Relación de conmutación canónica

Relación satisfecha por variables conjugadas en mecánica cuántica

En mecánica cuántica , la relación de conmutación canónica es la relación fundamental entre cantidades conjugadas canónicas (cantidades que están relacionadas por definición de manera que una es la transformada de Fourier de otra). Por ejemplo,

$${\displaystyle [{\hat {x}},{\hat {p}}_{x}]=i\hbar \mathbb {I} }$$

entre el operador de posición x y el operador de momento p _x en la dirección x de una partícula puntual en una dimensión, donde [ x , p _x ] = x p _x − p _x x es el conmutador de x y p _x  , i es el imaginario unidad , y ℏ es la constante de Planck reducida h /2π , y es el operador unitario. En general, la posición y el momento son vectores de operadores y su relación de conmutación entre diferentes componentes de posición y momento se puede expresar como ${\displaystyle \mathbb {I} }$

$${\displaystyle [{\hat {x}}_{i},{\hat {p}}_{j}]=i\hbar \delta _{ij},}$$

delta del Kronecker ${\displaystyle \delta _{ij}}$

Esta relación se atribuye a Werner Heisenberg , Max Born y Pascual Jordan (1925), ^{[1] [2]} quienes la llamaron una "condición cuántica" que sirve como postulado de la teoría; E. Kennard (1927) ^[3] señaló que implica el principio de incertidumbre de Heisenberg . El teorema de Stone-von Neumann da un resultado de unicidad para operadores que satisfacen (una forma exponenciada de) la relación de conmutación canónica.

Relación con la mecánica clásica.

Por el contrario, en la física clásica , todos los observables conmutan y el conmutador sería cero. Sin embargo, existe una relación análoga, que se obtiene reemplazando el conmutador con el soporte de Poisson multiplicado por i ℏ ,

$${\displaystyle \{x,p\}=1\,.}$$

Esta observación llevó a Dirac a proponer que las contrapartes cuánticas , ĝ de los observables clásicos f , g satisfacen ${\displaystyle {\hat {f}}}$

$${\displaystyle [{\hat {f}},{\hat {g}}]=i\hbar {\widehat {\{f,g\}}}\,.}$$

En 1946, Hip Groenewold demostró que una correspondencia sistemática general entre los conmutadores cuánticos y los corchetes de Poisson no podía mantenerse de manera consistente. ^{[4] [5]}

Sin embargo, apreció además que tal correspondencia sistemática existe, de hecho, entre el conmutador cuántico y una deformación del soporte de Poisson, hoy llamado soporte de Moyal , y, en general, los operadores cuánticos y los observables y distribuciones clásicas en el espacio de fases . De esta manera finalmente dilucidó el mecanismo de correspondencia consistente, la transformada de Wigner-Weyl , que subyace a una representación matemática equivalente alternativa de la mecánica cuántica conocida como cuantificación de deformación . ^{[4] [6]}

Derivación de la mecánica hamiltoniana

Según el principio de correspondencia , en ciertos límites las ecuaciones cuánticas de estados deben aproximarse a las ecuaciones de movimiento de Hamilton . Estos últimos establecen la siguiente relación entre la coordenada generalizada q (por ejemplo, posición) y el impulso generalizado p :

$${\displaystyle {\begin{cases}{\dot {q}}={\frac {\partial H}{\partial p}}=\{q,H\};\\{\dot {p}}=-{\frac {\partial H}{\partial q}}=\{p,H\}.\end{cases}}}$$

En mecánica cuántica, el hamiltoniano , la coordenada (generalizada) y el momento (generalizado) son todos operadores lineales. ${\displaystyle {\hat {H}}}$ ${\displaystyle {\hat {Q}}}$ ${\displaystyle {\hat {P}}}$

