bosón de piedra dorada

En física de partículas y materia condensada , los bosones de Goldstone o bosones de Nambu-Goldstone ( NGB ) son bosones que aparecen necesariamente en modelos que exhiben ruptura espontánea de simetrías continuas . Fueron descubiertos por Yoichiro Nambu en física de partículas en el contexto del mecanismo de superconductividad BCS , ^[1] y posteriormente aclarados por Jeffrey Goldstone , ^[2] y generalizados sistemáticamente en el contexto de la teoría cuántica de campos . ^[3] En la física de la materia condensada, estos bosones son cuasipartículas y se conocen como modos Anderson-Bogoliubov. ^[4]^[5]^[6]

Estos bosones sin espín corresponden a los generadores de simetría interna espontáneamente rotos y se caracterizan por los números cuánticos de estos. Se transforman de forma no lineal (desplazamiento) bajo la acción de estos generadores y, por lo tanto, estos generadores pueden excitarlos fuera del vacío asimétrico. Por lo tanto, pueden considerarse como excitaciones del campo en las direcciones de simetría rota en el espacio grupal, y no tienen masa si la simetría rota espontáneamente no se rompe también explícitamente .

Si, en cambio, la simetría no es exacta, es decir, si se rompe explícitamente y también espontáneamente, entonces los bosones de Nambu-Goldstone no carecen de masa, aunque normalmente siguen siendo relativamente ligeros; Luego se les llama pseudo-bosones de Goldstone o pseudo-bosones de Nambu-Goldstone (abreviados PNGB ).

teorema de goldstone

El teorema de Goldstone examina una simetría continua genérica que se rompe espontáneamente ; es decir, sus corrientes se conservan, pero el estado fundamental no es invariante bajo la acción de las cargas correspondientes. Entonces, necesariamente, aparecen nuevas partículas escalares sin masa (o ligeras, si la simetría no es exacta) en el espectro de posibles excitaciones. Hay una partícula escalar, llamada bosón de Nambu-Goldstone, por cada generador de simetría que está roto, es decir, que no conserva el estado fundamental . El modo Nambu-Goldstone es una fluctuación de longitud de onda larga del parámetro de orden correspondiente .

En virtud de sus propiedades especiales de acoplamiento al vacío de la respectiva teoría de simetría rota, los bosones de Goldstone de impulso evanescente ("blandos") involucrados en amplitudes de la teoría de campos hacen que tales amplitudes desaparezcan ("ceros de Adler").

