En física teórica , la teoría cuántica de campos ( QFT ) es un marco teórico que combina la teoría de campos clásica , la relatividad especial y la mecánica cuántica . [1] : xi QFT se utiliza en física de partículas para construir modelos físicos de partículas subatómicas y en física de materia condensada para construir modelos de cuasipartículas . El modelo estándar actual de física de partículas se basa en la teoría cuántica de campos.
QFT trata las partículas como estados excitados (también llamados niveles cuánticos ) de sus campos cuánticos subyacentes , que son más fundamentales que las partículas. La ecuación de movimiento de la partícula se determina mediante la minimización de la acción calculada para el lagrangiano , una función de los campos asociados con la partícula. Las interacciones entre partículas se describen mediante términos de interacción en lagrangiano que involucran sus correspondientes campos cuánticos. Cada interacción se puede representar visualmente mediante diagramas de Feynman según la teoría de la perturbación en mecánica cuántica .
La teoría cuántica de campos surgió del trabajo de generaciones de físicos teóricos que abarcaron gran parte del siglo XX. Su desarrollo comenzó en la década de 1920 con la descripción de las interacciones entre la luz y los electrones , culminando en la primera teoría cuántica de campos: la electrodinámica cuántica . Pronto surgió un obstáculo teórico importante con la aparición y persistencia de varios infinitos en los cálculos perturbativos, un problema que sólo se resolvió en la década de 1950 con la invención del procedimiento de renormalización . Una segunda barrera importante surgió con la aparente incapacidad de QFT para describir las interacciones débiles y fuertes , hasta el punto en que algunos teóricos pidieron el abandono del enfoque de la teoría de campo. El desarrollo de la teoría de calibre y la finalización del modelo estándar en la década de 1970 condujeron a un renacimiento de la teoría cuántica de campos.
La teoría cuántica de campos resulta de la combinación de la teoría clásica de campos , la mecánica cuántica y la relatividad especial . [1] : xi A continuación se ofrece una breve descripción de estos precursores teóricos.
La primera teoría de campos clásica exitosa es la que surgió de la ley de gravitación universal de Newton , a pesar de la ausencia total del concepto de campos en su tratado Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica de 1687 . La fuerza de gravedad, tal como la describió Isaac Newton, es una " acción a distancia ": sus efectos sobre objetos lejanos son instantáneos, sin importar la distancia. En un intercambio de cartas con Richard Bentley , sin embargo, Newton afirmó que "es inconcebible que la materia bruta inanimada, sin la mediación de algo más que no sea material, opere y afecte a otra materia sin contacto mutuo". [2] : 4 No fue hasta el siglo XVIII que los físicos matemáticos descubrieron una descripción conveniente de la gravedad basada en campos: una cantidad numérica (un vector en el caso del campo gravitacional ) asignada a cada punto en el espacio que indica la acción de la gravedad sobre cualquier partícula en ese punto. Sin embargo, esto se consideró simplemente un truco matemático. [3] : 18
Los campos comenzaron a adquirir existencia propia con el desarrollo del electromagnetismo en el siglo XIX. Michael Faraday acuñó el término inglés "campo" en 1845. Introdujo los campos como propiedades del espacio (incluso cuando está desprovisto de materia) que tienen efectos físicos. Se opuso a la "acción a distancia" y propuso que las interacciones entre objetos se producen a través de "líneas de fuerza" que llenan el espacio. Esta descripción de campos permanece hasta el día de hoy. [2] [4] : 301 [5] : 2
La teoría del electromagnetismo clásico se completó en 1864 con las ecuaciones de Maxwell , que describían la relación entre el campo eléctrico , el campo magnético , la corriente eléctrica y la carga eléctrica . Las ecuaciones de Maxwell implicaban la existencia de ondas electromagnéticas , fenómeno por el cual campos eléctricos y magnéticos se propagan de un punto espacial a otro a una velocidad finita, que resulta ser la velocidad de la luz . La acción a distancia quedó así refutada de manera concluyente. [2] : 19
A pesar del enorme éxito del electromagnetismo clásico, no pudo explicar las líneas discretas en los espectros atómicos , ni la distribución de la radiación del cuerpo negro en diferentes longitudes de onda. [6] El estudio de Max Planck sobre la radiación del cuerpo negro marcó el comienzo de la mecánica cuántica. Trató a los átomos, que absorben y emiten radiación electromagnética , como pequeños osciladores con la propiedad crucial de que sus energías sólo pueden adoptar una serie de valores discretos, en lugar de continuos. Estos se conocen como osciladores armónicos cuánticos . Este proceso de restringir energías a valores discretos se llama cuantificación. [7] : Capítulo 2 Basándose en esta idea, Albert Einstein propuso en 1905 una explicación para el efecto fotoeléctrico , según la cual la luz está compuesta de paquetes individuales de energía llamados fotones (los cuantos de luz). Esto implicaba que la radiación electromagnética, aunque son ondas en el campo electromagnético clásico, también existe en forma de partículas. [6]
En 1913, Niels Bohr introdujo el modelo de estructura atómica de Bohr, en el que los electrones dentro de los átomos sólo pueden adoptar una serie de energías discretas, en lugar de continuas. Este es otro ejemplo de cuantización. El modelo de Bohr explicó con éxito la naturaleza discreta de las líneas espectrales atómicas. En 1924, Louis de Broglie propuso la hipótesis de la dualidad onda-partícula , según la cual las partículas microscópicas exhiben propiedades tanto ondulatorias como partícula en diferentes circunstancias. [6] Uniendo estas ideas dispersas, se formuló una disciplina coherente, la mecánica cuántica , entre 1925 y 1926, con importantes contribuciones de Max Planck , Louis de Broglie , Werner Heisenberg , Max Born , Erwin Schrödinger , Paul Dirac y Wolfgang Pauli . [3] : 22-23
El mismo año de su artículo sobre el efecto fotoeléctrico, Einstein publicó su teoría de la relatividad especial , basada en el electromagnetismo de Maxwell. Se dieron nuevas reglas, llamadas transformaciones de Lorentz , para determinar la forma en que cambian las coordenadas de tiempo y espacio de un evento ante cambios en la velocidad del observador, y la distinción entre tiempo y espacio se desdibujó. [3] : 19 Se propuso que todas las leyes físicas deben ser las mismas para observadores a diferentes velocidades, es decir, que las leyes físicas sean invariantes bajo transformaciones de Lorentz.
