Teorema de Mermin-Wagner

No hay ruptura espontánea de simetría en sistemas bidimensionales a temperatura finita

En teoría cuántica de campos y mecánica estadística , el teorema de Hohenberg-Mermin-Wagner o teorema de Mermin-Wagner (también conocido como teorema de Mermin-Wagner-Berezinskii o teorema de Coleman ) establece que las simetrías continuas no pueden romperse espontáneamente a temperatura finita en sistemas con distancias suficientemente cortas. -interacciones de rango en dimensiones d ≤ 2 . Intuitivamente, esto significa que se pueden crear fluctuaciones de largo alcance con un bajo costo de energía y, dado que aumentan la entropía, se ven favorecidas.

Esto se debe a que si se produjera tal ruptura espontánea de simetría , entonces los bosones de Goldstone correspondientes , al no tener masa, tendrían una función de correlación divergente en el infrarrojo .

La ausencia de ruptura espontánea de simetría en sistemas infinitos d ≤ bidimensionales fue probada rigurosamente por David Mermin y Herbert Wagner (1966), citando una prueba más general inédita de Pierre Hohenberg (publicada más tarde en 1967) en mecánica estadística. ^[1] También fue reformulado posteriormente por Sidney Coleman  (1973) para la teoría cuántica de campos . El teorema no se aplica a las simetrías discretas que se pueden observar en el modelo bidimensional de Ising .

Introducción

Considere el campo escalar libre φ de masa m en dos dimensiones euclidianas. Su propagador es:

${\displaystyle G(x)=\left\langle \varphi (x)\varphi (0)\right\rangle =\int {\frac {d^{2}k}{(2\pi )^{2}}}{\frac {e^{ik\cdot x}}{k^{2}+m^{2}}}.}$

Para m pequeña , G es una solución a la ecuación de Laplace con una fuente puntual:

${\displaystyle \nabla ^{2}G=\delta (x).}$

Esto se debe a que el propagador es el recíproco de ∇ ² en el espacio k . Para utilizar la ley de Gauss , defina el análogo del campo eléctrico como E = ∇ G. La divergencia del campo eléctrico es cero. En dos dimensiones, utilizando un gran anillo gaussiano:

${\displaystyle E={1 \over 2\pi r}.}$

De modo que la función G tiene una divergencia logarítmica tanto en r pequeño como en grande .

${\displaystyle G(r)={1 \over 2\pi }\log(r)}$

La interpretación de la divergencia es que las fluctuaciones del campo no pueden permanecer centradas alrededor de una media. Si comienza en un punto donde el campo tiene el valor 1, la divergencia le indica que a medida que se aleja, el campo está arbitrariamente lejos del valor inicial. Esto hace que un campo escalar bidimensional sin masa sea un poco complicado de definir matemáticamente. Si define el campo mediante una simulación de Monte Carlo, no se queda quieto, sino que se desliza a valores infinitamente grandes con el tiempo.

Esto también sucede en una dimensión, cuando el campo es un campo escalar unidimensional, un paseo aleatorio en el tiempo. Un paseo aleatorio también se aleja arbitrariamente de su punto de partida, de modo que un escalar unidimensional o bidimensional no tiene un valor promedio bien definido.

Si el campo es un ángulo, θ , como lo es en el modelo del sombrero mexicano donde el campo complejo A = Re ^iθ tiene un valor esperado pero puede deslizarse libremente en la dirección θ , el ángulo θ será aleatorio en distancias grandes. Este es el teorema de Mermin-Wagner: no hay ruptura espontánea de una simetría continua en dos dimensiones.