Ejemplos

Natural

En los fluidos , el fonón es longitudinal y es el bosón de Goldstone de la simetría galileana espontáneamente rota . En los sólidos , la situación es más complicada; los bosones de Goldstone son los fonones longitudinales y transversales y resultan ser los bosones de Goldstone de simetría galileana, traslacional y rotacional espontáneamente rota sin una correspondencia simple uno a uno entre los modos de Goldstone y las simetrías rotas.
En los imanes , la simetría rotacional original (presente en ausencia de un campo magnético externo) se rompe espontáneamente de modo que la magnetización apunta en una dirección específica. Los bosones de Goldstone son entonces magnones , es decir, ondas de espín en las que oscila la dirección de magnetización local.
Los piones son los bosones pseudo-Goldstone que resultan de la ruptura espontánea de las simetrías de sabor quiral de QCD efectuada por la condensación de quarks debido a la fuerte interacción. Estas simetrías se rompen explícitamente por las masas de los quarks, de modo que los piones no carecen de masa, pero su masa es significativamente más pequeña que las masas típicas de los hadrones.
Los componentes de polarización longitudinal de los bosones W y Z corresponden a los bosones de Goldstone de la parte espontáneamente rota de la simetría electrodébil SU(2)⊗U(1), que, sin embargo, no son observables. ^{[nb 1]} Debido a que esta simetría está calibrada, los tres posibles bosones de Goldstone son absorbidos por los tres bosones de calibre correspondientes a los tres generadores rotos; esto les da a estos tres bosones de calibre una masa y el tercer grado de libertad de polarización necesario asociado. Esto se describe en el Modelo Estándar a través del mecanismo de Higgs . Un fenómeno análogo ocurre en la superconductividad , que sirvió como fuente original de inspiración para Nambu, a saber, el fotón desarrolla una masa dinámica (expresada como exclusión del flujo magnético de un superconductor), cf. La teoría de Ginzburg-Landau .
Las fluctuaciones primordiales durante la inflación pueden verse como bosones de Goldstone que surgen debido a la ruptura espontánea de la simetría de la simetría de traducción del tiempo de un universo de De Sitter . Estas fluctuaciones en el campo escalar de inflación posteriormente siembran la formación de estructuras cósmicas . ^[7]
Ricciardi y Umezawa propusieron en 1967 una teoría general (cerebro cuántico) sobre el posible mecanismo cerebral de almacenamiento y recuperación de la memoria en términos de bosones de Nambu-Goldstone. ^[8] Esta teoría fue ampliada posteriormente en 1995 por Giuseppe Vitiello teniendo en cuenta que el cerebro es un sistema "abierto" (el modelo cuántico disipativo del cerebro). ^[9] Las aplicaciones de la ruptura espontánea de simetría y del teorema de Goldstone a los sistemas biológicos en general han sido publicadas por E. Del Giudice, S. Doglia, M. Milani y G. Vitiello, ^[10]^[11] y por E. . Del Giudice, G. Preparata y G. Vitiello. ^[12] Mari Jibu y Kunio Yasue ^[13] y Giuseppe Vitiello, ^[14] basándose en estos hallazgos, discutieron las implicaciones para la conciencia.

Teoría

Considere un campo escalar complejo $ϕ$ , con la restricción de que , sea una constante. Una forma de imponer una restricción de este tipo es incluyendo un término de interacción potencial en su densidad lagrangiana , $\phi ^{*}\phi =v^{2}$

\lambda (\phi ^{*}\phi -v^{2})^{2}~,

y tomando el límite como $λ \to \infty$ . Esto se denomina "modelo σ no lineal abeliano". ^{[nota 2]}

La restricción y la acción que se muestran a continuación son invariantes bajo una transformación de fase U (1), $δϕ =i εϕ$ . El campo se puede redefinir para dar un campo escalar real (es decir, una partícula de espín cero) $θ$ sin ninguna restricción por

\phi =ve^{i\theta }

donde $θ$ es el bosón de Nambu-Goldstone (en realidad lo es) y la transformación de simetría U (1) efectúa un cambio en $θ$ , es decir $v\theta$

\delta \theta =\epsilon ~,

pero no preserva el estado fundamental $|0〉$ (es decir, la transformación infinitesimal anterior no lo aniquila , el sello distintivo de la invariancia), como es evidente en la carga de la corriente a continuación.

Por tanto, el vacío es degenerado y no invariante bajo la acción de la simetría rota espontáneamente.

La densidad lagrangiana correspondiente viene dada por

{\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}(\partial ^{\mu }\phi ^{*})\partial _{\mu }\phi -m^{2}\phi ^{*}\phi ={\frac {1}{2}}(-ive^{-i\theta }\partial ^{\mu }\theta )(ive^{i\theta }\partial _{\mu }\theta )-m^{2}v^{2},

y por lo tanto

={\frac {v^{2}}{2}}(\partial ^{\mu }\theta )(\partial _{\mu }\theta )-m^{2}v^{2}~.

Tenga en cuenta que el término constante en la densidad lagrangiana no tiene significado físico, y el otro término es simplemente el término cinético de un escalar sin masa. $m^{2}v^{2}$

La corriente U (1) conservada inducida por simetría es

J_{\mu }=v^{2}\partial _{\mu }\theta ~.

La carga, Q , resultante de esta corriente desplaza $θ$ y el estado fundamental a un nuevo estado fundamental degenerado. Por lo tanto, un vacío con $〈 θ 〉 = 0$ cambiará a un vacío diferente con $〈 θ 〉 = ε$ . La corriente conecta el vacío original con el estado del bosón Nambu-Goldstone, $〈0| J 0 (0)| θ 〉\neq 0$ .