Quedaban dos dificultades. Observacionalmente, la ecuación de Schrödinger subyacente a la mecánica cuántica podría explicar la emisión estimulada de radiación de los átomos, donde un electrón emite un nuevo fotón bajo la acción de un campo electromagnético externo, pero no pudo explicar la emisión espontánea , donde un electrón disminuye espontáneamente su energía. y emite un fotón incluso sin la acción de un campo electromagnético externo. Teóricamente, la ecuación de Schrödinger no podía describir fotones y era inconsistente con los principios de la relatividad especial: trata el tiempo como un número ordinario al tiempo que promueve las coordenadas espaciales para los operadores lineales . [6]
La teoría cuántica de campos comenzó naturalmente con el estudio de las interacciones electromagnéticas, ya que en la década de 1920 el campo electromagnético era el único campo clásico conocido. [8] : 1
A través de los trabajos de Born, Heisenberg y Pascual Jordan en 1925-1926, se desarrolló una teoría cuántica del campo electromagnético libre (uno sin interacciones con la materia) mediante cuantificación canónica al tratar el campo electromagnético como un conjunto de osciladores armónicos cuánticos . [8] : 1 Sin embargo, con la exclusión de las interacciones, tal teoría era todavía incapaz de hacer predicciones cuantitativas sobre el mundo real. [3] : 22
En su artículo fundamental de 1927 La teoría cuántica de la emisión y absorción de radiación , Dirac acuñó el término electrodinámica cuántica (QED), una teoría que añade a los términos que describen el campo electromagnético libre un término de interacción adicional entre la densidad de corriente eléctrica y el vector electromagnético. potencial . Utilizando la teoría de la perturbación de primer orden , explicó con éxito el fenómeno de la emisión espontánea. Según el principio de incertidumbre de la mecánica cuántica, los osciladores armónicos cuánticos no pueden permanecer estacionarios, pero tienen una energía mínima distinta de cero y deben estar siempre oscilando, incluso en el estado de menor energía (el estado fundamental ). Por lo tanto, incluso en un vacío perfecto , permanece un campo electromagnético oscilante que tiene energía de punto cero . Es esta fluctuación cuántica de los campos electromagnéticos en el vacío la que "estimula" la emisión espontánea de radiación por los electrones de los átomos. La teoría de Dirac tuvo un gran éxito al explicar tanto la emisión como la absorción de radiación por los átomos; Al aplicar la teoría de la perturbación de segundo orden, pudo explicar la dispersión de fotones, la fluorescencia de resonancia y la dispersión Compton no relativista . No obstante, la aplicación de la teoría de la perturbación de orden superior estuvo plagada de infinitos problemáticos en los cálculos. [6] : 71
En 1928, Dirac escribió una ecuación de onda que describía los electrones relativistas: la ecuación de Dirac . Tuvo las siguientes consecuencias importantes: el espín de un electrón es 1/2; el factor g del electrón es 2; condujo a la fórmula correcta de Sommerfeld para la estructura fina del átomo de hidrógeno ; y podría usarse para derivar la fórmula de Klein-Nishina para la dispersión relativista de Compton. Aunque los resultados fueron fructíferos, la teoría aparentemente también implicaba la existencia de estados de energía negativos, lo que haría que los átomos fueran inestables, ya que siempre podrían descomponerse a estados de energía más bajos mediante la emisión de radiación. [6] : 71–72
La opinión predominante en ese momento era que el mundo estaba compuesto de dos ingredientes muy diferentes: partículas materiales (como los electrones) y campos cuánticos (como los fotones). Se consideraba que las partículas materiales eran eternas y su estado físico se describía mediante las probabilidades de encontrar cada partícula en cualquier región determinada del espacio o rango de velocidades. Por otro lado, los fotones se consideraban simplemente los estados excitados del campo electromagnético cuantificado subyacente y podían crearse o destruirse libremente. Fue entre 1928 y 1930 cuando Jordan, Eugene Wigner , Heisenberg, Pauli y Enrico Fermi descubrieron que las partículas materiales también podían verse como estados excitados de campos cuánticos. Así como los fotones son estados excitados del campo electromagnético cuantificado, cada tipo de partícula tenía su correspondiente campo cuántico: un campo de electrones, un campo de protones, etc. Con suficiente energía, ahora sería posible crear partículas materiales. Partiendo de esta idea, Fermi propuso en 1932 una explicación para la desintegración beta conocida como interacción de Fermi . Los núcleos atómicos no contienen electrones per se , pero en el proceso de desintegración, se crea un electrón a partir del campo electrónico circundante, análogo al fotón creado a partir del campo electromagnético circundante en la desintegración radiativa de un átomo excitado. [3] : 22-23
En 1929, Dirac y otros se dieron cuenta de que los estados de energía negativos implícitos en la ecuación de Dirac podían eliminarse asumiendo la existencia de partículas con la misma masa que los electrones pero con carga eléctrica opuesta. Esto no sólo aseguró la estabilidad de los átomos, sino que también fue la primera propuesta de la existencia de antimateria . De hecho, la evidencia de los positrones fue descubierta en 1932 por Carl David Anderson en los rayos cósmicos . Con suficiente energía, por ejemplo absorbiendo un fotón, se podría crear un par electrón-positrón, proceso llamado producción de pares ; el proceso inverso, la aniquilación, también podría ocurrir con la emisión de un fotón. Esto demostró que no es necesario fijar el número de partículas durante una interacción. Históricamente, sin embargo, al principio se pensó que los positrones eran "agujeros" en un mar infinito de electrones, en lugar de un nuevo tipo de partícula, y esta teoría se denominó teoría del agujero de Dirac . [6] : 72 [3] : 23 QFT incorporó naturalmente antipartículas en su formalismo. [3] : 24
Robert Oppenheimer demostró en 1930 que los cálculos perturbativos de orden superior en QED siempre daban como resultado cantidades infinitas, como la autoenergía del electrón y la energía del punto cero del vacío de los campos de electrones y fotones, [6] sugiriendo que los métodos computacionales en el el tiempo no podía abordar adecuadamente las interacciones que involucraban fotones con momentos extremadamente altos. [3] : 25 No fue hasta 20 años después que se desarrolló un enfoque sistemático para eliminar tales infinitos.
Ernst Stueckelberg publicó una serie de artículos entre 1934 y 1938 que establecieron una formulación relativista invariante de QFT. En 1947, Stueckelberg también desarrolló de forma independiente un procedimiento de renormalización completo. Estos logros no fueron comprendidos ni reconocidos por la comunidad teórica. [6]
Ante estos infinitos, John Archibald Wheeler y Heisenberg propusieron, en 1937 y 1943 respectivamente, suplantar la problemática QFT por la llamada teoría de la matriz S. Dado que los detalles específicos de las interacciones microscópicas son inaccesibles a las observaciones, la teoría sólo debería intentar describir las relaciones entre un pequeño número de observables ( por ejemplo, la energía de un átomo) en una interacción, en lugar de preocuparse por las minucias microscópicas de la interacción. . En 1945, Richard Feynman y Wheeler sugirieron audazmente abandonar la QFT por completo y propusieron la acción a distancia como mecanismo de interacción de partículas. [3] : 26
En 1947, Willis Lamb y Robert Retherford midieron la mínima diferencia en los niveles de energía 2 S 1/2 y 2 P 1/2 del átomo de hidrógeno, también llamado desplazamiento de Lamb . Al ignorar la contribución de los fotones cuya energía excede la masa del electrón, Hans Bethe estimó con éxito el valor numérico del desplazamiento de Lamb. [6] [3] : 28 Posteriormente, Norman Myles Kroll , Lamb, James Bruce French y Victor Weisskopf confirmaron nuevamente este valor utilizando un enfoque en el que los infinitos cancelaban otros infinitos para dar como resultado cantidades finitas. Sin embargo, este método era torpe y poco fiable y no podía generalizarse a otros cálculos. [6]
El gran avance finalmente se produjo alrededor de 1950, cuando Julian Schwinger , Richard Feynman , Freeman Dyson y Shinichiro Tomonaga desarrollaron un método más sólido para eliminar infinitos . La idea principal es reemplazar los valores calculados de masa y carga, por infinitos que sean, por sus valores medidos finitos. Este procedimiento computacional sistemático se conoce como renormalización y puede aplicarse a un orden arbitrario en la teoría de perturbaciones. [6] Como dijo Tomonaga en su conferencia Nobel:
Dado que esas partes de la masa y carga modificadas debido a las reacciones de campo [se vuelven infinitas], es imposible calcularlas mediante la teoría. Sin embargo, la masa y la carga observadas en los experimentos no son la masa y la carga originales, sino la masa y la carga modificadas por las reacciones de campo, y son finitas. Por otro lado, la masa y la carga que aparecen en la teoría son… los valores modificados por las reacciones de campo. Dado que esto es así, y particularmente porque la teoría es incapaz de calcular la masa y la carga modificadas, podemos adoptar el procedimiento de sustituirlos fenomenológicamente por valores experimentales... Este procedimiento se llama renormalización de masa y carga... Después de un largo y laborioso proceso Con cálculos, menos hábiles que los de Schwinger, obtuvimos un resultado... que estaba de acuerdo con [los] americanos. [9]
Aplicando el procedimiento de renormalización, finalmente se hicieron cálculos para explicar el momento magnético anómalo del electrón (la desviación del factor g del electrón de 2) y la polarización del vacío . Estos resultados coincidieron en gran medida con las mediciones experimentales, marcando así el final de una "guerra contra los infinitos". [6]