La derivada temporal de un estado cuántico es - (según la ecuación de Schrödinger ). De manera equivalente, dado que los operadores no dependen explícitamente del tiempo, se puede ver que evolucionan en el tiempo (ver imagen de Heisenberg ) de acuerdo con su relación de conmutación con el hamiltoniano: ${\displaystyle i{\hat {H}}/\hbar }$

$${\displaystyle {\frac {d{\hat {Q}}}{dt}}={\frac {i}{\hbar }}[{\hat {H}},{\hat {Q}}]}$$

$${\displaystyle {\frac {d{\hat {P}}}{dt}}={\frac {i}{\hbar }}[{\hat {H}},{\hat {P}}]\,\,.}$$

Para que eso se concilie en el límite clásico con las ecuaciones de movimiento de Hamilton, debe depender completamente de la aparición de en el hamiltoniano y debe depender completamente de la aparición de en el hamiltoniano. Además, dado que el operador hamiltoniano depende de los operadores de coordenadas y de momento (generalizados), puede considerarse funcional y podemos escribir (usando derivadas funcionales ): ${\displaystyle [{\hat {H}},{\hat {Q}}]}$ ${\displaystyle {\hat {P}}}$ ${\displaystyle [{\hat {H}},{\hat {P}}]}$ ${\displaystyle {\hat {Q}}}$

$${\displaystyle [{\hat {H}},{\hat {Q}}]={\frac {\delta {\hat {H}}}{\delta {\hat {P}}}}\cdot [{\hat {P}},{\hat {Q}}]}$$

$${\displaystyle [{\hat {H}},{\hat {P}}]={\frac {\delta {\hat {H}}}{\delta {\hat {Q}}}}\cdot [{\hat {Q}},{\hat {P}}]\,\,.}$$

Para obtener el límite clásico debemos entonces tener

$${\displaystyle [{\hat {Q}},{\hat {P}}]=i\hbar ~\mathbb {I} .}$$

Las relaciones Weyl

El grupo generado por la exponenciación del álgebra de Lie tridimensional determinada por la relación de conmutación se llama grupo de Heisenberg . Este grupo se puede realizar como el grupo de matrices triangulares superiores con unos en la diagonal. ^[7] ${\displaystyle H_{3}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle [{\hat {x}},{\hat {p}}]=i\hbar }$ ${\displaystyle 3\times 3}$

Según la formulación matemática estándar de la mecánica cuántica , los observables cuánticos como y deberían representarse como operadores autoadjuntos en algún espacio de Hilbert . Es relativamente fácil ver que dos operadores que satisfacen las relaciones de conmutación canónicas anteriores no pueden ser ambos acotados . Ciertamente, si y fueran operadores de clases de traza , la relación daría un número distinto de cero a la derecha y cero a la izquierda. ${\displaystyle {\hat {x}}}$ ${\displaystyle {\hat {p}}}$ ${\displaystyle {\hat {x}}}$ ${\displaystyle {\hat {p}}}$ ${\displaystyle \operatorname {Tr} (AB)=\operatorname {Tr} (BA)}$

Alternativamente, si y fueran operadores acotados, tenga en cuenta que , por lo tanto, las normas del operador satisfarían ${\displaystyle {\hat {x}}}$ ${\displaystyle {\hat {p}}}$ ${\displaystyle [{\hat {x}}^{n},{\hat {p}}]=i\hbar n{\hat {x}}^{n-1}}$

$${\displaystyle 2\left\|{\hat {p}}\right\|\left\|{\hat {x}}^{n-1}\right\|\left\|{\hat {x}}\right\|\geq n\hbar \left\|{\hat {x}}^{n-1}\right\|,}$$

n

$${\displaystyle 2\left\|{\hat {p}}\right\|\left\|{\hat {x}}\right\|\geq n\hbar }$$

nteorema de Stone-von Neumannambos

Aun así, estas relaciones de conmutación canónicas pueden volverse algo más "dóciles" escribiéndolas en términos de operadores unitarios (limitados) y . Las relaciones entrelazadas resultantes para estos operadores son las llamadas relaciones de Weyl. ${\displaystyle \exp(it{\hat {x}})}$ ${\displaystyle \exp(is{\hat {p}})}$

$${\displaystyle \exp(it{\hat {x}})\exp(is{\hat {p}})=\exp(-ist/\hbar )\exp(is{\hat {p}})\exp(it{\hat {x}}).}$$

representaciones del grupo de Heisenberg

La unicidad de las relaciones de conmutación canónicas, en la forma de relaciones de Weyl, está garantizada por el teorema de Stone-von Neumann .

