transformación galileana

Concepto en física y matemáticas.

En física , una transformación galileana se utiliza para transformar entre las coordenadas de dos sistemas de referencia que difieren sólo por el movimiento relativo constante dentro de las construcciones de la física newtoniana . Estas transformaciones, junto con las rotaciones espaciales y las traslaciones en el espacio y el tiempo, forman el grupo galileano no homogéneo (que se asume a continuación). Sin las traslaciones en el espacio y el tiempo el grupo es el grupo galileano homogéneo . El grupo galileano es el conjunto de movimientos de la relatividad galileana que actúan sobre las cuatro dimensiones del espacio y el tiempo, formando la geometría galileana . Éste es el punto de vista de la transformación pasiva . En la relatividad especial, las transformaciones galileanas homogéneas y no homogéneas son reemplazadas, respectivamente, por las transformaciones de Lorentz y las transformaciones de Poincaré ; por el contrario, la contracción de grupo en el límite clásico c → ∞ de las transformaciones de Poincaré produce transformaciones galileanas.

Las ecuaciones siguientes solo son físicamente válidas en un marco newtoniano y no son aplicables a sistemas de coordenadas que se mueven entre sí a velocidades cercanas a la velocidad de la luz .

Galileo formuló estos conceptos en su descripción del movimiento uniforme . ^[1] El tema fue motivado por su descripción del movimiento de una bola que rueda por una rampa , mediante la cual midió el valor numérico de la aceleración de la gravedad cerca de la superficie de la Tierra .

Traducción

Configuración estándar de sistemas de coordenadas para transformaciones galileanas.

Aunque las transformaciones llevan el nombre de Galileo, es el tiempo y el espacio absolutos tal como los concibió Isaac Newton los que proporcionan su dominio de definición. En esencia, las transformaciones galileanas encarnan la noción intuitiva de suma y resta de velocidades como vectores .

La siguiente notación describe la relación bajo la transformación galileana entre las coordenadas ( x , y , z , t ) y ( x ′, y ′, z ′, t ′) de un único evento arbitrario, medido en dos sistemas de coordenadas S y S′ , en movimiento relativo uniforme ( velocidad v ) en sus direcciones comunes x y x ′ , coincidiendo sus orígenes espaciales en el tiempo t = t ′ = 0 : ^{[2] [3] [4] [5]}

${\displaystyle x'=x-vt}$

${\displaystyle y'=y}$

${\displaystyle z'=z}$

${\displaystyle t'=t.}$

Tenga en cuenta que la última ecuación es válida para todas las transformaciones galileanas hasta la suma de una constante y expresa la suposición de un tiempo universal independiente del movimiento relativo de diferentes observadores.

En el lenguaje del álgebra lineal , esta transformación se considera un mapeo de corte y se describe con una matriz que actúa sobre un vector. Con movimiento paralelo al eje x , la transformación actúa solo sobre dos componentes:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}x'\\t'\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&-v\\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\t\end{pmatrix}}}$

Aunque las representaciones matriciales no son estrictamente necesarias para la transformación galileana, proporcionan los medios para una comparación directa con los métodos de transformación en relatividad especial.

transformaciones galileanas

Las simetrías galileanas pueden escribirse únicamente como la composición de una rotación , una traslación y un movimiento uniforme del espacio-tiempo. ^[6] Sea x un punto en el espacio tridimensional y t un punto en el tiempo unidimensional. Un punto general en el espacio-tiempo viene dado por un par ordenado ( x , t ) .

Un movimiento uniforme, con velocidad v , viene dado por

${\displaystyle (\mathbf {x} ,t)\mapsto (\mathbf {x} +t\mathbf {v} ,t),}$

donde v ∈ R ³ . Una traducción viene dada por

${\displaystyle (\mathbf {x} ,t)\mapsto (\mathbf {x} +\mathbf {a} ,t+s),}$

donde a ∈ R ³ y s ∈ R . Una rotación está dada por

${\displaystyle (\mathbf {x} ,t)\mapsto (R\mathbf {x} ,t),}$

donde R  : R ³ → R ³ es una transformación ortogonal . ^[6]

Como grupo de Lie , el grupo de transformaciones galileanas tiene dimensión 10. ^[6]

grupo galileo

Dos transformaciones galileanas G ( R , v , a , s ) y G ( R' , v ′, a ′, s ′) se componen para formar una tercera transformación galileana,

G ( R ′, v ′, a ′, s ′) ⋅ G ( R , v , a , s ) = G ( R′ R , R ′ v + v ′, R ′ a + a ′ + v ′ s , s '+ s ) .