Al mismo tiempo, Feynman introdujo la formulación integral de trayectoria de la mecánica cuántica y los diagramas de Feynman . [8] : 2 Este último se puede utilizar para organizar visual e intuitivamente y ayudar a calcular términos en la expansión perturbativa. Cada diagrama puede interpretarse como trayectorias de partículas en una interacción, teniendo cada vértice y línea una expresión matemática correspondiente, y el producto de estas expresiones da la amplitud de dispersión de la interacción representada por el diagrama. [ 15
Fue con la invención del procedimiento de renormalización y los diagramas de Feynman que finalmente surgió QFT como un marco teórico completo. [8] : 2
Dado el tremendo éxito de la QED, muchos teóricos creyeron, en los pocos años posteriores a 1949, que la QFT pronto podría proporcionar una comprensión de todos los fenómenos microscópicos, no sólo de las interacciones entre fotones, electrones y positrones. Contrariamente a este optimismo, QFT entró en otro período de depresión que duró casi dos décadas. [3] : 30
El primer obstáculo fue la aplicabilidad limitada del procedimiento de renormalización. En los cálculos perturbativos en QED, todas las cantidades infinitas podrían eliminarse redefiniendo un número pequeño (finito) de cantidades físicas (es decir, la masa y la carga del electrón). Dyson demostró en 1949 que esto sólo es posible para una pequeña clase de teorías llamadas "teorías renormalizables", de las cuales QED es un ejemplo. Sin embargo, la mayoría de las teorías, incluida la teoría de Fermi de la interacción débil , son "no renormalizables". Cualquier cálculo perturbativo en estas teorías más allá del primer orden daría como resultado infinitos que no podrían eliminarse redefiniendo un número finito de cantidades físicas. [3] : 30
El segundo problema importante surgió de la validez limitada del método del diagrama de Feynman, que se basa en una expansión en serie en la teoría de la perturbación. Para que la serie converja y los cálculos de bajo orden sean una buena aproximación, la constante de acoplamiento , en la que se expande la serie, debe ser un número suficientemente pequeño. La constante de acoplamiento en QED es la constante de estructura fina α ≈ 1/137 , que es lo suficientemente pequeña como para que solo los diagramas de Feynman más simples y de orden más bajo deban considerarse en cálculos realistas. Por el contrario, la constante de acoplamiento en la interacción fuerte es aproximadamente del orden de uno, lo que hace que los diagramas de Feynman complicados y de orden superior sean tan importantes como los simples. Por lo tanto, no había forma de derivar predicciones cuantitativas confiables para la interacción fuerte utilizando métodos QFT perturbativos. [3] : 31
Ante estas dificultades, muchos teóricos comenzaron a alejarse de QFT. Algunos se centraron en los principios de simetría y las leyes de conservación , mientras que otros retomaron la antigua teoría de la matriz S de Wheeler y Heisenberg. QFT se utilizó heurísticamente como principio rector, pero no como base para cálculos cuantitativos. [3] : 31
Schwinger, sin embargo, tomó un camino diferente. Durante más de una década, él y sus estudiantes habían sido casi los únicos exponentes de la teoría de campos, [10] pero en 1951 [11] [12] encontró una manera de solucionar el problema de los infinitos con un nuevo método que utiliza fuentes externas como corrientes. acoplado a campos de medición. [13] Motivado por los hallazgos anteriores, Schwinger continuó con este enfoque para generalizar "cuánticamente" el proceso clásico de acoplar fuerzas externas a los parámetros del espacio de configuración conocidos como multiplicadores de Lagrange. Resumió su teoría de las fuentes en 1966 [14] y luego amplió las aplicaciones de la teoría a la electrodinámica cuántica en su conjunto de tres volúmenes titulado: Partículas, fuentes y campos. [15] [16] [17] Los avances en la física de piones, en los que se aplicó con mayor éxito el nuevo punto de vista, lo convencieron de las grandes ventajas de la simplicidad matemática y la claridad conceptual que otorgaba su uso. [15]
En la teoría de las fuentes no hay divergencias ni renormalización. Puede considerarse como la herramienta de cálculo de la teoría de campos, pero es más general. [18] Utilizando la teoría de fuentes, Schwinger pudo calcular el momento magnético anómalo del electrón, lo que había hecho en 1947, pero esta vez sin "observaciones que distraigan" sobre cantidades infinitas. [19]
Schwinger también aplicó la teoría de la fuente a su teoría de la gravedad QFT y pudo reproducir los cuatro resultados clásicos de Einstein: desplazamiento gravitacional hacia el rojo, desviación y desaceleración de la luz por la gravedad y la precesión del perihelio de Mercurio. [20] El abandono de la teoría de las fuentes por parte de la comunidad física fue una gran decepción para Schwinger:
La falta de apreciación de estos hechos por parte de otros fue deprimente, pero comprensible. -J. [15 ]
Véase " el incidente de los zapatos " entre J. Schwinger y S. Weinberg . [21]
En 1954, Yang Chen-Ning y Robert Mills generalizaron la simetría local de QED, lo que llevó a teorías de calibre no abelianas (también conocidas como teorías de Yang-Mills), que se basan en grupos de simetría local más complicados . [22] : 5 En QED, las partículas cargadas (eléctricamente) interactúan mediante el intercambio de fotones, mientras que en la teoría de calibre no abeliana, las partículas que llevan un nuevo tipo de " carga " interactúan mediante el intercambio de bosones de calibre sin masa . A diferencia de los fotones, estos bosones de calibre llevan carga. [3] : 32 [23]
Sheldon Glashow desarrolló una teoría de calibre no abeliana que unificaba las interacciones electromagnéticas y débiles en 1960. En 1964, Abdus Salam y John Clive Ward llegaron a la misma teoría por un camino diferente. Esta teoría, sin embargo, no era renormalizable. [24]
Peter Higgs , Robert Brout , François Englert , Gerald Guralnik , Carl Hagen y Tom Kibble propusieron en sus famosos artículos de Physical Review Letters que la simetría de calibre en las teorías de Yang-Mills podría romperse mediante un mecanismo llamado ruptura espontánea de simetría , a través del cual originalmente no había masa. Los bosones de calibre podrían adquirir masa. [22] : 5-6
Combinando la teoría anterior de Glashow, Salam y Ward con la idea de la ruptura espontánea de la simetría, Steven Weinberg escribió en 1967 una teoría que describe las interacciones electrodébiles entre todos los leptones y los efectos del bosón de Higgs . Al principio, su teoría fue mayormente ignorada, [24] [22] : 6 hasta que volvió a salir a la luz en 1971 gracias a la prueba de Gerard 't Hooft de que las teorías de calibre no abelianas son renormalizables. La teoría electrodébil de Weinberg y Salam fue ampliada de los leptones a los quarks en 1970 por Glashow, John Iliopoulos y Luciano Maiani , marcando su finalización. [24]
Harald Fritzsch , Murray Gell-Mann y Heinrich Leutwyler descubrieron en 1971 que ciertos fenómenos relacionados con la interacción fuerte también podían explicarse mediante la teoría del calibre no abeliano. Nació la cromodinámica cuántica (QCD). En 1973, David Gross , Frank Wilczek y Hugh David Politzer demostraron que las teorías de calibre no abelianas son " asintóticamente libres ", lo que significa que bajo renormalización, la constante de acoplamiento de la interacción fuerte disminuye a medida que aumenta la energía de interacción. (Se habían hecho descubrimientos similares en numerosas ocasiones anteriormente, pero se habían ignorado en gran medida.) [22] : 11 Por lo tanto, al menos en interacciones de alta energía, la constante de acoplamiento en QCD se vuelve lo suficientemente pequeña como para justificar una expansión perturbativa en serie, lo que hace cuantitativos predicciones para la interacción fuerte posible. [3] : 32
Estos avances teóricos provocaron un renacimiento de QFT. La teoría completa, que incluye la teoría electrodébil y la cromodinámica, se conoce hoy como modelo estándar de partículas elementales. [25] El modelo estándar describe con éxito todas las interacciones fundamentales excepto la gravedad , y sus numerosas predicciones han encontrado una notable confirmación experimental en las décadas siguientes. [8] : 3 El bosón de Higgs , fundamental para el mecanismo de ruptura espontánea de la simetría, fue finalmente detectado en 2012 en el CERN , lo que marcó la verificación completa de la existencia de todos los constituyentes del Modelo Estándar. [26]
La década de 1970 vio el desarrollo de métodos no perturbativos en teorías de calibre no abelianas. El monopolo 't Hooft-Polyakov fue descubierto teóricamente por 't Hooft y Alexander Polyakov , los tubos de flujo por Holger Bech Nielsen y Poul Olesen, y los instantones por Polyakov y sus coautores. Estos objetos son inaccesibles mediante la teoría de la perturbación. [8] : 4
La supersimetría también apareció en el mismo período. El primer QFT supersimétrico en cuatro dimensiones fue construido por Yuri Golfand y Evgeny Likhtman en 1970, pero su resultado no logró generar un interés generalizado debido al Telón de Acero . La supersimetría sólo despegó en la comunidad teórica después del trabajo de Julius Wess y Bruno Zumino en 1973. [8] : 7
Entre las cuatro interacciones fundamentales, la gravedad sigue siendo la única que carece de una descripción QFT consistente. Varios intentos de una teoría de la gravedad cuántica condujeron al desarrollo de la teoría de cuerdas , [8] : 6 en sí misma un tipo de QFT bidimensional con simetría conforme . [27] Joël Scherk y John Schwarz propusieron por primera vez en 1974 que la teoría de cuerdas podría ser la teoría cuántica de la gravedad. [28]
Aunque la teoría cuántica de campos surgió del estudio de las interacciones entre partículas elementales, se ha aplicado con éxito a otros sistemas físicos, particularmente a sistemas de muchos cuerpos en la física de la materia condensada .