transición del modelo XY

Si bien el teorema de Mermin-Wagner evita cualquier ruptura espontánea de simetría a escala global, se pueden permitir transiciones ordenadas del tipo Kosterlitz-Thouless . Este es el caso del modelo XY donde la simetría continua (interna) O (2) en una red espacial de dimensión d ≤ 2 , es decir, el valor esperado del campo (de espín), permanece cero para cualquier temperatura finita ( las transiciones de fase cuánticas permanecen inafectado). Sin embargo, el teorema no impide la existencia de una transición de fase en el sentido de una longitud de correlación divergente ξ . Para este fin, el modelo tiene dos fases: una fase desordenada convencional a alta temperatura con una decadencia exponencial dominante de la función de correlación para , y una fase de baja temperatura con un orden de casi largo alcance donde G ( r ) decae según cierta potencia. ley para una distancia r "suficientemente grande", pero finita ( a ≪ r ≪ ξ con a el espaciado de la red ). ${\displaystyle G(r)\sim \exp(-r/\xi )}$ ${\displaystyle r/\xi \gg 1}$

modelo heisenberg

Presentaremos una forma intuitiva ^[2] de comprender el mecanismo que evita la ruptura de la simetría en dimensiones bajas, mediante una aplicación al modelo de Heisenberg _, es decir, un sistema de espines de n componentes Si de longitud unitaria | Si _yo | = 1 , ubicado en los sitios de una red cuadrada d -dimensional, con acoplamiento del vecino más cercano J. Su hamiltoniano es

${\displaystyle H=-J\sum _{\left\langle {i,j}\right\rangle }\mathbf {S} _{i}\cdot \mathbf {S} _{j}.}$

El nombre de este modelo proviene de su simetría rotacional. Considere el comportamiento de este sistema a baja temperatura y suponga que existe una simetría rota espontáneamente, es decir, una fase en la que todos los espines apuntan en la misma dirección, por ejemplo, a lo largo del eje x . Entonces la simetría rotacional O ( n ) del sistema se rompe espontáneamente, o más bien se reduce a la simetría O ( n − 1 ) bajo rotaciones alrededor de esta dirección. Podemos parametrizar el campo en términos de fluctuaciones independientes alrededor de esta dirección de la siguiente manera: ${\displaystyle \{\sigma _{\alpha }:\alpha =1,\dots ,n-1\}}$

${\displaystyle \mathbf {S} =\left({\sqrt {1-\sum _{\alpha =1}^{n-1}\sigma _{\alpha }^{2}}},\sigma _{1},\dots ,\sigma _{n-1}\right)}$

con | σ _α | ≪ 1 y Taylor expande el hamiltoniano resultante. Tenemos

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {S} _{i}\cdot \mathbf {S} _{j}&={\sqrt {\left(1-\sum _{\alpha }\sigma _{i\alpha }^{2}\right)\left(1-\sum _{\alpha }\sigma _{j\alpha }^{2}\right)}}+\sum _{\alpha }\sigma _{i\alpha }\sigma _{j\alpha }\\&=1-{\tfrac {1}{2}}\sum _{\alpha }\left(\sigma _{i\alpha }^{2}+\sigma _{j\alpha }^{2}\right)+\sum _{\alpha }\sigma _{i\alpha }\sigma _{j\alpha }+{\mathcal {O}}\left(\sigma ^{4}\right)\\&=1-{\tfrac {1}{2}}\sum _{\alpha }\left(\sigma _{i\alpha }-\sigma _{j\alpha }\right)^{2}+\ldots \end{aligned}}}$

De dónde

${\displaystyle H=H_{0}+{\tfrac {1}{2}}J\sum _{\left\langle i,j\right\rangle }\sum _{\alpha }\left(\sigma _{i\alpha }-\sigma _{j\alpha }\right)^{2}+\cdots }$

Ignorando el término constante irrelevante H ₀ = − JNd y pasando al límite del continuo , dado que estamos interesados ​​en la fase de baja temperatura donde dominan las fluctuaciones de longitud de onda larga, obtenemos

${\displaystyle H={\tfrac {1}{2}}J\int {\mathrm {d} ^{d}x\sum _{\alpha }{(\nabla \sigma _{\alpha })^{2}}}+\ldots .}$

Las fluctuaciones de campo σ _α se denominan ondas de espín y pueden reconocerse como bosones de Goldstone. De hecho, son n -1 en número y tienen masa cero ya que no existe un término de masa en el hamiltoniano.

Para saber si esta fase hipotética realmente existe, debemos comprobar si nuestra suposición es autoconsistente, es decir, si el valor esperado de la magnetización , calculado en este marco, es finito como se supone. Para ello necesitamos calcular la corrección de primer orden de la magnetización debido a las fluctuaciones. Este es el procedimiento seguido en la derivación del conocido criterio de Ginzburg .