En general, en una teoría con varios campos escalares, $ϕ j$ , el modo Nambu-Goldstone $ϕ g$ no tiene masa y parametriza la curva de posibles estados de vacío (degenerados). Su sello distintivo bajo la transformación de simetría rota es la expectativa de vacío que no desaparece $〈 δϕ g 〉$ , un parámetro de orden , para $〈 ϕ g 〉 = 0$ que desaparece , en algún estado fundamental |0〉 elegido al mínimo del potencial, $〈\partial V /\partial ϕ yo 〉 = 0$ . En principio, el vacío debería ser el mínimo del potencial efectivo que tiene en cuenta los efectos cuánticos; sin embargo, es igual al potencial clásico en primera aproximación. La simetría dicta que todas las variaciones del potencial con respecto a los campos en todas las direcciones de simetría desaparecen. El valor del vacío de la variación de primer orden en cualquier dirección desaparece como se acaba de ver; mientras que el valor del vacío de la variación de segundo orden también debe desaparecer, como sigue. Los valores de vacío que desaparecen de los incrementos de transformación de simetría de campo no añaden información nueva.

Por el contrario, sin embargo, las expectativas de vacío que no desaparecen de los incrementos de transformación , $〈 δϕ g 〉$ , especifican los vectores propios nulos relevantes (Goldstone) de la matriz de masa ,

$\left\langle {\partial ^{2}V \over \partial \phi _{i}\partial \phi _{j}}\right\rangle \langle \delta \phi _{j}\rangle =0~,$

y de ahí los correspondientes valores propios de masa cero.

El argumento de Goldstone

El principio detrás del argumento de Goldstone es que el estado fundamental no es único. Normalmente, por conservación de corriente, el operador de carga para cualquier corriente de simetría es independiente del tiempo,

{d \over dt}Q={d \over dt}\int _{x}J^{0}(x)=0.

Actuar con el operador de carga sobre el vacío aniquila el vacío , si es simétrico; de lo contrario, si no , como es el caso de la ruptura espontánea de simetría, produce un estado de frecuencia cero, a través de su característica de transformación de desplazamiento ilustrada anteriormente. En realidad, aquí el cargo en sí está mal definido, cf. el argumento Fabri-Picasso a continuación.

Pero sus conmutadores con campos que se comportan mejor, es decir, los cambios de transformación que no desaparecen $〈 δϕ g 〉$ , son, sin embargo, invariantes en el tiempo .

{\frac {d\langle \delta \phi _{g}\rangle }{dt}}=0,

generando así un $δ(k 0)$ en su transformada de Fourier. ^[15] (Esto asegura que, insertar un conjunto completo de estados intermedios en un conmutador de corriente que no desaparece puede llevar a una evolución en el tiempo que desaparece solo cuando uno o más de estos estados no tienen masa).

Así, si el vacío no es invariante bajo la simetría, la acción del operador de carga produce un estado diferente del vacío elegido, pero que tiene frecuencia cero. Se trata de una oscilación de longitud de onda larga de un campo que es casi estacionario: hay estados físicos con frecuencia cero, $k 0$ , de modo que la teoría no puede tener una brecha de masa .

Este argumento se aclara aún más si se toma el límite con cuidado. Si se aplica al vacío un operador de carga aproximado que actúa en una región $A enorme pero finita,$

{d \over dt}Q_{A}={d \over dt}\int _{x}e^{-{\frac {x^{2}}{2A^{2}}}}J^{0}(x)=-\int _{x}e^{-{\frac {x^{2}}{2A^{2}}}}\nabla \cdot J=\int _{x}\nabla \left(e^{-{\frac {x^{2}}{2A^{2}}}}\right)\cdot J,

se produce un estado con una derivada del tiempo aproximadamente nula,

\left\|{d \over dt}Q_{A}|0\rangle \right\|\approx {\frac {1}{A}}\left\|Q_{A}|0\rangle \right\|.