Históricamente, el mecanismo de Higgs de ruptura espontánea de la simetría fue el resultado de la aplicación de Yoichiro Nambu de la teoría superconductora a partículas elementales, mientras que el concepto de renormalización surgió del estudio de las transiciones de fase de segundo orden en la materia. [29]
Poco después de la introducción de los fotones, Einstein realizó el procedimiento de cuantificación de las vibraciones en un cristal, lo que condujo a la primera cuasipartícula : los fonones . Lev Landau afirmó que las excitaciones de baja energía en muchos sistemas de materia condensada podrían describirse en términos de interacciones entre un conjunto de cuasipartículas. El método del diagrama de Feynman de QFT era, naturalmente, muy adecuado para el análisis de diversos fenómenos en sistemas de materia condensada. [30]
La teoría de calibre se utiliza para describir la cuantificación del flujo magnético en superconductores, la resistividad en el efecto Hall cuántico , así como la relación entre frecuencia y voltaje en el efecto Josephson de CA. [30]
Para simplificar, en las siguientes secciones se utilizan unidades naturales , en las que la constante de Planck reducida ħ y la velocidad de la luz c se establecen en uno.
Un campo clásico es una función de coordenadas espaciales y temporales. [31] Los ejemplos incluyen el campo gravitacional en la gravedad newtoniana g ( x , t ) y el campo eléctrico E ( x , t ) y el campo magnético B ( x , t ) en el electromagnetismo clásico . Se puede considerar un campo clásico como una cantidad numérica asignada a cada punto del espacio que cambia en el tiempo. Por tanto, tiene infinitos grados de libertad . [31] [32]
Muchos fenómenos que exhiben propiedades de la mecánica cuántica no pueden explicarse únicamente mediante campos clásicos. Fenómenos como el efecto fotoeléctrico se explican mejor mediante partículas discretas ( fotones ), en lugar de un campo espacial continuo. El objetivo de la teoría cuántica de campos es describir diversos fenómenos de la mecánica cuántica utilizando un concepto modificado de campos.
La cuantización canónica y las integrales de ruta son dos formulaciones comunes de QFT. [33] : 61 Para motivar los fundamentos de QFT, a continuación se presenta una descripción general de la teoría de campos clásica.
El campo clásico más simple es un campo escalar real : un número real en cada punto del espacio que cambia en el tiempo. Se denota como ϕ ( x , t ) , donde x es el vector de posición y t es el tiempo. Supongamos que el lagrangiano del campo, , es
donde es la densidad lagrangiana, es la derivada temporal del campo, ∇ es el operador de gradiente y m es un parámetro real (la "masa" del campo). Aplicando la ecuación de Euler-Lagrange al lagrangiano: [1] : 16
obtenemos las ecuaciones de movimiento del campo, que describen la forma en que varía en el tiempo y el espacio:
Esto se conoce como ecuación de Klein-Gordon . [1] : 17
La ecuación de Klein-Gordon es una ecuación de onda , por lo que sus soluciones se pueden expresar como una suma de modos normales (obtenidos mediante transformada de Fourier ) de la siguiente manera:
donde a es un número complejo (normalizado por convención), * denota conjugación compleja y ω p es la frecuencia del modo normal:
Así, cada modo normal correspondiente a un solo p puede verse como un oscilador armónico clásico con frecuencia ω p . [1] : 21,26
El procedimiento de cuantificación del campo clásico anterior a un campo de operador cuántico es análogo a la promoción de un oscilador armónico clásico a un oscilador armónico cuántico .
El desplazamiento de un oscilador armónico clásico se describe por
donde a es un número complejo (normalizado por convención) y ω es la frecuencia del oscilador. Tenga en cuenta que x es el desplazamiento de una partícula en movimiento armónico simple desde la posición de equilibrio, que no debe confundirse con la etiqueta espacial x de un campo cuántico.
Para un oscilador armónico cuántico, x ( t ) se convierte en operador lineal :
Los números complejos a y a * se reemplazan por el operador de aniquilación y el operador de creación , respectivamente, donde † denota conjugación hermitiana . La relación de conmutación entre los dos es
El hamiltoniano del oscilador armónico simple se puede escribir como
El estado de vacío , que es el estado de menor energía, se define por
y tiene energía. Se puede comprobar fácilmente lo que implica que aumenta la energía del oscilador armónico simple en . Por ejemplo, el estado es un estado propio de energía . Cualquier estado de estado propio de energía de un solo oscilador armónico se puede obtener aplicando sucesivamente el operador de creación : [1] : 20 y cualquier estado del sistema se puede expresar como una combinación lineal de los estados.
Se puede aplicar un procedimiento similar al campo escalar real ϕ , promoviéndolo a un operador de campo cuántico , mientras que el operador de aniquilación , el operador de creación y la frecuencia angular son ahora para un p particular :
Sus relaciones de conmutación son: [1] : 21
donde δ es la función delta de Dirac . El estado de vacío está definido por
Cualquier estado cuántico del campo se puede obtener aplicando sucesivamente operadores de creación (o mediante una combinación lineal de dichos estados), por ejemplo, [1] : 22
Mientras que el espacio de estados de un único oscilador armónico cuántico contiene todos los estados de energía discretos de una partícula oscilante, el espacio de estados de un campo cuántico contiene los niveles de energía discretos de un número arbitrario de partículas. Este último espacio se conoce como espacio de Fock , lo que puede explicar el hecho de que el número de partículas no está fijo en los sistemas cuánticos relativistas. [34] El proceso de cuantificar un número arbitrario de partículas en lugar de una sola partícula a menudo también se denomina segunda cuantificación . [1] : 19
El procedimiento anterior es una aplicación directa de la mecánica cuántica no relativista y puede usarse para cuantificar campos escalares (complejos), campos de Dirac , [1] : 52 campos vectoriales ( por ejemplo, el campo electromagnético) e incluso cuerdas . [35] Sin embargo, los operadores de creación y aniquilación sólo están bien definidos en las teorías más simples que no contienen interacciones (la llamada teoría libre). En el caso del campo escalar real, la existencia de estos operadores fue consecuencia de la descomposición de las soluciones de las ecuaciones de movimiento clásicas en una suma de modos normales. Para realizar cálculos sobre cualquier teoría de interacción realista, sería necesaria la teoría de la perturbación .
El lagrangiano de cualquier campo cuántico en la naturaleza contendría términos de interacción además de los términos de la teoría libre. Por ejemplo, se podría introducir un término de interacción cuartica al lagrangiano del campo escalar real: [1] : 77
donde μ es un índice de espacio-tiempo, etc. La suma sobre el índice μ se ha omitido siguiendo la notación de Einstein . Si el parámetro λ es suficientemente pequeño, entonces la teoría de interacción descrita por el lagrangiano anterior puede considerarse como una pequeña perturbación de la teoría libre.
La formulación de integral de ruta de QFT se ocupa del cálculo directo de la amplitud de dispersión de un determinado proceso de interacción, en lugar del establecimiento de operadores y espacios de estados. Para calcular la amplitud de probabilidad de que un sistema evolucione desde algún estado inicial en el tiempo t = 0 a algún estado final en t = T , el tiempo total T se divide en N pequeños intervalos. La amplitud global es el producto de la amplitud de evolución dentro de cada intervalo, integrada en todos los estados intermedios. Sea H el hamiltoniano ( es decir, generador de evolución temporal ), entonces [33] : 10
Tomando el límite N → ∞ , el producto de integrales anterior se convierte en la integral de trayectoria de Feynman: [1] : 282 [33] : 12
donde L es el lagrangiano que involucra ϕ y sus derivadas con respecto a las coordenadas espaciales y temporales, obtenido del hamiltoniano H mediante transformación de Legendre . Las condiciones iniciales y finales de la integral de trayectoria son respectivamente
En otras palabras, la amplitud general es la suma de la amplitud de cada camino posible entre los estados inicial y final, donde la amplitud de un camino viene dada por la exponencial del integrando.