Es importante señalar que por razones técnicas, las relaciones de Weyl no son estrictamente equivalentes a la relación de conmutación canónica . Si y fueran operadores acotados, entonces un caso especial de la fórmula Baker-Campbell-Hausdorff permitiría "exponenciar" las relaciones de conmutación canónicas a las relaciones de Weyl. ^[8] Dado que, como hemos señalado, cualquier operador que satisfaga las relaciones de conmutación canónicas debe ser ilimitado, la fórmula de Baker-Campbell-Hausdorff no se aplica sin supuestos de dominio adicionales. De hecho, existen contraejemplos que satisfacen las relaciones de conmutación canónicas pero no las relaciones de Weyl. ^[9] (Estos mismos operadores dan un contraejemplo a la forma ingenua del principio de incertidumbre). Estas cuestiones técnicas son la razón por la que el teorema de Stone-von Neumann se formula en términos de las relaciones de Weyl. ${\displaystyle [{\hat {x}},{\hat {p}}]=i\hbar }$ ${\displaystyle {\hat {x}}}$ ${\displaystyle {\hat {p}}}$

Una versión discreta de las relaciones de Weyl, en la que los parámetros s y t oscilan entre , se puede realizar en un espacio de Hilbert de dimensión finita mediante las matrices de reloj y desplazamiento . ${\displaystyle \mathbb {Z} /n}$

Generalizaciones

La fórmula sencilla

$${\displaystyle [x,p]=i\hbar \,\mathbb {I} ~,}$$

cuantificaciónlagrangiano^[10]coordenadas canónicasxΦ( x )la teoría cuántica de camposmomentos canónicos π _xpderivadas ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$

$${\displaystyle \pi _{i}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial x_{i}/\partial t)}}.}$$

Esta definición del momento canónico asegura que una de las ecuaciones de Euler-Lagrange tenga la forma

$${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\pi _{i}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial x_{i}}}.}$$

Las relaciones de conmutación canónicas equivalen entonces a

$${\displaystyle [x_{i},\pi _{j}]=i\hbar \delta _{ij}\,}$$

δ _ijdelta de Kronecker

Además, se puede demostrar que

$${\displaystyle [F({\vec {x}}),p_{i}]=i\hbar {\frac {\partial F({\vec {x}})}{\partial x_{i}}};\qquad [x_{i},F({\vec {p}})]=i\hbar {\frac {\partial F({\vec {p}})}{\partial p_{i}}}.}$$

Usando , se puede demostrar que por inducción matemática ${\displaystyle C_{n+1}^{k}=C_{n}^{k}+C_{n}^{k-1}}$

$${\displaystyle \left[{\hat {x}}^{n},{\hat {p}}^{m}\right]=\sum _{k=1}^{\min \left(m,n\right)}{{\frac {-\left(-i\hbar \right)^{k}n!m!}{k!\left(n-k\right)!\left(m-k\right)!}}{\hat {x}}^{n-k}{\hat {p}}^{m-k}}=\sum _{k=1}^{\min \left(m,n\right)}{{\frac {\left(i\hbar \right)^{k}n!m!}{k!\left(n-k\right)!\left(m-k\right)!}}{\hat {p}}^{m-k}{\hat {x}}^{n-k}},}$$

^[11]

Invariancia de calibre

La cuantificación canónica se aplica, por definición, sobre coordenadas canónicas . Sin embargo, en presencia de un campo electromagnético , el momento canónico p no es invariante de calibre . El momento invariante de calibre correcto (o "momento cinético") es

${\displaystyle p_{\text{kin}}=p-qA\,\!}$ ( unidades SI ) ( unidades cgs ),     ${\displaystyle p_{\text{kin}}=p-{\frac {qA}{c}}\,\!}$

donde q es la carga eléctrica de la partícula , A es el potencial vectorial y c es la velocidad de la luz . Aunque la cantidad p _kin es el "momento físico", en el sentido de que es la cantidad que debe identificarse con el momento en experimentos de laboratorio, no satisface las relaciones de conmutación canónicas; sólo el impulso canónico hace eso. Esto se puede ver de la siguiente manera.