El modelo es gaussiano de primer orden, por lo que la función de correlación del espacio de momento es proporcional a k ⁻² . Por lo tanto, la función de correlación de dos puntos en el espacio real para cada uno de estos modos es

${\displaystyle \left\langle \sigma _{\alpha }(r)\sigma _{\alpha }(0)\right\rangle ={\frac {1}{\beta J}}\int ^{\frac {1}{a}}{\frac {\mathrm {d} ^{d}k}{(2\pi )^{d}}}{\frac {e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }}{k^{2}}}}$

donde a es el espaciamiento de la red. La magnetización promedio es

${\displaystyle \left\langle S_{1}\right\rangle =1-{\tfrac {1}{2}}\sum _{\alpha }\left\langle \sigma _{\alpha }^{2}\right\rangle +\ldots }$

y ahora se puede calcular fácilmente la corrección de primer orden:

${\displaystyle \sum _{\alpha }\left\langle \sigma _{\alpha }^{2}(0)\right\rangle =(n-1){\frac {1}{\beta J}}\int ^{\frac {1}{a}}{\frac {\mathrm {d} ^{d}k}{(2\pi )^{d}}}{\frac {1}{k^{2}}}.}$

La integral anterior es proporcional a

${\displaystyle \int ^{\frac {1}{a}}k^{d-3}\mathrm {d} k}$

y entonces es finito para d > 2 , pero parece ser divergente para d ≤ 2 (logarítmicamente para d = 2 ).

Esta divergencia significa que las fluctuaciones σ _α son grandes, por lo que la expansión del parámetro | σ _α | ≪ 1 realizado anteriormente no es autoconsistente. Naturalmente, se puede esperar entonces que más allá de esa aproximación, la magnetización promedio sea cero.

Por lo tanto, concluimos que para d ≤ 2 nuestra suposición de que existe una fase de magnetización espontánea es incorrecta para todo T > 0 , porque las fluctuaciones son lo suficientemente fuertes como para destruir la ruptura espontánea de la simetría. Este es un resultado general:

Teorema de Hohenberg-Mermin-Wagner. No existe ninguna fase con ruptura espontánea de una simetría continua para T > 0 , en d ≤ 2 dimensiones para un sistema infinito.

El resultado también se puede extender a otras geometrías, como películas de Heisenberg con un número arbitrario de capas, así como a otros sistemas reticulares (modelo Hubbard, modelo sf). ^[3]

Generalizaciones

De hecho, se pueden demostrar resultados mucho más sólidos que la ausencia de magnetización, y el escenario puede ser sustancialmente más general. En particular ^{[ cita necesaria ]} :

1. El hamiltoniano puede ser invariante bajo la acción de un grupo de Lie G , compacto y conectado arbitrario .
2. Se pueden permitir interacciones de largo alcance (siempre que decaigan lo suficientemente rápido; se conocen las condiciones necesarias y suficientes).

En este contexto general, el teorema de Mermin-Wagner admite la siguiente forma fuerte (expresada aquí de manera informal):

Todos los estados de Gibbs (de volumen infinito) asociados a este hamiltoniano son invariantes bajo la acción de G.

Cuando se abandona el supuesto de que el grupo de Lie es compacto, se obtiene un resultado similar, pero con la conclusión de que los estados de Gibbs de volumen infinito no existen.

Finalmente, existen otras aplicaciones importantes de estas ideas y métodos, en particular la prueba de que no puede haber estados de Gibbs invariantes sin traducción en sistemas bidimensionales. Un ejemplo típico sería la ausencia de estados cristalinos en un sistema de discos duros (con posiblemente interacciones atractivas adicionales).

Sin embargo, se ha demostrado que las interacciones de tipo duro pueden conducir en general a violaciones del teorema de Mermin-Wagner.

