Masa reducida

Masa inercial efectiva

En física , la masa reducida es una medida de la masa inercial efectiva de un sistema con dos o más partículas cuando las partículas interactúan entre sí. La masa reducida permite resolver el problema de los dos cuerpos como si fuera un problema de un solo cuerpo . Sin embargo, tenga en cuenta que la masa que determina la fuerza gravitacional no se reduce. En el cálculo se puede sustituir una masa por la masa reducida, si esto se compensa sustituyendo la otra masa por la suma de ambas masas. La masa reducida se denota frecuentemente por ( mu ), aunque el parámetro gravitacional estándar también se denota por (al igual que otras cantidades físicas ). Tiene las dimensiones de masa y unidad SI kg. ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mu }$

La masa reducida es particularmente útil en la mecánica clásica .

Ecuación

Dados dos cuerpos, uno con masa m ₁ y el otro con masa m ₂ , el problema equivalente de un cuerpo, con la posición de un cuerpo con respecto al otro como desconocida, es el de un solo cuerpo de masa ^{[1] [2]}

${\displaystyle \mu ={\cfrac {1}{{\cfrac {1}{m_{1}}}+{\cfrac {1}{m_{2}}}}}={\cfrac {m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}},}$

donde la fuerza sobre esta masa está dada por la fuerza entre los dos cuerpos.

Propiedades

La masa reducida es siempre menor o igual a la masa de cada cuerpo:

${\displaystyle \mu \leq m_{1},\quad \mu \leq m_{2}}$

y tiene la propiedad aditiva recíproca:

${\displaystyle {\frac {1}{\mu }}={\frac {1}{m_{1}}}+{\frac {1}{m_{2}}}}$

que por reordenamiento equivale a la mitad de la media armónica .

En el caso especial de que : ${\displaystyle m_{1}=m_{2}}$

${\displaystyle {\mu }={\frac {m_{1}}{2}}={\frac {m_{2}}{2}}}$

Si entonces . ${\displaystyle m_{1}\gg m_{2}}$ ${\displaystyle \mu \approx m_{2}}$

Derivación

La ecuación se puede derivar de la siguiente manera.

Mecánica newtoniana

Utilizando la segunda ley de Newton , la fuerza que ejerce un cuerpo (partícula 2) sobre otro cuerpo (partícula 1) es:

${\displaystyle \mathbf {F} _{12}=m_{1}\mathbf {a} _{1}}$

La fuerza ejercida por la partícula 1 sobre la partícula 2 es:

${\displaystyle \mathbf {F} _{21}=m_{2}\mathbf {a} _{2}}$

Según la tercera ley de Newton , la fuerza que la partícula 2 ejerce sobre la partícula 1 es igual y opuesta a la fuerza que la partícula 1 ejerce sobre la partícula 2:

${\displaystyle \mathbf {F} _{12}=-\mathbf {F} _{21}}$

Por lo tanto:

${\displaystyle m_{1}\mathbf {a} _{1}=-m_{2}\mathbf {a} _{2}\;\;\Rightarrow \;\;\mathbf {a} _{2}=-{m_{1} \over m_{2}}\mathbf {a} _{1}}$

La aceleración relativa a _rel entre los dos cuerpos viene dada por:

${\displaystyle \mathbf {a} _{\rm {rel}}:=\mathbf {a} _{1}-\mathbf {a} _{2}=\left(1+{\frac {m_{1}}{m_{2}}}\right)\mathbf {a} _{1}={\frac {m_{2}+m_{1}}{m_{1}m_{2}}}m_{1}\mathbf {a} _{1}={\frac {\mathbf {F} _{12}}{\mu }}}$

Tenga en cuenta que (dado que la derivada es un operador lineal) la aceleración relativa es igual a la aceleración de la separación entre las dos partículas. ${\displaystyle \mathbf {a} _{\rm {rel}}}$ ${\displaystyle \mathbf {x} _{\rm {rel}}}$

