Identidad de Ward-Takahashi

Identidad en las teorías abelianas debido a la invariancia del calibre.

En la teoría cuántica de campos , una identidad de Ward-Takahashi es una identidad entre funciones de correlación que se deriva de las simetrías globales o de calibre de la teoría, y que sigue siendo válida después de la renormalización .

La identidad Ward-Takahashi de la electrodinámica cuántica (QED) fue utilizada originalmente por John Clive Ward ^[1] y Yasushi Takahashi ^[2] para relacionar la renormalización de la función de onda del electrón con su factor de renormalización de vértice , garantizando la cancelación de la divergencia ultravioleta a todos los órdenes de la teoría de la perturbación . Los usos posteriores incluyen la extensión de la prueba del teorema de Goldstone a todos los órdenes de la teoría de la perturbación.

De manera más general, una identidad Ward-Takahashi es la versión cuántica de la conservación de corriente clásica asociada a una simetría continua por el teorema de Noether . Tales simetrías en la teoría cuántica de campos (casi) siempre dan lugar a estas identidades generalizadas de Ward-Takahashi que imponen la simetría en el nivel de las amplitudes de la mecánica cuántica. Este sentido generalizado debe distinguirse al leer literatura, como el libro de texto de Michael Peskin y Daniel Schroeder, ^[3] de la identidad original Ward-Takahashi.

La discusión detallada a continuación se refiere a QED, una teoría abeliana a la que se aplica la identidad Ward-Takahashi. Las identidades equivalentes para teorías no abelianas como la cromodinámica cuántica (QCD) son las identidades de Slavnov-Taylor .

El operador Ward describe cómo un término escalar en un lagrangiano se transforma bajo transformaciones de calibre infinitesimales. Está estrechamente relacionado con el operador BRST y desempeña un papel central al proporcionar una descripción geométrica de la cuantificación consistente de las teorías de calibre .

Identidad de Ward-Takahashi

La identidad Ward-Takahashi se aplica a funciones de correlación en el espacio de impulso , que no necesariamente tienen todos sus momentos externos en el caparazón . Dejar

${\displaystyle {\mathcal {M}}(k;p_{1}\cdots p_{n};q_{1}\cdots q_{n})=\epsilon _{\mu }(k){\mathcal {M}}^{\mu }(k;p_{1}\cdots p_{n};q_{1}\cdots q_{n})}$

Sea una función de correlación QED que involucre un fotón externo con momento k (donde está implícito el vector de polarización del fotón y la suma ), n electrones en estado inicial con momentos y n electrones en estado final con momentos . También defina como la amplitud más simple que se obtiene eliminando el fotón con momento k de nuestra amplitud original. Entonces la identidad Ward-Takahashi dice ${\displaystyle \epsilon _{\mu }(k)}$ ${\displaystyle \mu =0,\ldots ,3}$ ${\displaystyle p_{1}\cdots p_{n}}$ ${\displaystyle q_{1}\cdots q_{n}}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{0}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}k_{\mu }{\mathcal {M}}^{\mu }(k;p_{1}\cdots p_{n};q_{1}\cdots q_{n})=e\sum _{i}\left[{\mathcal {M}}_{0}\right.&(p_{1}\cdots p_{n};q_{1}\cdots (q_{i}-k)\cdots q_{n})\\&\left.-{\mathcal {M}}_{0}(p_{1}\cdots (p_{i}+k)\cdots p_{n};q_{1}\cdots q_{n})\right]\end{aligned}}}$

donde está la carga del electrón y tiene signo negativo. Tenga en cuenta que si tiene sus electrones externos en la capa, entonces las amplitudes en el lado derecho de esta identidad tienen cada una una partícula externa fuera de la capa y, por lo tanto, no contribuyen a los elementos de la matriz S. ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$

Identidad del barrio

La identidad Ward es una especialización de la identidad Ward-Takahashi en elementos de la matriz S , que describen procesos de dispersión físicamente posibles y, por lo tanto, tienen todas sus partículas externas en la capa . Nuevamente sea la amplitud de algún proceso QED que involucra un fotón externo con momento , donde es el vector de polarización del fotón. Luego la identidad de Ward dice: ${\displaystyle {\mathcal {M}}(k)=\epsilon _{\mu }(k){\mathcal {M}}^{\mu }(k)}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \epsilon _{\mu }(k)}$

${\displaystyle k_{\mu }{\mathcal {M}}^{\mu }(k)=0}$

Físicamente, lo que significa esta identidad es que la polarización longitudinal del fotón que surge en el calibre ξ no es física y desaparece de la matriz S.

Ejemplos de su uso incluyen restringir la estructura tensorial de la polarización del vacío y de la función de vértice del electrón en QED.

Derivación en la formulación integral de camino.