Suponiendo una brecha de masa que no desaparece $m 0$ , la frecuencia de cualquier estado como el anterior, que es ortogonal al vacío, es al menos $m 0$ ,

\left\|{\frac {d}{dt}}|\theta \rangle \right\|=\|H|\theta \rangle \|\geq m_{0}\||\theta \rangle \|.

Dejar que $A$ crezca conduce a una contradicción. En consecuencia $m$ ₀ = 0. Sin embargo, este argumento falla cuando se mide la simetría, porque entonces el generador de simetría solo realiza una transformación de calibre. Un estado transformado de calibre es exactamente el mismo estado, de modo que actuar con un generador de simetría no lo saca a uno del vacío (ver mecanismo de Higgs ).

Teorema de Fabri-Picasso.

Q

no existe propiamente en el espacio de Hilbert, a menos que

Q |0〉 = 0

El argumento ^[16]^[17] requiere que tanto el vacío como la carga $Q$ sean invariantes traslacionalmente, $P |0〉 = 0$ , $[P,Q]= 0$ .

Considere la función de correlación de la carga consigo misma,

{\begin{aligned}\langle 0|QQ|0\rangle &=\int d^{3}x\langle 0|j_{0}(x)Q|0\rangle \\&=\int d^{3}x\left\langle 0\left|e^{iPx}j_{0}(0)e^{-iPx}Q\right|0\right\rangle \\&=\int d^{3}x\left\langle 0\left|e^{iPx}j_{0}(0)e^{-iPx}Qe^{iPx}e^{-iPx}\right|0\right\rangle \\&=\int d^{3}x\left\langle 0\left|j_{0}(0)Q\right|0\right\rangle \end{aligned}}

entonces el integrando en el lado derecho no depende de la posición.

Por tanto, su valor es proporcional al volumen total del espacio, — a menos que la simetría sea ininterrumpida, $Q$ $|0〉 = 0$ . En consecuencia, $Q$ no existe propiamente en el espacio de Hilbert. $\|Q|0\rangle \|^{2}=\infty$

Infrapartículas

Hay una laguna discutible en el teorema. Si se lee el teorema con atención, sólo afirma que existen estados sin vacío con energías arbitrariamente pequeñas. Tomemos, por ejemplo, un modelo super QCD quiral N = 1 con un squark VEV distinto de cero que es conforme en el IR . La simetría quiral es una simetría global que se rompe (parcialmente) espontáneamente. Algunos de los "bosones de Goldstone" asociados con esta ruptura espontánea de simetría están cargados bajo el grupo de calibre ininterrumpido y, por lo tanto, estos bosones compuestos tienen un espectro de masas continuo con masas arbitrariamente pequeñas, pero aún así no existe ningún bosón de Goldstone con masa exactamente cero . En otras palabras, los bosones de Goldstone son infrapartículas .

Extensiones

Teorías no relativistas

Una versión del teorema de Goldstone también se aplica a las teorías no relativistas . ^[18]^[19] Básicamente establece que, para cada simetría rota espontáneamente, corresponde alguna cuasipartícula que típicamente es un bosón y no tiene brecha de energía . En la materia condensada, estos bosones de Goldstone también se denominan modos sin espacios (es decir, estados en los que la relación de dispersión de energía es igual a y cero para ), la versión no relativista de las partículas sin masa (es decir, fotones donde la relación de dispersión también es igual a y cero para ). Tenga en cuenta que la energía en el caso de materia condensada no relativista es $H$ $-$ $μN$ $-$ $α$ $\to$ $\cdot$ $P$ $\to$ y no $H$ como sería en un caso relativista. Sin embargo, dos generadores diferentes que se rompen espontáneamente ahora pueden dar lugar al mismo bosón de Nambu-Goldstone. $E\propto p^{n}$ $p=0$ $E=pc$ $p=0$