${\displaystyle \mathbf {a} _{\rm {rel}}=\mathbf {a} _{1}-\mathbf {a} _{2}={\frac {d^{2}\mathbf {x} _{1}}{dt^{2}}}-{\frac {d^{2}\mathbf {x} _{2}}{dt^{2}}}={\frac {d^{2}}{dt^{2}}}(\mathbf {x} _{1}-\mathbf {x} _{2})={\frac {d^{2}\mathbf {x} _{\rm {rel}}}{dt^{2}}}}$

Esto simplifica la descripción del sistema a una fuerza (ya que ), una coordenada y una masa . Así, hemos reducido nuestro problema a un solo grado de libertad y podemos concluir que la partícula 1 se mueve con respecto a la posición de la partícula 2 como una sola partícula de masa igual a la masa reducida, . ${\displaystyle \mathbf {F} _{12}=-\mathbf {F} _{21}}$ ${\displaystyle \mathbf {x} _{\rm {rel}}}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mu }$

Mecánica lagrangiana

Alternativamente, una descripción lagrangiana del problema de los dos cuerpos da un lagrangiano de

${\displaystyle {\mathcal {L}}={1 \over 2}m_{1}\mathbf {\dot {r}} _{1}^{2}+{1 \over 2}m_{2}\mathbf {\dot {r}} _{2}^{2}-V(|\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}|)}$

¿Dónde está el vector de posición de la masa (de la partícula )? La energía potencial V es una función ya que sólo depende de la distancia absoluta entre las partículas. si definimos ${\displaystyle {\mathbf {r} }_{i}}$ ${\displaystyle m_{i}}$ ${\displaystyle i}$

${\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}}$

y dejemos que el centro de masa coincida con nuestro origen en este sistema de referencia, es decir

${\displaystyle m_{1}\mathbf {r} _{1}+m_{2}\mathbf {r} _{2}=0}$,

entonces

${\displaystyle \mathbf {r} _{1}={\frac {m_{2}\mathbf {r} }{m_{1}+m_{2}}},\;\mathbf {r} _{2}=-{\frac {m_{1}\mathbf {r} }{m_{1}+m_{2}}}.}$

Luego, sustituyendo lo anterior se obtiene un nuevo lagrangiano.

${\displaystyle {\mathcal {L}}={1 \over 2}\mu \mathbf {\dot {r}} ^{2}-V(r),}$

dónde

${\displaystyle \mu ={\frac {m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}}$

es la masa reducida. Así hemos reducido el problema de los dos cuerpos al de un solo cuerpo.

Aplicaciones

La masa reducida se puede utilizar en multitud de problemas de dos cuerpos, donde es aplicable la mecánica clásica.

Momento de inercia de dos masas puntuales en una línea.

Dos masas puntuales que giran alrededor del centro de masa.

En un sistema con dos masas puntuales y tales que sean colineales, las dos distancias y al eje de rotación se pueden encontrar con ${\displaystyle m_{1}}$ ${\displaystyle m_{2}}$ ${\displaystyle r_{1}}$ ${\displaystyle r_{2}}$

${\displaystyle r_{1}=R{\frac {m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}}$

${\displaystyle r_{2}=R{\frac {m_{1}}{m_{1}+m_{2}}}}$

donde es la suma de ambas distancias . ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R=r_{1}+r_{2}}$

Esto es válido para una rotación alrededor del centro de masa. El momento de inercia alrededor de este eje puede entonces simplificarse a

$${\displaystyle I=m_{1}r_{1}^{2}+m_{2}r_{2}^{2}=R^{2}{\frac {m_{1}m_{2}^{2}}{(m_{1}+m_{2})^{2}}}+R^{2}{\frac {m_{1}^{2}m_{2}}{(m_{1}+m_{2})^{2}}}=\mu R^{2}.}$$

Colisiones de partículas

En una colisión con un coeficiente de restitución e , el cambio de energía cinética se puede escribir como

${\displaystyle \Delta K={\frac {1}{2}}\mu v_{\rm {rel}}^{2}(e^{2}-1)}$,

donde v _rel es la velocidad relativa de los cuerpos antes de la colisión .