En los cálculos, a menudo uno encuentra expresiones como
La función libre de dos puntos, también conocida como propagador de Feynman , se puede encontrar para el campo escalar real mediante cuantificación canónica o integrales de trayectoria como [1] : 31,288 [33] : 23
En una teoría de interacción, donde el lagrangiano o el hamiltoniano contienen términos o describen interacciones, la función de dos puntos es más difícil de definir. Sin embargo, tanto a través de la formulación de cuantificación canónica como de la formulación de integral de trayectoria, es posible expresarla a través de una serie infinita de perturbaciones de la función libre de dos puntos.
En la cuantificación canónica, la función de correlación de dos puntos se puede escribir como: [1] : 87
donde ε es un número infinitesimal y ϕ I es el operador de campo según la teoría libre. Aquí, la exponencial debe entenderse como su expansión en serie de potencias . Por ejemplo, en teoría, el término interactuante del hamiltoniano es , [1] : 84 y la expansión del correlador de dos puntos en términos de se convierte en
En la formulación de la integral de trayectoria, la función de correlación de dos puntos se puede escribir [1] : 284
¿Dónde está la densidad lagrangiana? Como en el párrafo anterior, la exponencial se puede expandir como una serie en λ , reduciendo la función de dos puntos que interactúan a cantidades en la teoría libre.
El teorema de Wick reduce aún más cualquier función de correlación de n puntos en la teoría libre a una suma de productos de funciones de correlación de dos puntos. Por ejemplo,
Dado que las funciones de correlación que interactúan se pueden expresar en términos de funciones de correlación libres, sólo es necesario evaluar estas últimas para calcular todas las cantidades físicas en la teoría de la interacción (perturbativa). [1] : 90 Esto convierte al propagador de Feynman en una de las cantidades más importantes de la teoría cuántica de campos.
Las funciones de correlación en la teoría de la interacción se pueden escribir como una serie de perturbaciones. Cada término de la serie es un producto de los propagadores de Feynman en la teoría libre y puede representarse visualmente mediante un diagrama de Feynman . Por ejemplo, el término λ 1 en la función de correlación de dos puntos en la teoría ϕ 4 es
Después de aplicar el teorema de Wick, uno de los términos es
En cambio, este término se puede obtener del diagrama de Feynman.
.El diagrama consta de
Cada vértice corresponde a un único factor de campo en el punto correspondiente en el espacio-tiempo, mientras que los bordes corresponden a los propagadores entre los puntos del espacio-tiempo. El término de la serie de perturbaciones correspondiente al diagrama se obtiene anotando la expresión que se desprende de las llamadas reglas de Feynman:
Con el factor de simetría , siguiendo estas reglas se obtiene exactamente la expresión anterior. Al transformar Fourier el propagador, las reglas de Feynman se pueden reformular desde el espacio de posiciones al espacio de momentos. [1] : 91–94
Para calcular la función de correlación de n puntos al orden k , enumere todos los diagramas de Feynman válidos con n puntos externos y k o menos vértices, y luego use las reglas de Feynman para obtener la expresión para cada término. Para ser preciso,
es igual a la suma de (expresiones correspondientes a) todos los diagramas conectados con n puntos externos. (Los diagramas conexos son aquellos en los que cada vértice está conectado a un punto externo a través de líneas. Los componentes que están totalmente desconectados de las líneas externas a veces se denominan "burbujas de vacío"). En la teoría de la interacción ϕ 4 discutida anteriormente, cada vértice debe tener cuatro patas. . [1] : 98
En aplicaciones realistas, la amplitud de dispersión de una determinada interacción o la tasa de desintegración de una partícula se puede calcular a partir de la matriz S , que a su vez se puede encontrar utilizando el método del diagrama de Feynman. [1] : 102-115
Los diagramas de Feynman que carecen de "bucles" se denominan diagramas de nivel de árbol y describen los procesos de interacción de orden más bajo; los que contienen n bucles se denominan diagramas de n bucles, que describen contribuciones de orden superior, o correcciones radiativas, a la interacción. [33] : 44 Las líneas cuyos puntos finales son vértices pueden considerarse como la propagación de partículas virtuales . [1] : 31
Las reglas de Feynman se pueden utilizar para evaluar directamente diagramas a nivel de árbol. Sin embargo, el cálculo ingenuo de diagramas de bucle como el que se muestra arriba dará como resultado integrales de momento divergentes, lo que parece implicar que casi todos los términos de la expansión perturbativa son infinitos. El procedimiento de renormalización es un proceso sistemático para eliminar tales infinitos.
Los parámetros que aparecen en el lagrangiano, como la masa m y la constante de acoplamiento λ , no tienen significado físico: m , λ y la intensidad del campo ϕ no son cantidades medibles experimentalmente y se denominan aquí masa desnuda, constante de acoplamiento desnuda. y campo desnudo, respectivamente. La masa física y la constante de acoplamiento se miden en algún proceso de interacción y generalmente son diferentes de las cantidades simples. Al calcular cantidades físicas a partir de este proceso de interacción, se puede limitar el dominio de las integrales de momento divergentes para que esté por debajo de algún límite de momento Λ , obtener expresiones para las cantidades físicas y luego tomar el límite Λ → ∞ . Este es un ejemplo de regularización , una clase de métodos para tratar divergencias en QFT, siendo Λ el regulador.
El enfoque ilustrado anteriormente se llama teoría de la perturbación simple, ya que los cálculos involucran solo cantidades básicas como la masa y la constante de acoplamiento. Un enfoque diferente, llamado teoría de la perturbación renormalizada, consiste en utilizar cantidades físicamente significativas desde el principio. En el caso de la teoría ϕ 4 , primero se redefine la intensidad del campo:
donde ϕ es el campo desnudo, ϕ r es el campo renormalizado y Z es una constante por determinar. La densidad lagrangiana se convierte en:
donde m r y λ r son la constante de masa y de acoplamiento renormalizada, mensurable experimentalmente, respectivamente, y
son constantes por determinar. Los primeros tres términos son la densidad lagrangiana ϕ 4 escrita en términos de cantidades renormalizadas, mientras que los últimos tres términos se denominan "contratérminos". Como el lagrangiano ahora contiene más términos, los diagramas de Feynman deberían incluir elementos adicionales, cada uno con sus propias reglas de Feynman. El procedimiento se describe a continuación. Primero seleccione un esquema de regularización (como la regularización de corte presentada anteriormente o la regularización dimensional ); llame al regulador Λ . Calcular diagramas de Feynman, en los que los términos divergentes dependerán de Λ . Luego, defina δ Z , δ m y δ λ de modo que los diagramas de Feynman para los contratérminos cancelen exactamente los términos divergentes en los diagramas de Feynman normales cuando se toma el límite Λ → ∞ . De esta forma se obtienen cantidades finitas significativas. [1] : 323–326
Sólo es posible eliminar todos los infinitos para obtener un resultado finito en teorías renormalizables, mientras que en teorías no renormalizables los infinitos no pueden eliminarse mediante la redefinición de un pequeño número de parámetros. El modelo estándar de partículas elementales es un QFT renormalizable, [1] : 719–727, mientras que la gravedad cuántica no es renormalizable. [1] : 798 [33] : 421
El grupo de renormalización , desarrollado por Kenneth Wilson , es un aparato matemático utilizado para estudiar los cambios en los parámetros físicos (coeficientes en lagrangiano) cuando el sistema es visto en diferentes escalas. [1] : 393 La forma en que cada parámetro cambia con la escala se describe por su función β . [1] : 417 Las funciones de correlación, que subyacen a las predicciones físicas cuantitativas, cambian con la escala según la ecuación de Callan-Symanzik . [1] : 410–411