Como primer ejemplo, un antiferroimán tiene 2 bosones Goldstone, un ferroimán tiene 1 bosón Goldstone, donde en ambos casos estamos rompiendo la simetría de SO(3) a SO(2), para el antiferroimán la dispersión es y el valor esperado del terreno. El estado fundamental es cero, para el ferroimán, en cambio, la dispersión es y el valor esperado del estado fundamental no es cero, es decir, hay una simetría rota espontáneamente para el estado fundamental ^[20]^[21]. $E\propto p$ $E\propto p^{2}$

Como segundo ejemplo, en un superfluido , tanto la simetría del número de partículas U(1) como la simetría galileana se rompen espontáneamente. Sin embargo, el fonón es el bosón de Goldstone para ambos. ^[22]^[23]

Aún en lo que respecta a la ruptura de simetría, también existe una estrecha analogía entre los modos sin espacios en la materia condensada y el bosón de Higgs, por ejemplo, en la transición de fase de paramagnet a ferromagnet ^[24]^[25]

Ruptura de las simetrías del espacio-tiempo.

A diferencia del caso de la ruptura de simetrías internas, cuando se rompen simetrías espacio-temporales como las de Lorentz , conformes, rotacionales o traslacionales, el parámetro de orden no necesita ser un campo escalar, sino que puede ser un campo tensor, y el número de Los modos independientes sin masa pueden ser menores que el número de generadores rotos espontáneamente. Para una teoría con un parámetro de orden que rompe espontáneamente una simetría espacio-temporal, el número de generadores rotos menos el número de soluciones independientes no triviales a $\langle \phi ({\boldsymbol {r}})\rangle$ $T^{a}$ $c_{a}({\boldsymbol {r}})$

c_{a}({\boldsymbol {r}})T^{a}\langle \phi ({\boldsymbol {r}})\rangle =0

es el número de modos Goldstone que surgen. ^[26] Para simetrías internas, la ecuación anterior no tiene soluciones no triviales, por lo que se cumple el teorema habitual de Goldstone. Cuando existen soluciones, es porque los modos de Goldstone son linealmente dependientes entre sí, en el sentido de que el modo resultante puede expresarse como gradientes de otro modo. Dado que la dependencia espacio-temporal de las soluciones está en la dirección de los generadores ininterrumpidos, cuando todos los generadores de traducción están interrumpidos, no existen soluciones no triviales y el número de modos Goldstone vuelve a ser exactamente el número de generadores rotos. $c_{a}({\boldsymbol {r}})$

En general, el fonón es efectivamente el bosón de Nambu-Goldstone para la simetría de traducción rota espontáneamente ^[27] .

Fermiones de Nambu-Goldstone

Las simetrías fermiónicas globales rotas espontáneamente, que ocurren en algunos modelos supersimétricos , conducen a fermiones de Nambu-Goldstone , o goldstinos . ^[28]^[29] Estos tienen giro 1 /2, en lugar de 0, y llevan todos los números cuánticos de los respectivos generadores de supersimetría rotos espontáneamente.

La ruptura espontánea de la supersimetría destroza ("reduce") las estructuras supermultipletes en las realizaciones no lineales características de la supersimetría rota, de modo que los goldstinos son supercompañeros de todas las partículas en la teoría, de cualquier espín , y los únicos supercompañeros, además. Es decir, dos partículas que no son goldstino están conectadas únicamente a goldstinos a través de transformaciones de supersimetría, y no entre sí, incluso si estaban así conectadas antes de la ruptura de la supersimetría. Como resultado, las masas y las multiplicidades de espín de tales partículas son arbitrarias.

Ver también

Notas

^ En teorías con simetría de calibre , los bosones de Goldstone están ausentes. Sus grados de libertad son absorbidos ("devorados", calibrados) por los bosones de calibre , a través del mecanismo de Higgs . Estos últimos se vuelven masivos y su nueva polarización longitudinal es proporcionada por el aspirante a bosón de Goldstone, en una elaborada reordenación de grados de libertad.
^ Corresponde al potencial del sombrero Goldstone donde la punta y los lados se disparan hasta el infinito, conservando la ubicación del mínimo en su base.

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