Para aplicaciones típicas en física nuclear, donde la masa de una partícula es mucho mayor que la otra, la masa reducida puede aproximarse como la masa más pequeña del sistema. El límite de la fórmula de masa reducida cuando una masa llega al infinito es la masa más pequeña, por lo que esta aproximación se utiliza para facilitar los cálculos, especialmente cuando no se conoce la masa exacta de la partícula más grande.

Movimiento de dos cuerpos masivos bajo su atracción gravitacional.

En el caso de la energía potencial gravitacional

${\displaystyle V(|\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}|)=-{\frac {Gm_{1}m_{2}}{|\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}|}}\,,}$

encontramos que la posición del primer cuerpo con respecto al segundo se rige por la misma ecuación diferencial que la posición de un cuerpo con masa reducida orbitando un cuerpo con una masa igual a la suma de las dos masas, porque

${\displaystyle m_{1}m_{2}=(m_{1}+m_{2})\mu }$

Mecánica cuántica no relativista

Considere el electrón (masa m _e ) y el protón (masa m _p ) en el átomo de hidrógeno . ^[3] Se orbitan entre sí alrededor de un centro de masa común, un problema de dos cuerpos. Para analizar el movimiento del electrón, un problema de un solo cuerpo, la masa reducida reemplaza la masa del electrón.

${\displaystyle m_{\text{e}}\rightarrow {\frac {m_{\text{e}}m_{\text{p}}}{m_{\text{e}}+m_{\text{p}}}}}$

y la masa del protón se convierte en la suma de las dos masas

${\displaystyle m_{\text{p}}\rightarrow m_{\text{e}}+m_{\text{p}}}$

Esta idea se utiliza para establecer la ecuación de Schrödinger para el átomo de hidrógeno.

Otros usos

"Masa reducida" también puede referirse de manera más general a un término algebraico de la forma ^{[ cita necesaria ]}

${\displaystyle x^{*}={1 \over {1 \over x_{1}}+{1 \over x_{2}}}={x_{1}x_{2} \over x_{1}+x_{2}}}$

que simplifica una ecuación de la forma

${\displaystyle \ {1 \over x^{*}}=\sum _{i=1}^{n}{1 \over x_{i}}={1 \over x_{1}}+{1 \over x_{2}}+\cdots +{1 \over x_{n}}.}$

La masa reducida se utiliza típicamente como una relación entre dos elementos del sistema en paralelo, como las resistencias ; ya sea en los dominios eléctrico, térmico, hidráulico o mecánico. Una expresión similar aparece en las vibraciones transversales de vigas para los módulos elásticos. ^[4] Esta relación está determinada por las propiedades físicas de los elementos, así como por la ecuación de continuidad que los vincula.

Ver también

• Cuadro de centro de momento
• Conservación del impulso
• Oscilador armónico
• Masa chirp , equivalente relativista utilizado en la expansión posnewtoniana

Referencias

1. Enciclopedia de física (segunda edición), RG Lerner , GL Trigg, editores VHC, 1991, (Verlagsgesellschaft) 3-527-26954-1, (VHC Inc.) 0-89573-752-3
2. Dinámica y relatividad, JR Forshaw, AG Smith, Wiley, 2009, ISBN  978-0-470-01460-8
3. Mecánica cuántica molecular, partes I y II: Introducción a la química cuántica (volumen 1), PW Atkins, Oxford University Press, 1977, ISBN 0-19-855129-0 
4. Estudio experimental de las predicciones de la teoría del haz de Timoshenko, A.Díaz-de-Anda J.Flores, L.Gutiérrez, RAMéndez-Sánchez, G.Monsivais y A.Morales.Journal of Sound and Vibration, Volumen 331, Número 26, 17 de diciembre de 2012, páginas 5732–5744 https://doi.org/10.1016/j.jsv.2012.07.041

enlaces externos

• Masa reducida en hiperfísica