Como ejemplo, la constante de acoplamiento en QED, es decir, la carga elemental e , tiene la siguiente función β :
donde Λ es la escala de energía bajo la cual se realiza la medición de e . Esta ecuación diferencial implica que la carga elemental observada aumenta a medida que aumenta la escala. [36] La constante de acoplamiento renormalizada, que cambia con la escala de energía, también se denomina constante de acoplamiento en funcionamiento. [1] : 420
La constante de acoplamiento g en cromodinámica cuántica , una teoría de calibre no abeliana basada en el grupo de simetría SU(3) , tiene la siguiente función β :
donde N f es el número de sabores de quarks . En el caso en que N f ≤ 16 (el modelo estándar tiene N f = 6 ), la constante de acoplamiento g disminuye a medida que aumenta la escala de energía. Por lo tanto, si bien la interacción fuerte es fuerte a bajas energías, se vuelve muy débil en interacciones de alta energía, un fenómeno conocido como libertad asintótica . [1] : 531
Las teorías de campos conformes (CFT) son QFT especiales que admiten simetría conforme . Son insensibles a los cambios en la escala, ya que todas sus constantes de acoplamiento tienen una función β que desaparece . (Sin embargo, lo contrario no es cierto: la desaparición de todas las funciones β no implica simetría conforme de la teoría). [37] Los ejemplos incluyen la teoría de cuerdas [27] y la teoría supersimétrica de Yang-Mills N = 4 . [38]
Según la visión de Wilson, cada QFT va fundamentalmente acompañada de su límite de energía Λ , es decir, que la teoría ya no es válida para energías superiores a Λ y todos los grados de libertad por encima de la escala Λ deben omitirse. Por ejemplo, el límite podría ser el inverso del espaciamiento atómico en un sistema de materia condensada, y en física de partículas elementales podría estar asociado con la "granulosidad" fundamental del espacio-tiempo causada por las fluctuaciones cuánticas de la gravedad. La escala de corte de las teorías de las interacciones entre partículas va mucho más allá de los experimentos actuales. Incluso si la teoría fuera muy complicada a esa escala, siempre que sus acoplamientos sean lo suficientemente débiles, debe describirse a bajas energías mediante una teoría de campo efectivo renormalizable . [1] : 402–403 La diferencia entre teorías renormalizables y no renormalizables es que las primeras son insensibles a los detalles a altas energías, mientras que las segundas sí dependen de ellas. [8] : 2 Según este punto de vista, las teorías no renormalizables deben verse como teorías efectivas de baja energía de una teoría más fundamental. El hecho de no eliminar el límite Λ de los cálculos en dicha teoría simplemente indica que aparecen nuevos fenómenos físicos en escalas superiores a Λ , donde es necesaria una nueva teoría. [33] : 156
Los procedimientos de cuantificación y renormalización descritos en las secciones anteriores se realizan para la teoría libre y la teoría ϕ 4 del campo escalar real. Se puede realizar un proceso similar para otros tipos de campos, incluido el campo escalar complejo , el campo vectorial y el campo de Dirac , así como otros tipos de términos de interacción, incluidas la interacción electromagnética y la interacción Yukawa .
Por ejemplo, la electrodinámica cuántica contiene un campo de Dirac ψ que representa el campo de electrones y un campo vectorial A μ que representa el campo electromagnético ( campo de fotones ). (A pesar de su nombre, el "campo" electromagnético cuántico en realidad corresponde a los campos electromagnéticos clásicos de cuatro potenciales , en lugar de a los campos eléctricos y magnéticos clásicos). La densidad lagrangiana QED completa es:
donde γ μ son matrices de Dirac , y es la intensidad del campo electromagnético . Los parámetros en esta teoría son la masa del electrón (desnudo) my la carga elemental (desnuda) e . El primer y segundo término de la densidad lagrangiana corresponden al campo de Dirac libre y a los campos vectoriales libres, respectivamente. El último término describe la interacción entre los campos de electrones y fotones, que se trata como una perturbación de las teorías libres. [1] : 78
Arriba se muestra un ejemplo de un diagrama de Feynman a nivel de árbol en QED. Describe la aniquilación de un electrón y un positrón, creando un fotón fuera de capa y luego descomponiéndose en un nuevo par de electrón y positrón. El tiempo corre de izquierda a derecha. Las flechas que apuntan hacia adelante en el tiempo representan la propagación de positrones, mientras que las que apuntan hacia atrás en el tiempo representan la propagación de electrones. Una línea ondulada representa la propagación de un fotón. Cada vértice en los diagramas QED de Feynman debe tener un tramo de fermión (positrón/electrón) entrante y saliente, así como un tramo de fotón.
Si se realiza la siguiente transformación de los campos en cada punto del espacio-tiempo x (una transformación local), entonces el QED Lagrangiano permanece sin cambios o invariante:
donde α ( x ) es cualquier función de las coordenadas espacio-temporales. Si el lagrangiano de una teoría (o más precisamente la acción ) es invariante bajo una determinada transformación local, entonces la transformación se denomina simetría de calibre de la teoría. [1] : 482–483 Las simetrías de calibre forman un grupo en cada punto del espacio-tiempo. En el caso de QED, la aplicación sucesiva de dos transformaciones de simetría locales diferentes es otra transformación de simetría más . Para cualquier α ( x ) , es un elemento del grupo U(1) , por lo que se dice que QED tiene simetría de calibre U(1) . [1] : 496 El campo de fotones A μ puede denominarse bosón de calibre U(1) .
U(1) es un grupo abeliano , lo que significa que el resultado es el mismo independientemente del orden en que se apliquen sus elementos. Las QFT también se pueden construir sobre grupos no abelianos , dando lugar a teorías de calibre no abelianas (también conocidas como teorías de Yang-Mills). [1] : 489 La cromodinámica cuántica , que describe la interacción fuerte, es una teoría de calibre no abeliana con una simetría de calibre SU(3) . Contiene tres campos de Dirac ψ i , i = 1,2,3 que representan campos de quarks , así como ocho campos vectoriales A a,μ , a = 1,...,8 que representan campos de gluones , que son el calibre SU(3). bosones. [1] : 547 La densidad lagrangiana QCD es: [1] : 490–491
donde D μ es la derivada covariante de calibre :
donde g es la constante de acoplamiento, t a son los ocho generadores de SU(3) en la representación fundamental ( matrices 3×3 ),
y f abc son las constantes de estructura de SU(3) . Los índices repetidos i , j , a se suman implícitamente siguiendo la notación de Einstein. Este Lagrangiano es invariante bajo la transformación:
donde U ( x ) es un elemento de SU(3) en cada punto del espacio-tiempo x :
La discusión anterior sobre simetrías está en el nivel del Lagrangiano. En otras palabras, se trata de simetrías "clásicas". Después de la cuantización, algunas teorías ya no exhibirán sus simetrías clásicas, un fenómeno llamado anomalía . Por ejemplo, en la formulación de la integral de trayectoria, a pesar de la invariancia de la densidad lagrangiana bajo una determinada transformación local de los campos, la medida de la integral de trayectoria puede cambiar. [33] : 243 Para que una teoría que describe la naturaleza sea consistente, no debe contener ninguna anomalía en su simetría de calibre. El modelo estándar de partículas elementales es una teoría de calibre basada en el grupo SU(3) × SU(2) × U(1) , en el que todas las anomalías se cancelan exactamente. [1] : 705–707
El fundamento teórico de la relatividad general , el principio de equivalencia , también puede entenderse como una forma de simetría de calibre, lo que hace de la relatividad general una teoría de calibre basada en el grupo de Lorentz . [39]
