Estado (análisis funcional)

En el análisis funcional , un estado de un sistema de operadores es un funcional lineal positivo de norma 1. Los estados en el análisis funcional generalizan la noción de matrices de densidad en mecánica cuántica, que representan estados cuánticos , tanto estados mixtos como estados puros . Las matrices de densidad a su vez generalizan vectores de estado , que solo representan estados puros. Para M, un sistema de operadores en una C*-álgebra A con identidad, el conjunto de todos los estados de M, a veces denotado por S( M ), es convexo, débilmente cerrado en el espacio dual de Banach M ^* . Por lo tanto, el conjunto de todos los estados de M con la topología débilmente cerrada forma un espacio de Hausdorff compacto, conocido como el espacio de estados de M .

En la formulación C*-algebraica de la mecánica cuántica, los estados en este sentido anterior corresponden a estados físicos, es decir, mapeos de observables físicos (elementos autoadjuntos del C*-álgebra) a su resultado de medición esperado (número real).

Descomposición de Jordania

Los estados pueden considerarse como generalizaciones no conmutativas de medidas de probabilidad . Mediante la representación de Gelfand , cada C*-álgebra conmutativa A tiene la forma C ₀ ( X ) para algún Hausdorff localmente compacto X . En este caso, S ( A ) consiste en medidas de Radon positivas en X , y los estados puros son los funcionales de evaluación en X .

De manera más general, la construcción GNS muestra que cada estado es, después de elegir una representación adecuada, un estado vectorial.

Se dice que un funcional lineal acotado en un C*-álgebra A es autoadjunto si tiene valor real en los elementos autoadjuntos de A. Los funcionales autoadjuntos son análogos no conmutativos de medidas con signo .

La descomposición de Jordan en la teoría de la medida dice que toda medida con signo puede expresarse como la diferencia de dos medidas positivas apoyadas en conjuntos disjuntos. Esto puede extenderse al contexto no conmutativo.

Teorema  :  Todo autoadjunto en puede escribirse como donde y son funcionales positivos y . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle A^{\ast }}$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle f=f_{+}-f_{-}}$ ${\displaystyle f_{+}}$ ${\displaystyle f_{-}}$ ${\displaystyle \Vert f\Vert =\Vert f_{+}\Vert +\Vert f_{-}\Vert }$

Prueba

Una prueba puede esbozarse de la siguiente manera: Sea el conjunto débil*-compacto de funcionales lineales positivos en con norma ≤ 1, y sean las funciones continuas en . ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle C(\Omega )}$ ${\displaystyle \Omega }$

${\displaystyle A}$puede verse como un subespacio lineal cerrado de (esta es la representación de la función de Kadison ). Por Hahn-Banach, se extiende a a en con . ${\displaystyle C(\Omega )}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle C(\Omega )^{\ast }}$ ${\displaystyle \Vert g\Vert =\Vert f\Vert }$

Utilizando los resultados de la teoría de la medida citados anteriormente, se tiene:

${\displaystyle g(\cdot )=\int \cdot \;d\mu }$

donde, por la autoadjunción de , puede tomarse como una medida con signo. Escribe: ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle \mu =\mu _{+}-\mu _{-},\;}$

una diferencia de medidas positivas. Las restricciones de los funcionales y de tienen las propiedades requeridas de y . Esto demuestra el teorema. ${\displaystyle \textstyle \int \cdot \;d\mu _{+}}$ ${\displaystyle \textstyle \int \cdot \;d\mu _{-}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle f_{+}}$ ${\displaystyle f_{-}}$

De la descomposición anterior se deduce que A* es el espacio lineal de estados.

Algunas clases importantes de estados

Estados puros

Según el teorema de Kerin-Milman , el espacio de estados de M tiene puntos extremos . Los puntos extremos del espacio de estados se denominan estados puros y los demás estados se conocen como estados mixtos .

Estados vectoriales

Para un espacio de Hilbert H y un vector x en H , la ecuación ω _x ( T ) := ⟨ Tx , x ⟩ (para T en B(H) ), define un funcional lineal positivo en B(H) . Puesto que ω _x ( 1 )=|| x || ² , ω _x es un estado si || x ||=1. Si A es una C*-subálgebra de B(H) y M un sistema de operadores en A , entonces la restricción de ω _x a M define un funcional lineal positivo en M . Los estados de M que surgen de esta manera, a partir de vectores unitarios en H , se denominan estados vectoriales de M .

Estados fieles

Un estado es fiel , si es inyectivo en los elementos positivos, es decir, implica . ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \tau (a^{*}a)=0}$ ${\displaystyle a=0}$

Estados normales

Un estado se denomina normal , solo si y solo si, para cada red monótona y creciente de operadores con el límite superior mínimo , converge a . ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle H_{\alpha }}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \tau (H_{\alpha })\;}$ ${\displaystyle \tau (H)\;}$

Estados traciales

Un estado tracial es un estado tal que ${\displaystyle \tau }$

${\displaystyle \tau (AB)=\tau (BA)\;.}$

Para cualquier C*-álgebra separable, el conjunto de estados trazales es un símplex de Choquet .

Estados factoriales

Un estado factorial de un C*-álgebra A es un estado tal que el conmutador de la representación GNS correspondiente de A es un factor .

Véase también

• Estado cuántico
• Construcción Gelfand–Naimark–Segal
• Mecánica cuántica
  • Estado cuántico
  • Matriz de densidad

Referencias

• Lin, H. (2001), Introducción a la clasificación de álgebras C* susceptibles , World Scientific