El hamiltoniano no relativista para una partícula cargada cuantificada de masa m en un campo electromagnético clásico es (en unidades cgs)

$${\displaystyle H={\frac {1}{2m}}\left(p-{\frac {qA}{c}}\right)^{2}+q\phi }$$

donde A es el potencial de tres vectores y φ es el potencial escalar . Esta forma del hamiltoniano, así como la ecuación de Schrödinger Hψ = iħ∂ψ/∂t , las ecuaciones de Maxwell y la ley de fuerza de Lorentz son invariantes bajo la transformación de calibre.

$${\displaystyle A\to A'=A+\nabla \Lambda }$$

$${\displaystyle \phi \to \phi '=\phi -{\frac {1}{c}}{\frac {\partial \Lambda }{\partial t}}}$$

$${\displaystyle \psi \to \psi '=U\psi }$$

$${\displaystyle H\to H'=UHU^{\dagger },}$$

$${\displaystyle U=\exp \left({\frac {iq\Lambda }{\hbar c}}\right)}$$

Λ = Λ( x , t )

El operador del momento angular es

$${\displaystyle L=r\times p\,\!}$$

$${\displaystyle [L_{i},L_{j}]=i\hbar {\epsilon _{ijk}}L_{k}}$$

álgebra de Lieso(3)símbolo de Levi-Civita ${\displaystyle \epsilon _{ijk}}$

$${\displaystyle \langle \psi \vert L\vert \psi \rangle \to \langle \psi ^{\prime }\vert L^{\prime }\vert \psi ^{\prime }\rangle =\langle \psi \vert L\vert \psi \rangle +{\frac {q}{\hbar c}}\langle \psi \vert r\times \nabla \Lambda \vert \psi \rangle \,.}$$

El momento angular invariante de calibre (o "momento angular cinético") viene dado por

$${\displaystyle K=r\times \left(p-{\frac {qA}{c}}\right),}$$

$${\displaystyle [K_{i},K_{j}]=i\hbar {\epsilon _{ij}}^{\,k}\left(K_{k}+{\frac {q\hbar }{c}}x_{k}\left(x\cdot B\right)\right)}$$

$${\displaystyle B=\nabla \times A}$$

campo magnéticoefecto Zeemanefecto Aharonov-Bohm

Relación de incertidumbre y conmutadores.

Todas estas relaciones de conmutación no triviales para pares de operadores conducen a relaciones de incertidumbre correspondientes , ^[12] que implican contribuciones de expectativa semidefinidas positivas por parte de sus respectivos conmutadores y anticonmutadores. En general, para dos operadores hermitianos A y B , considere los valores esperados en un sistema en el estado ψ , siendo las varianzas alrededor de los valores esperados correspondientes (Δ A ) ² ≡ ⟨( A − ⟨ A ⟩) ² ⟩ , etc.

Entonces

$${\displaystyle \Delta A\,\Delta B\geq {\frac {1}{2}}{\sqrt {\left|\left\langle \left[{A},{B}\right]\right\rangle \right|^{2}+\left|\left\langle \left\{A-\langle A\rangle ,B-\langle B\rangle \right\}\right\rangle \right|^{2}}},}$$

[ A ,  B ] ≡ A B − B AconmutadorAB{ A ,  B } ≡ A B + B Aanticonmutador

Esto se desprende del uso de la desigualdad de Cauchy-Schwarz , ya que |⟨ A ² ⟩| |⟨ B ² ⟩| ≥ |⟨ A B ⟩| ² , y A B = ([ A ,  B ] + { A ,  B })/2  ; y de manera similar para los operadores desplazados A − ⟨ A ⟩ y B − ⟨ B ⟩ . (Cf. derivaciones del principio de incertidumbre ).

Sustituyendo A y B (y teniendo cuidado con el análisis) se obtiene la familiar relación de incertidumbre de Heisenberg para x y p , como de costumbre.