Argumentos historicos

Ya en 1930, Felix Bloch argumentó, diagonalizando el determinante de Slater para los fermiones, que el magnetismo en 2D no debería existir. ^[4] Rudolf Peierls dio algunos argumentos sencillos, que se resumen a continuación, basándose en consideraciones entrópicas y energéticas. ^[5] También Lev Landau hizo algunos trabajos sobre la ruptura de la simetría en dos dimensiones. ^[6]

Argumento enérgico

El boceto muestra una cadena de dipolos magnéticos en orden antiferromagnético. Los dipolos pueden girar en un plano perpendicular al eje y se trazan en el modo de excitación más bajo. El ángulo entre dipolos vecinos es , la longitud de la cadena es L. ${\displaystyle \gamma }$

Una de las razones de la falta de ruptura de la simetría global es que se pueden excitar fácilmente fluctuaciones de longitudes de onda largas que destruyen el orden perfecto. "Fácilmente excitable" significa que la energía de esas fluctuaciones tiende a cero en sistemas suficientemente grandes. Consideremos un modelo magnético (por ejemplo, el modelo XY en una dimensión). Es una cadena de momentos magnéticos de longitud . Consideramos una aproximación armónica, donde las fuerzas (par) entre momentos vecinos aumentan linealmente con el ángulo de torsión . Esto implica que la energía debida a la torsión aumenta cuadráticamente . La energía total es la suma de todos los pares trenzados de momentos magnéticos . Si se considera el modo excitado con la energía más baja en una dimensión (ver figura), entonces los momentos en la cadena de longitud están inclinados a lo largo de la cadena. El ángulo relativo entre momentos vecinos es el mismo para todos los pares de momentos en este modo e igual a , si la cadena consta de momentos magnéticos. De ello se deduce que la energía total de este modo más bajo es . Disminuye al aumentar el tamaño del sistema y tiende a cero en el límite termodinámico . Para sistemas grandes arbitrarios se deduce que los modos más bajos no cuestan energía y serán excitados térmicamente. Al mismo tiempo, el orden de largo alcance se destruye en la cadena. En dos dimensiones (o en un plano) el número de momentos magnéticos es proporcional al área de la llanura . La energía para el modo excitado más bajo es entonces , que tiende a una constante en el límite termodinámico. Por tanto, los modos se excitarán a temperaturas suficientemente altas. En tres dimensiones, el número de momentos magnéticos es proporcional al volumen y la energía del modo más bajo es . Divergencia con el tamaño del sistema y, por lo tanto, no se excitará en sistemas lo suficientemente grandes. Este modo no afecta el orden de largo alcance y se permite la ruptura de la simetría global. ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \gamma _{i}}$ ${\displaystyle E_{i}\propto \gamma _{i}^{2}}$ ${\displaystyle E_{ges}\propto \sum _{i}\gamma _{i}^{2}}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \gamma _{i}=\pi /N}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle E_{ges}\propto N\cdot \gamma _{i}^{2}=N{\frac {\pi ^{2}}{N^{2}}}\propto L{\frac {\pi ^{2}}{L^{2}}}}$ ${\displaystyle \propto 1/L}$ ${\displaystyle L\to \infty }$ ${\displaystyle N\to \infty }$ ${\displaystyle L/N={\text{const.}}}$ ${\displaystyle N\propto L^{2}}$ ${\displaystyle E_{ges}\propto N^{2}\cdot \gamma _{i}^{2}\propto L^{2}{\frac {\pi ^{2}}{L^{2}}}}$ ${\displaystyle V=L^{3}}$ ${\displaystyle E_{ges}\propto N^{3}\cdot \gamma _{i}^{2}\propto L^{3}{\frac {\pi ^{2}}{L^{2}}}}$

Argumento entrópico

Sólo hay un camino entre partículas vecinas en una dimensión, dos caminos en dos dimensiones y seis caminos diferentes en tres dimensiones.