En la formulación de integral de ruta, las identidades de Ward-Takahashi son un reflejo de la invariancia de la medida funcional bajo una transformación de calibre . Más precisamente, si representa una transformación de calibre por (y esto se aplica incluso en el caso en que la simetría física del sistema es global o incluso inexistente; aquí solo nos preocupa la invariancia de la medida funcional ), entonces ${\displaystyle \delta _{\varepsilon }}$ ${\displaystyle \varepsilon }$

${\displaystyle \int \delta _{\varepsilon }\left({\mathcal {F}}e^{iS}\right){\mathcal {D}}\phi =0}$

expresa la invariancia de la medida funcional donde está la acción y es un funcional de los campos . Si la transformación de calibre corresponde a una simetría global de la teoría, entonces, ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

${\displaystyle \delta _{\varepsilon }S=\int \left(\partial _{\mu }\varepsilon \right)J^{\mu }\mathrm {d} ^{d}x=-\int \varepsilon \partial _{\mu }J^{\mu }\mathrm {d} ^{d}x}$

para algún J " actual " (como funcional de los campos ) después de integrar por partes y asumir que los términos de superficie pueden despreciarse. ${\displaystyle \phi }$

Entonces, las identidades Ward-Takahashi se vuelven

${\displaystyle \langle \delta _{\varepsilon }{\mathcal {F}}\rangle -i\int \varepsilon \langle {\mathcal {F}}\partial _{\mu }J^{\mu }\rangle \mathrm {d} ^{d}x=0}$

Este es el análogo QFT de la ecuación de continuidad de Noether . ${\displaystyle \partial _{\mu }J^{\mu }=0}$

Si la transformación de calibre corresponde a una simetría de calibre real , entonces

${\displaystyle \int \delta _{\varepsilon }\left({\mathcal {F}}e^{i\left(S+S_{gf}\right)}\right){\mathcal {D}}\phi =0}$

donde es la acción invariante de calibre y es un término de fijación de calibre no invariante de calibre . Se requieren términos de fijación de calibre para poder realizar una segunda cuantificación de una teoría de calibre clásica. La formulación de trayectoria integral (Lagrangiana) de la teoría cuántica de campos no evita por completo la necesidad de fijar el calibre, ya que todavía es necesario calcular los estados asintóticos de la matriz de dispersión ( por ejemplo, en la imagen de interacción ). -Se requiere corrección, pero rompe la invariancia general del calibre de la teoría. Las identidades Ward-Takahashi luego describen exactamente cómo los diferentes campos están vinculados entre sí, bajo una transformación de calibre infinitesimal. Estas identidades Ward-Takahashi son generadas por el operador de Ward; en forma linealizada, el operador Ward es el operador BRST . El cargo correspondiente es el cargo BRST . Cuando la teoría del calibre se formula en un haz de fibras , las identidades de Ward-Takahashi corresponden a una acción correcta (global) en el haz principal : son generadas por la derivada de Lie en el haz vertical . ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S_{\mathrm {gf} }}$

Cuando la medida funcional no es invariante de calibre, pero satisface

${\displaystyle \int \delta _{\varepsilon }\left({\mathcal {F}}e^{iS}\right){\mathcal {D}}\phi =\int \varepsilon \lambda {\mathcal {F}}e^{iS}\mathrm {d} ^{d}x}$

con algunas funciones funcionales de los campos , la relación correspondiente da la identidad anómala de Ward-Takahashi . El ejemplo convencional es la anomalía quiral . Este ejemplo es destacado en la teoría del modelo sigma de fuerzas nucleares . En esta teoría, el neutrón y el protón , en un doblete de isospín , sienten fuerzas mediadas por piones , en un triplete de isospín. Esta teoría tiene no una, sino dos simetrías globales distintas: la simetría vectorial y la simétrica vectorial axial; de manera equivalente, las simetrías quirales izquierda y derecha . Las corrientes correspondientes son la corriente isovectorial (el mesón rho ) y la corriente vectorial axial . No es posible cuantificar ambos al mismo tiempo (debido a la identidad anómala de Ward-Takahashi); por convención, la simetría del vector se cuantifica de modo que la corriente del vector se conserva, mientras que la corriente del vector axial no se conserva. El mesón rho se interpreta entonces como el bosón de calibre de la simetría vectorial, mientras que la simetría axial se rompe espontáneamente . La ruptura se debe a la cuantización, es decir, a la identidad anómala de Ward-Takahashi (en lugar de un potencial de sombrero mexicano al estilo de Higgs, que resulta en un tipo de ruptura de simetría completamente diferente). La divergencia de la corriente axial relaciona la interacción pión-nucleón con la desintegración del pión, fijándose como la constante de acoplamiento axial. La relación Goldberger-Treiman se relaciona con la constante de desintegración del pión . De esta manera, la anomalía quiral proporciona la descripción canónica de la interacción pión-núcleo. ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle {\overline {\psi }}\gamma _{\mu }\psi }$ ${\displaystyle {\overline {\psi }}\gamma _{5}\gamma _{\mu }\psi }$ ${\displaystyle g_{A}\approx 1.267}$ ${\displaystyle f_{\pi }g_{\pi N{\overline {N}}}\simeq g_{A}m_{N}}$ ${\displaystyle g_{A}}$ ${\displaystyle f_{\pi }}$

Referencias

1. Sala, John Clive (1950). "Una identidad en la electrodinámica cuántica". Revisión física . 78 (2): 182. Código bibliográfico : 1950PhRv...78..182W. doi : 10.1103/PhysRev.78.182.
2. Takahashi, Yasushi (1957). "Sobre la identidad de barrio generalizada". El nuevo cemento . 6 (2): 371–375. Código Bib : 1957NCim....6..371T. doi :10.1007/BF02832514. S2CID  121528462.
3. Peskin, Michael E.; Schroeder, Daniel V. (1995). Una introducción a la teoría cuántica de campos. Prensa de Westview. Sección 7.4 ("La identidad Ward-Takahashi"). ISBN 978-0-201-50397-5.