Relación de incertidumbre para operadores de momento angular

Para los operadores de momento angular L _x = y p _z − z p _y , etc., se tiene que

$${\displaystyle [{L_{x}},{L_{y}}]=i\hbar \epsilon _{xyz}{L_{z}},}$$

símbolo de Levi-Civitade espín ${\displaystyle \epsilon _{xyz}}$

Aquí, para L _x y L _y  , ^[12] en multipletes de momento angular ψ = | ℓ , m ⟩ , se tiene, para las componentes transversales del invariante de Casimir L _x ² + L _y ² + L _z ² , las relaciones z -simétricas

⟨ L _x ² ⟩ = ⟨ L _y ² ⟩ = ( ℓ  ( ℓ + 1) − m ² ) ℏ ² /2  ,

así como ⟨ L _x ⟩ = ⟨ L _y ⟩ = 0  .

En consecuencia, la desigualdad anterior aplicada a esta relación de conmutación especifica

$${\displaystyle \Delta L_{x}\Delta L_{y}\geq {\frac {1}{2}}{\sqrt {\hbar ^{2}|\langle L_{z}\rangle |^{2}}}~,}$$

$${\displaystyle {\sqrt {|\langle L_{x}^{2}\rangle \langle L_{y}^{2}\rangle |}}\geq {\frac {\hbar ^{2}}{2}}\vert m\vert }$$

$${\displaystyle \ell (\ell +1)-m^{2}\geq |m|~,}$$

invariante de Casimirℓ  ( ℓ + 1) ≥ | metro | (| m | + 1)ℓ ≥ | metro |

Ver también

• Cuantización canónica
• Álgebras CCR y CAR
• Espaciotiempos conformestáticos
• Derivado de mentira
• soporte moyal
• Teorema de Stone-von Neumann

Referencias

1. "El desarrollo de la mecánica cuántica".
2. Nacido, M.; Jordania, P. (1925). "Zur Quantenmechanik". Zeitschrift für Physik . 34 (1): 858–888. Código Bib : 1925ZPhy...34..858B. doi :10.1007/BF01328531. S2CID  186114542.
3. Kennard, EH (1927). "Zur Quantenmechanik einfacher Bewegungstypen". Zeitschrift für Physik . 44 (4–5): 326–352. Código Bib : 1927ZPhy...44..326K. doi :10.1007/BF01391200. S2CID  121626384.
4. Groenewold, HJ (1946). "Sobre los principios de la mecánica cuántica elemental". Física . 12 (7): 405–460. Código bibliográfico : 1946Phy....12..405G. doi :10.1016/S0031-8914(46)80059-4.
5. Teorema 13.13 de Hall 2013
6. Curtright, TL; Zachos, CK (2012). "Mecánica cuántica en el espacio de fases". Boletín de Física de Asia Pacífico . 01 : 37–46. arXiv : 1104.5269 . doi :10.1142/S2251158X12000069. S2CID  119230734.
7. Salón 2015 Sección 1.2.6 y Proposición 3.26
8. Consulte la Sección 5.2 del Salón 2015 para obtener una derivación elemental.
9. Salón 2013 Ejemplo 14.5
10. Townsend, JS (2000). Un enfoque moderno de la mecánica cuántica . Sausalito, CA: Libros de ciencias universitarias. ISBN 1-891389-13-0.
11. McCoy, NH (1929), "Sobre fórmulas de conmutación en el álgebra de la mecánica cuántica", Transactions of the American Mathematical Society 31 (4), 793-806 en línea
12. Robertson, HP (1929). "El principio de incertidumbre". Revisión física . 34 (1): 163–164. Código bibliográfico : 1929PhRv...34..163R. doi : 10.1103/PhysRev.34.163.

• Hall, Brian C. (2013), Teoría cuántica para matemáticos , Textos de posgrado en matemáticas, vol. 267, saltador.
• Hall, Brian C. (2015), Grupos de Lie, Álgebras y representaciones de Lie, Introducción elemental , Textos de posgrado en Matemáticas, vol. 222 (2ª ed.), Springer.