El conjunto de todas las transformaciones galileanas Gal(3) forma un grupo con la composición como operación grupal.

El grupo a veces se representa como un grupo matricial con eventos espacio-temporales ( x , t , 1) como vectores donde t es real y x ∈ R ³ es una posición en el espacio. La acción está dada por ^[7]

${\displaystyle {\begin{pmatrix}R&v&a\\0&1&s\\0&0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\t\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}Rx+vt+a\\t+s\\1\end{pmatrix}},}$

donde s es real y v , x , a ∈ R ³ y R es una matriz de rotación . La composición de las transformaciones se logra luego mediante la multiplicación de matrices . En la discusión se debe tener cuidado si uno se limita al grupo de componentes conexos de las transformaciones ortogonales.

Gal(3) ha nombrado subgrupos. El componente de identidad se denomina SGal(3) .

Sea m la matriz de transformación con parámetros v , R , s , a :

• ${\displaystyle \{m:R=I_{3}\},}$transformaciones anisotrópicas.
• ${\displaystyle \{m:s=0\},}$transformaciones isócronas.
• ${\displaystyle \{m:s=0,v=0\},}$transformaciones espaciales euclidianas.
• ${\displaystyle G_{1}=\{m:s=0,a=0\},}$transformaciones uniformemente especiales / transformaciones homogéneas, transformaciones isomórficas a euclidianas.
• ${\displaystyle G_{2}=\{m:v=0,R=I_{3}\}\cong \left(\mathbf {R} ^{4},+\right),}$Cambios de origen/traducción en el espacio-tiempo newtoniano.
• ${\displaystyle G_{3}=\{m:s=0,a=0,v=0\}\cong \mathrm {SO} (3),}$rotaciones (del sistema de referencia) (ver SO (3) ), un grupo compacto.
• ${\displaystyle G_{4}=\{m:s=0,a=0,R=I_{3}\}\cong \left(\mathbf {R} ^{3},+\right),}$Movimientos/aumentos uniformes del cuadro.

Los parámetros s , v , R , a abarcan diez dimensiones. Dado que las transformaciones dependen continuamente de s , v , R , a , Gal(3) es un grupo continuo , también llamado grupo topológico.

La estructura de Gal(3) puede entenderse mediante la reconstrucción a partir de subgrupos. Se requiere la combinación de productos semidirectos ( ) de grupos. ${\displaystyle A\rtimes B}$

1. ${\displaystyle G_{2}\triangleleft \mathrm {SGal} (3)}$( G ₂ es un subgrupo normal )
2. ${\displaystyle \mathrm {SGal} (3)\cong G_{2}\rtimes G_{1}}$
3. ${\displaystyle G_{4}\trianglelefteq G_{1}}$
4. ${\displaystyle G_{1}\cong G_{4}\rtimes G_{3}}$
5. ${\displaystyle \mathrm {SGal} (3)\cong \mathbf {R} ^{4}\rtimes (\mathbf {R} ^{3}\rtimes \mathrm {SO} (3)).}$

Origen en la contracción grupal

El álgebra de Lie del grupo galileano está abarcada por H , Pi _, Ci _y Lij (un tensor antisimétrico ) , sujeto a relaciones de conmutación _, donde

${\displaystyle [H,P_{i}]=0}$

${\displaystyle [P_{i},P_{j}]=0}$

${\displaystyle [L_{ij},H]=0}$

${\displaystyle [C_{i},C_{j}]=0}$

${\displaystyle [L_{ij},L_{kl}]=i[\delta _{ik}L_{jl}-\delta _{il}L_{jk}-\delta _{jk}L_{il}+\delta _{jl}L_{ik}]}$

${\displaystyle [L_{ij},P_{k}]=i[\delta _{ik}P_{j}-\delta _{jk}P_{i}]}$

${\displaystyle [L_{ij},C_{k}]=i[\delta _{ik}C_{j}-\delta _{jk}C_{i}]}$

${\displaystyle [C_{i},H]=iP_{i}\,\!}$

${\displaystyle [C_{i},P_{j}]=0~.}$

H es el generador de traslaciones de tiempo ( hamiltoniano ), Pi _es el generador de traslaciones ( operador de momento ), Ci _es el generador de transformaciones galileanas sin rotación (impulsores galileanos), ^[8] y Lij _representa un generador de rotaciones ( operador de momento angular ).