El teorema de Noether establece que toda simetría continua, es decir, que el parámetro en la transformación de simetría sea continuo en lugar de discreto, conduce a una ley de conservación correspondiente . [1] : 17–18 [33] : 73 Por ejemplo, la simetría U(1) de QED implica conservación de carga . [40]
Las transformaciones de calibre no relacionan estados cuánticos distintos. Más bien, relaciona dos descripciones matemáticas equivalentes del mismo estado cuántico. Como ejemplo, el campo de fotones A μ , al ser un cuatro vectores , tiene cuatro grados de libertad aparentes, pero el estado real de un fotón se describe por sus dos grados de libertad correspondientes a la polarización . Se dice que los dos grados de libertad restantes son "redundantes": formas aparentemente diferentes de escribir A μ pueden relacionarse entre sí mediante una transformación de calibre y, de hecho, describen el mismo estado del campo de fotones. En este sentido, la invariancia de calibre no es una simetría "real", sino un reflejo de la "redundancia" de la descripción matemática elegida. [33] : 168
Para tener en cuenta la redundancia de calibre en la formulación de la integral de trayectoria, se debe realizar el llamado procedimiento de fijación de calibre de Faddeev-Popov . En las teorías de calibre no abelianas, este procedimiento introduce nuevos campos llamados "fantasmas". Las partículas correspondientes a los campos fantasma se denominan partículas fantasma y no se pueden detectar externamente. [1] : 512–515 La cuantificación BRST proporciona una generalización más rigurosa del procedimiento Faddeev-Popov . [1] : 517
La ruptura espontánea de simetría es un mecanismo por el cual la simetría del lagrangiano es violada por el sistema descrito por él. [1] : 347
Para ilustrar el mecanismo, considere un modelo sigma lineal que contiene N campos escalares reales, descrito por la densidad lagrangiana:
donde μ y λ son parámetros reales. La teoría admite una simetría global O( N ) :
El estado de energía más bajo (estado fundamental o estado de vacío) de la teoría clásica es cualquier campo uniforme ϕ 0 que satisfaga
Sin pérdida de generalidad, supongamos que el estado fundamental esté en la dirección N :
Los N campos originales se pueden reescribir como:
y la densidad lagrangiana original como:
donde k = 1, ..., norte - 1 . La simetría global O( N ) original ya no se manifiesta, dejando solo el subgrupo O( N − 1) . Se dice que la simetría más grande antes de la ruptura espontánea de la simetría está "oculta" o rota espontáneamente. [1] : 349–350
El teorema de Goldstone establece que bajo una ruptura espontánea de simetría, cada simetría global continua rota conduce a un campo sin masa llamado bosón de Goldstone. En el ejemplo anterior, O( N ) tiene N ( N − 1)/2 simetrías continuas (la dimensión de su álgebra de Lie ), mientras que O( N − 1) tiene ( N − 1)( N − 2)/2 . El número de simetrías rotas es su diferencia, N − 1 , que corresponde a los N − 1 campos sin masa π k . [1] : 351
Por otro lado, cuando una simetría de calibre (a diferencia de la global) se rompe espontáneamente, el bosón de Goldstone resultante es "devorado" por el bosón de calibre correspondiente convirtiéndose en un grado adicional de libertad para el bosón de calibre. El teorema de equivalencia del bosón de Goldstone establece que a alta energía, la amplitud de emisión o absorción de un bosón de calibre masivo polarizado longitudinalmente se vuelve igual a la amplitud de emisión o absorción del bosón de Goldstone que fue devorado por el bosón de calibre. [1] : 743–744
En el QFT del ferromagnetismo , la ruptura espontánea de la simetría puede explicar la alineación de dipolos magnéticos a bajas temperaturas. [33] : 199 En el modelo estándar de partículas elementales, los bosones W y Z , que de otro modo carecerían de masa como resultado de la simetría de calibre, adquieren masa mediante la ruptura espontánea de la simetría del bosón de Higgs , un proceso llamado mecanismo de Higgs . [1] : 690
Todas las simetrías conocidas experimentalmente en la naturaleza relacionan bosones con bosones y fermiones con fermiones. Los teóricos han planteado la hipótesis de la existencia de un tipo de simetría, llamada supersimetría , que relaciona bosones y fermiones. [1] : 795 [33] : 443
El Modelo Estándar obedece a la simetría de Poincaré , cuyos generadores son las traslaciones espacio-temporales P μ y las transformaciones de Lorentz J μν . [41] : 58–60 Además de estos generadores, la supersimetría en (3+1) dimensiones incluye generadores adicionales Q α , llamados supercargas , que a su vez se transforman como fermiones de Weyl . [1] : 795 [33] : 444 El grupo de simetría generado por todos estos generadores se conoce como grupo super-Poincaré . En general puede haber más de un conjunto de generadores de supersimetría, Q α I , I = 1, ..., N , que generan la correspondiente supersimetría N = 1 , N = 2 supersimetría, etc. [1] : 795 [33] : 450 La supersimetría también se puede construir en otras dimensiones, [42] más notablemente en (1+1) dimensiones para su aplicación en la teoría de supercuerdas . [43]
El lagrangiano de una teoría supersimétrica debe ser invariante bajo la acción del grupo super-Poincaré. [33] : 448 Ejemplos de tales teorías incluyen: Modelo estándar supersimétrico mínimo (MSSM), N = 4 teoría supersimétrica de Yang-Mills , [33] : 450 y teoría de supercuerdas. En una teoría supersimétrica, cada fermión tiene una supercompañera bosónica y viceversa. [33] : 444
Si la supersimetría se convierte en simetría local, entonces la teoría de calibre resultante es una extensión de la relatividad general llamada supergravedad . [44]
La supersimetría es una solución potencial a muchos problemas actuales de la física. Por ejemplo, el problema de jerarquía del modelo estándar (por qué la masa del bosón de Higgs no se corrige radiativamente (bajo renormalización) a una escala muy alta como la gran escala unificada o la escala de Planck ) se puede resolver relacionando el campo de Higgs y su súper socio, el Higgsino . Las correcciones radiativas debidas a los bucles del bosón de Higgs en los diagramas de Feynman se cancelan mediante los bucles de Higgsino correspondientes. La supersimetría también ofrece respuestas a la gran unificación de todas las constantes de acoplamiento de calibre en el Modelo Estándar, así como a la naturaleza de la materia oscura . [1] : 796–797 [45]
Sin embargo, hasta 2018 [update], los experimentos aún no han proporcionado evidencia de la existencia de partículas supersimétricas. Si la supersimetría fuera una verdadera simetría de la naturaleza, entonces debe ser una simetría rota, y la energía de ruptura de la simetría debe ser mayor que la que se puede lograr con los experimentos actuales. [1] : 797 [33] : 443
La teoría ϕ 4 , QED, QCD, así como todo el modelo estándar, asumen un espacio de Minkowski (3+1) dimensional (3 dimensiones espaciales y 1 temporal) como fondo sobre el cual se definen los campos cuánticos. Sin embargo, QFT a priori no impone ninguna restricción sobre el número de dimensiones ni sobre la geometría del espacio-tiempo.
En física de la materia condensada , QFT se utiliza para describir gases de electrones de dimensiones (2+1) . [46] En física de altas energías , la teoría de cuerdas es un tipo de QFT (1+1)-dimensional, [33] : 452 [27] mientras que la teoría de Kaluza-Klein utiliza la gravedad en dimensiones adicionales para producir teorías de calibre en dimensiones inferiores. [33] : 428–429
En el espacio de Minkowski, la métrica plana η μν se utiliza para subir y bajar índices de espacio-tiempo en el lagrangiano, por ejemplo
donde η μν es la inversa de η μν que satisface η μρ η ρν = δ μ ν . Por otro lado, para QFT en espacio-tiempo curvo , se utiliza una métrica general (como la métrica de Schwarzschild que describe un agujero negro ):
donde g μν es la inversa de g μν . Para un campo escalar real, la densidad lagrangiana en un fondo espaciotemporal general es
donde g = det( g μν ) y ∇ μ denota la derivada covariante . [47] El lagrangiano de un QFT, de ahí sus resultados de cálculo y predicciones físicas, depende de la geometría del fondo del espacio-tiempo.
