensor simétrico sesgado es el momento angular ${\displaystyle V^{\mu }}$ ${\displaystyle X^{\mu }}$ ${\displaystyle S^{\mu \nu }}$

${\displaystyle S^{\mu \nu }=\int _{t={\text{const}}}\left\{\left(x^{\mu }-X^{\mu }\right)T^{0\nu }-\left(x^{\nu }-X^{\nu }\right)T^{0\mu }\right\}{\sqrt {g}}d^{3}x}$

del cuerpo sobre este punto. En las integrales de intervalo de tiempo asumimos que el cuerpo es lo suficientemente compacto como para que podamos usar coordenadas planas dentro del cuerpo donde el tensor de energía-momento no es cero. ${\displaystyle T^{\mu \nu }}$

Tal como están, sólo hay diez ecuaciones para determinar trece cantidades. Estas cantidades son los seis componentes de , los cuatro componentes de y los tres componentes independientes de . Por lo tanto, las ecuaciones deben complementarse con tres restricciones adicionales que sirvan para determinar qué punto del cuerpo tiene velocidad . Mathison y Pirani originalmente optaron por imponer la condición que, aunque involucra cuatro componentes, contiene sólo tres restricciones porque es idénticamente cero. Esta condición, sin embargo, no conduce a una solución única y puede dar lugar a misteriosos "movimientos helicoidales". ^[4] La condición de Tulczyjew-Dixon conduce a una solución única, ya que selecciona el punto de referencia como centro de masa del cuerpo en el marco en el que se encuentra su impulso . ${\displaystyle S^{\lambda \mu }}$ ${\displaystyle k_{\nu }}$ ${\displaystyle V^{\mu }}$ ${\displaystyle V^{\mu }}$ ${\displaystyle V^{\mu }S_{\mu \nu }=0}$ ${\displaystyle V^{\mu }S_{\mu \nu }V^{\nu }}$ ${\displaystyle k_{\mu }S^{\mu \nu }=0}$ ${\displaystyle X^{\mu }}$ ${\displaystyle (k_{0},k_{1},k_{2},k_{3})=(m,0,0,0)}$

Aceptando la condición de Tulczyjew-Dixon , podemos manipular la segunda de las ecuaciones MPD en la forma ${\displaystyle k_{\mu }S^{\mu \nu }=0}$

${\displaystyle {\frac {DS_{\lambda \mu }}{D\tau }}+{\frac {1}{m^{2}}}\left(S_{\lambda \rho }k_{\mu }{\frac {Dk^{\rho }}{D\tau }}+S_{\rho \mu }k_{\lambda }{\frac {Dk^{\rho }}{D\tau }}\right)=0,}$

Esta es una forma de transporte de Fermi-Walker del tensor de espín a lo largo de la trayectoria, pero que preserva la ortogonalidad con el vector de impulso en lugar de con el vector tangente . Dixon llama a esto transporte M. ${\displaystyle k^{\mu }}$ ${\displaystyle V^{\mu }=dX^{\mu }/d\tau }$

Ver también

• Introducción a las matemáticas de la relatividad general.
• ecuación geodésica
• Pseudovector de Pauli-Lubanski
• partícula de prueba
• Momento angular relativista
• Centro de masa (relativista)

Referencias

Notas

1. M. Mathisson (1937). "Neue Mechanik materialler Systeme". Acta Física Polonica . vol. 6. págs. 163–209.
2. WG Dixon (1970). "Dinámica de cuerpos extendidos en la relatividad general. I. Momento y momento angular". Proc. R. Soc. Londres. A . 314 (1519): 499–527. Código Bib : 1970RSPSA.314..499D. doi :10.1098/rspa.1970.0020. S2CID  119632715.
3. A. Papapetrou (1951). "Partículas de prueba giratorias en la relatividad general. I". Proc. R. Soc. Londres. A . 209 (1097): 248–258. Código Bib : 1951RSPSA.209..248P. doi :10.1098/rspa.1951.0200. S2CID  121464697.
4. LFO Costa; J. Natário; M. Zilhão (2012). "Los movimientos helicoidales de Mathisson desmitificados". Conferencia AIP. Proc . Actas de la conferencia AIP. 1458 : 367–370. arXiv : 1206.7093 . Código Bib : 2012AIPC.1458..367C. doi : 10.1063/1.4734436. S2CID  119306409.

Artículos seleccionados

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• RR Lompay (2005). "Derivación de ecuaciones de Mathisson-Papapetrou a partir de pseudomecánica relativista". arXiv : gr-qc/0503054 .
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• R. Plyatsko; O. Stefanyshyn; M. Fenyk (2011). "Ecuaciones de Mathisson-Papapetrou-Dixon en la trayectoria de Schwarzschild y Kerr". Gravedad clásica y cuántica . 28 (19): 195025. arXiv : 1110.1967 . Código Bib : 2011CQGra..28s5025P. doi :10.1088/0264-9381/28/19/195025. S2CID  119213540.
• R. Plyatsko; O. Stefanyshyn (2008). "Sobre soluciones comunes de ecuaciones de Mathisson en diferentes condiciones". arXiv : 0803.0121 . Código Bib : 2008arXiv0803.0121P. {{cite journal}}: Citar diario requiere |journal=( ayuda )
• RM Plyatsko; AL Vynar; Sí. N. Pelekh (1985). "Condiciones para la aparición de la interacción orbital espín ultrarelativista gravitacional". Revista de física soviética . 28 (10). Saltador: 773–776. Código bibliográfico : 1985SvPhJ..28..773P. doi :10.1007/BF00897946. S2CID  119799125.
• K. Svirskas; K. Pyragas (1991). "Las trayectorias esféricamente simétricas de las partículas de espín en el campo de Schwarzschild". Astrofísica y Ciencias Espaciales . 179 (2). Saltador: 275–283. Código Bib : 1991Ap&SS.179..275S. doi :10.1007/BF00646947. S2CID  120108333.