Este álgebra de Lie se considera un límite clásico especial del álgebra del grupo de Poincaré , en el límite c → ∞ . Técnicamente, el grupo galileano es una célebre contracción del grupo de Poincaré (que, a su vez, es una contracción del grupo de De Sitter SO(1,4) ). ^[9] Formalmente, cambiar el nombre de los generadores de impulso y el impulso de este último como en

P ₀ ↦ H / c

K _yo ↦ C ⋅ C _yo ,

donde c es la velocidad de la luz (o cualquier función ilimitada de la misma), las relaciones de conmutación (constantes de estructura) en el límite c → ∞ asumen las relaciones de la primera. Se identifican generadores de traslaciones y rotaciones de tiempo. Tenga en cuenta también los invariantes de grupo L _mn L ^mn y P _i P ⁱ .

En forma matricial, para d = 3 , se puede considerar la representación regular (incrustada en GL(5; R ) , de la cual podría derivarse mediante una contracción de grupo único, sin pasar por el grupo de Poincaré),

${\displaystyle iH=\left({\begin{array}{ccccc}0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0\\0&0&0&0&1\\0&0&0&0&0\\\end{array}}\right),\qquad }$ ${\displaystyle i{\vec {a}}\cdot {\vec {P}}=\left({\begin{array}{ccccc}0&0&0&0&a_{1}\\0&0&0&0&a_{2}\\0&0&0&0&a_{3}\\0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0\\\end{array}}\right),\qquad }$ ${\displaystyle i{\vec {v}}\cdot {\vec {C}}=\left({\begin{array}{ccccc}0&0&0&v_{1}&0\\0&0&0&v_{2}&0\\0&0&0&v_{3}&0\\0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0\\\end{array}}\right),\qquad }$ ${\displaystyle i\theta _{i}\epsilon ^{ijk}L_{jk}=\left({\begin{array}{ccccc}0&\theta _{3}&-\theta _{2}&0&0\\-\theta _{3}&0&\theta _{1}&0&0\\\theta _{2}&-\theta _{1}&0&0&0\\0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0\\\end{array}}\right)~.}$

El elemento del grupo infinitesimal es entonces

${\displaystyle G(R,{\vec {v}},{\vec {a}},s)=1\!\!1_{5}+\left({\begin{array}{ccccc}0&\theta _{3}&-\theta _{2}&v_{1}&a_{1}\\-\theta _{3}&0&\theta _{1}&v_{2}&a_{2}\\\theta _{2}&-\theta _{1}&0&v_{3}&a_{3}\\0&0&0&0&s\\0&0&0&0&0\\\end{array}}\right)+\ ...~.}$

Extensión central del grupo galileano

Se puede considerar ^[10] una extensión central del álgebra de Lie del grupo galileano, abarcada por H ′, P ′ _i , C ′ _i , L ′ _ij y un operador M : el llamado álgebra de Bargmann se obtiene imponiendo , tal que M se encuentra en el centro , es decir, conmuta con todos los demás operadores. ${\displaystyle [C'_{i},P'_{j}]=iM\delta _{ij}}$

En su totalidad, esta álgebra se da como

${\displaystyle [H',P'_{i}]=0\,\!}$

${\displaystyle [P'_{i},P'_{j}]=0\,\!}$

${\displaystyle [L'_{ij},H']=0\,\!}$

${\displaystyle [C'_{i},C'_{j}]=0\,\!}$

${\displaystyle [L'_{ij},L'_{kl}]=i[\delta _{ik}L'_{jl}-\delta _{il}L'_{jk}-\delta _{jk}L'_{il}+\delta _{jl}L'_{ik}]\,\!}$