Las funciones de correlación y las predicciones físicas de una QFT dependen de la métrica del espacio-tiempo g μν . Para una clase especial de QFT llamada teorías topológicas de campos cuánticos (TQFT), todas las funciones de correlación son independientes de los cambios continuos en la métrica del espacio-tiempo. [48] : 36 Los QFT en el espacio-tiempo curvo generalmente cambian de acuerdo con la geometría (estructura local) del fondo del espacio-tiempo, mientras que los TQFT son invariantes bajo los difeomorfismos del espacio-tiempo pero son sensibles a la topología (estructura global) del espacio-tiempo. Esto significa que todos los resultados de cálculo de TQFT son invariantes topológicos del espacio-tiempo subyacente. La teoría de Chern-Simons es un ejemplo de TQFT y se ha utilizado para construir modelos de gravedad cuántica. [49] Las aplicaciones de TQFT incluyen el efecto Hall cuántico fraccionario y las computadoras cuánticas topológicas . [50] : 1–5 La trayectoria de la línea mundial de partículas fraccionadas (conocidas como anyons ) puede formar una configuración de enlace en el espacio-tiempo, [51] que relaciona las estadísticas trenzadas de anyons en física con las invariantes de enlace en matemáticas. Las teorías de campos cuánticos topológicos (TQFT) aplicables a la investigación de frontera de cuestiones cuánticas topológicas incluyen las teorías de calibre de Chern-Simons-Witten en dimensiones de espacio-tiempo 2+1, otras nuevas TQFT exóticas en dimensiones de espacio-tiempo 3+1 y más. [52]
Usando la teoría de la perturbación , el efecto total de un pequeño término de interacción se puede aproximar orden por orden mediante una expansión en serie en el número de partículas virtuales que participan en la interacción. Cada término de la expansión puede entenderse como una forma posible para que las partículas (físicas) interactúen entre sí a través de partículas virtuales, expresadas visualmente mediante un diagrama de Feynman . La fuerza electromagnética entre dos electrones en QED está representada (de primer orden en la teoría de perturbaciones) por la propagación de un fotón virtual. De manera similar, los bosones W y Z llevan la interacción débil, mientras que los gluones llevan la interacción fuerte. La interpretación de una interacción como una suma de estados intermedios que implican el intercambio de varias partículas virtuales sólo tiene sentido en el marco de la teoría de la perturbación. Por el contrario, los métodos no perturbativos en QFT tratan el Lagrangiano que interactúa como un todo sin ninguna expansión en serie. En lugar de partículas que transportan interacciones, estos métodos han generado conceptos como monopolo 't Hooft-Polyakov , pared de dominio , tubo de flujo e instanton . [8] Ejemplos de QFT que se pueden resolver completamente de forma no perturbativa incluyen modelos mínimos de teoría de campo conforme [53] y el modelo Thirring . [54]
A pesar de su abrumador éxito en la física de partículas y la física de la materia condensada, el QFT en sí carece de una base matemática formal. Por ejemplo, según el teorema de Haag , no existe una imagen de interacción bien definida para QFT, lo que implica que la teoría de perturbaciones de QFT, que subyace a todo el método del diagrama de Feynman , está fundamentalmente mal definida. [55]
Sin embargo, a la teoría cuántica de campos perturbativa , que sólo requiere que las cantidades sean computables como una serie de potencias formal sin ningún requisito de convergencia, se le puede dar un tratamiento matemático riguroso. En particular, la monografía de Kevin Costello Renormalization and Effective Field Theory [56] proporciona una formulación rigurosa de la renormalización perturbativa que combina los enfoques de la teoría del campo efectivo de Kadanoff , Wilson y Polchinski , junto con el enfoque de Batalin-Vilkovisky para cuantificar el calibre. teorías. Además, a los métodos perturbativos de trayectoria integral, típicamente entendidos como métodos computacionales formales inspirados en la teoría de la integración de dimensión finita, [57] se les puede dar una interpretación matemática sólida a partir de sus análogos de dimensión finita. [58]
Desde la década de 1950, [59] físicos teóricos y matemáticos han intentado organizar todas las QFT en un conjunto de axiomas , con el fin de establecer la existencia de modelos concretos de QFT relativistas de una manera matemáticamente rigurosa y estudiar sus propiedades. Esta línea de estudio se llama teoría constructiva de campos cuánticos , un subcampo de la física matemática , [60] : 2 que ha llevado a resultados como el teorema CPT , el teorema de la estadística de espín y el teorema de Goldstone , [59] y también a construcciones matemáticamente rigurosas. de muchas QFT que interactúan en dos y tres dimensiones del espacio-tiempo, por ejemplo, teorías de campos escalares bidimensionales con interacciones polinómicas arbitrarias, [61] teorías de campos escalares tridimensionales con una interacción cuártica, etc. [62]
En comparación con la QFT ordinaria, la teoría de campos cuánticos topológicos y la teoría de campos conformes están mejor respaldadas matemáticamente; ambas pueden clasificarse en el marco de representaciones de cobordismos . [63]
La teoría algebraica de campos cuánticos es otra aproximación a la axiomatización de QFT, en la que los objetos fundamentales son los operadores locales y las relaciones algebraicas entre ellos. Los sistemas axiomáticos que siguen este enfoque incluyen los axiomas de Wightman y los axiomas de Haag-Kastler . [60] : 2–3 Una forma de construir teorías que satisfagan los axiomas de Wightman es utilizar los axiomas de Osterwalder-Schrader , que dan las condiciones necesarias y suficientes para obtener una teoría del tiempo real a partir de una teoría del tiempo imaginario mediante continuación analítica ( rotación de Wick ). . [60] : 10
La existencia de Yang-Mills y la brecha de masa , uno de los Problemas del Premio del Milenio , se refiere a la existencia bien definida de las teorías de Yang-Mills según lo establecido por los axiomas anteriores. El planteamiento completo del problema es el siguiente. [64]
Demuestre que para cualquier grupo de calibre simple compacto G , existe una teoría cuántica de Yang-Mills no trivial y tiene una brecha de masa Δ > 0 . La existencia incluye el establecimiento de propiedades axiomáticas al menos tan fuertes como las citadas en Streater & Wightman (1964), Osterwalder & Schrader (1973) y Osterwalder & Schrader (1975).
Medios relacionados con la teoría cuántica de campos en Wikimedia Commons
![{\displaystyle L=\int d^{3}x\,{\mathcal {L}}=\int d^{3}x\,\left[{\frac {1}{2}}{\dot { \phi }}^{2}-{\frac {1}{2}}(\nabla \phi )^{2}-{\frac {1}{2}}m^{2}\phi ^{2 }\bien],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/32c9ce91f7eb79d2c06f42cc431ab9bbca59ca89)
![{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\left[{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial \phi /\partial t)}}\right ]+\sum _{i=1}^{3}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}\left[{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\ parcial (\partial \phi /\partial x^{i})}}\right]-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \phi }}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95b60bbe90a93512487bc5805c9f9c6753483396)
![{\displaystyle \left[{\hat {a}},{\hat {a}}^{\dagger }\right]=1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac6a25fa663fd271e485103c5f5510df6bfe657e)
![{\displaystyle [{\sombrero {H}},{\sombrero {a}}^{\daga }]=\hbar \omega {\sombrero {a}}^{\daga },}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd37c8e5f013ca40c74d1bdf24dca7b06db2883b)
![{\displaystyle \left[{\hat {a}}_{\mathbf {p} },{\hat {a}}_{\mathbf {q} }^{\dagger }\right]=(2\pi )^{3}\delta (\mathbf {p} -\mathbf {q} ),\quad \left[{\hat {a}}_{\mathbf {p} },{\hat {a}}_ {\mathbf {q} }\right]=\left[{\hat {a}}_{\mathbf {p} }^{\dagger },{\hat {a}}_{\mathbf {q} } ^{\daga }\right]=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e717bcbc4eacc629e354ccb1313c85c8d7d1f030)
![{\displaystyle \langle \Omega |T\{\phi (x)\phi (y)\}|\Omega \rangle =\lim _{T\to \infty (1-i\epsilon )}{\frac { \left\langle 0\left|T\left\{\phi _{I}(x)\phi _{I}(y)\exp \left[-i\int _{-T}^{T}dt \,H_{I}(t)\right]\right\}\right|0\right\rangle }{\left\langle 0\left|T\left\{\exp \left[-i\int _{ -T}^{T}dt\,H_{I}(t)\right]\right\}\right|0\right\rangle }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5da3c13010e11cdcfa46460fe31c93cda1ea9e28)
![{\displaystyle \langle \Omega |T\{\phi (x)\phi (y)\}|\Omega \rangle =\lim _{T\to \infty (1-i\epsilon )}{\frac { \int {\mathcal {D}}\phi \,\phi (x)\phi (y)\exp \left[i\int _{-T}^{T}d^{4}z\,{\ mathcal {L}}\right]}{\int {\mathcal {D}}\phi \,\exp \left[i\int _{-T}^{T}d^{4}z\,{\ matemático {L}}\right]}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a53cf57879d423ddf41fcff180629b0917de9fa)
![{\displaystyle e^{i[\alpha (x)+\alpha '(x)]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/171b083b739b394140c10da874c3e4c7d23fe601)
![{\displaystyle \psi ^{i}(x)\to U^{ij}(x)\psi ^{j}(x),\quad A_{\mu }^{a}(x)t^{a }\to U(x)\left[A_{\mu }^{a}(x)t^{a}+ig^{-1}\partial _{\mu }\right]U^{\dagger } (X),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/08c1ca05167f65c0cba1f6243946464914e11ab3)
![{\displaystyle {\mathcal {L}}[\phi,\partial _ {\mu}\phi]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/562e89f35d6535c06ecb8c3cc70aa8da84920ed5)