${\displaystyle [L'_{ij},P'_{k}]=i[\delta _{ik}P'_{j}-\delta _{jk}P'_{i}]\,\!}$

${\displaystyle [L'_{ij},C'_{k}]=i[\delta _{ik}C'_{j}-\delta _{jk}C'_{i}]\,\!}$

${\displaystyle [C'_{i},H']=iP'_{i}\,\!}$

y finalmente

${\displaystyle [C'_{i},P'_{j}]=iM\delta _{ij}~.}$

donde aparece el nuevo parámetro . Esta extensión y representaciones proyectivas que esto permite está determinada por su cohomología de grupo . ${\displaystyle M}$

Ver también

• invariancia galileana
• Teoría de la representación del grupo galileano.
• Formulación del tensor covariante de Galilei
• grupo poincaré
• grupo lorentz
• Coordenadas lagrangianas y eulerianas

Notas

1. Galilei 1638i, 191–196 (en italiano)
   Galilei 1638e, (en inglés)
   Copernicus et al. 2002, págs. 515–520
2. Moho 2002, Capítulo 2 §2.6, p. 42
3. Lerner 1996, Capítulo 38 §38.2, p. 1046,1047
4. Serway & Jewett 2006, Capítulo 9 §9.1, p. 261
5. Hoffmann 1983, Capítulo 5, p. 83
6. Arnold 1989, pag. 6
7. [1]Nadjafikhah y Forough 2009
8. Ungar, AA (2006). Más allá de la ley de la suma de Einstein y su precesión giroscópica de Thomas: la teoría de los girogrupos y los espacios girovectoriales (edición ilustrada). Medios de ciencia y negocios de Springer. pag. 336.ISBN​ 978-0-306-47134-6.Extracto de la página 336
9. Gilmore 2006
10. Bargmann 1954

Referencias

• Arnold, VI (1989). Métodos matemáticos de la mecánica clásica (2 ed.). Springer-Verlag. pag. 6.ISBN​ 0-387-96890-3.
• Bargmann, V. (1954). "Sobre representaciones de rayos unitarios de grupos continuos". Anales de Matemáticas . 2. 59 (1): 1–46. doi :10.2307/1969831. JSTOR  1969831.
• Copérnico, Nicolás ; Kepler, Johannes ; Galileo, Galileo ; Newton, Isaac ; Einstein, Alberto (2002). Hawking, Stephen (ed.). A hombros de gigantes: las grandes obras de la física y la astronomía . Filadelfia, Londres: Running Press . págs. 515–520. ISBN 0-7624-1348-4.
• Galilei, Galileo (1638i). Discorsi e Dimostrazioni Matematiche, intorno á due nuoue scienze (en italiano). Leiden: Elsevier . págs. 191-196.
• Galilei, Galileo (1638e). Discursos y demostraciones matemáticas relativas a dos nuevas ciencias [ Discorsi e Dimostrazioni Matematiche Intorno a Due Nuove Scienze ]. Traducido al inglés en 1914 por Henry Crew y Alfonso de Salvio.
• Gilmore, Robert (2006). Grupos de mentiras, álgebras de mentiras y algunas de sus aplicaciones . Libros de Dover sobre matemáticas. Publicaciones de Dover . ISBN 0486445291.
• Hoffmann, Banesh (1983), La relatividad y sus raíces, Scientific American Books, ISBN 0-486-40676-8, Capítulo 5, pág. 83
• Lerner, Lawrence S. (1996), Física para científicos e ingenieros, vol. 2, Jones y Bertlett Publishers, Inc, ISBN 0-7637-0460-1, Capítulo 38 §38.2, pág. 1046,1047
• Mould, Richard A. (2002), Relatividad básica, Springer-Verlag, ISBN 0-387-95210-1, Capítulo 2 §2.6, pág. 42
• Nadjafikhah, Mehdi; Por supuesto, Ahmad-Reza (2009). "Geometría galileana de los movimientos" (PDF) . Ciencias Aplicadas . 11 : 91-105.
• Serway, Raymond A.; Jewett, John W. (2006), Principios de física: un texto basado en cálculo (4ª ed.), Brooks/Cole - Thomson Learning, Bibcode : 2006ppcb.book.....J, ISBN 0-534-49143-X, Capítulo 9 §9.1, pág. 261