Un argumento entrópico contra el orden perfecto de largo alcance en cristales es el siguiente (ver figura): considere una cadena de átomos/partículas con una distancia promedio entre partículas de . Las fluctuaciones térmicas entre partícula y partícula darán lugar a fluctuaciones en la distancia promedio entre partículas del orden de , por lo que la distancia viene dada por . Las fluctuaciones entre partícula y serán del mismo tamaño: . Suponemos que las fluctuaciones térmicas son estadísticamente independientes (lo cual es evidente si consideramos solo la interacción del vecino más cercano) y las fluctuaciones entre una partícula (con el doble de distancia) deben sumarse estadísticamente independientes (o incoherentes) : Para partículas N veces la distancia promedio, las fluctuaciones aumentarán con la raíz cuadrada si las fluctuaciones vecinas se suman de forma independiente. Aunque la distancia promedio está bien definida, las desviaciones de una cadena periódica perfecta aumentan con la raíz cuadrada del tamaño del sistema. En tres dimensiones, hay que caminar en tres direcciones linealmente independientes para cubrir todo el espacio; En un cristal cúbico, esto ocurre efectivamente a lo largo de la diagonal del espacio, para pasar de una partícula a otra . Como se puede ver fácilmente en la figura, existen seis posibilidades diferentes para hacer esto. Esto implica que las fluctuaciones en las seis rutas diferentes no pueden ser estadísticamente independientes, ya que pasan por las mismas partículas en la posición y . Ahora, las fluctuaciones de las seis formas diferentes deben sumarse de forma coherente y serán del orden de – independientemente del tamaño del cubo. Las fluctuaciones permanecen finitas y los sitios de la red están bien definidos. Para el caso de dos dimensiones, Herbert Wagner y David Mermin han demostrado rigurosamente que las distancias de fluctuación aumentan logarítmicamente con el tamaño del sistema . A esto se le llama frecuentemente divergencia logarítmica de desplazamientos. ${\displaystyle D<3}$ ${\displaystyle \langle a\rangle }$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \xi _{0,1}}$ ${\displaystyle a=\langle a\rangle \pm \xi _{0,1}}$ ${\displaystyle -1}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle |\xi _{-1,0}|=|\xi _{0,1}|}$ ${\displaystyle -1}$ ${\displaystyle +1}$ ${\displaystyle \xi _{-1,1}={\sqrt {2}}\cdot \xi _{0,1}}$ ${\displaystyle \xi _{0,N}={\sqrt {N}}\cdot \xi _{0,1}}$ ${\displaystyle \langle a\rangle }$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 3}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 3}$ ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle \xi \propto \ln(L)}$

Cristales en 2D

X-tal 2D con fluctuaciones térmicas de posiciones de partículas. Las líneas rojas simbolizan el eje de la red y las flechas verdes simbolizan las desviaciones de las posiciones de equilibrio.

La imagen muestra un cristal (cuasi) bidimensional de partículas coloidales. Se trata de partículas de tamaño micrométrico dispersas en agua y sedimentadas en una superficie plana, por lo que sólo pueden realizar movimientos brownianos dentro de un plano. El orden cristalino séxtuple es fácil de detectar a escala local, ya que el aumento logarítmico de los desplazamientos es bastante lento. Las desviaciones del eje de la red (rojo) también son fáciles de detectar, como se muestran aquí como flechas verdes. Las desviaciones vienen dadas básicamente por las vibraciones de la red elástica (fonones acústicos). Una prueba experimental directa de las fluctuaciones de Hohenberg-Mermin-Wagner sería si los desplazamientos aumentan logarítmicamente con la distancia de un marco de coordenadas ajustado localmente (azul). Esta divergencia logarítmica va acompañada de una decadencia algebraica (lenta) de las correlaciones posicionales. El orden espacial de un cristal 2D se llama de casi largo alcance (ver también fase hexática para conocer el comportamiento de fase de conjuntos 2D). Curiosamente, no se han encontrado firmas significativas de las fluctuaciones de Hohenberg-Mermin-Wagner en cristales sino en sistemas amorfos desordenados. ^{[7] [8] [9]}

Este trabajo no investigó los desplazamientos logarítmicos de los sitios de la red (que son difíciles de cuantificar para un tamaño de sistema finito), sino la magnitud del desplazamiento cuadrático medio de las partículas en función del tiempo. De esta manera, los desplazamientos no se analizan en el espacio sino en el dominio del tiempo. La base teórica la aportan D. Cassi, así como F. ​​Merkl y H. Wagner. ^{[10] [11]} Este trabajo analiza la probabilidad de recurrencia de paseos aleatorios y rupturas espontáneas de simetría en varias dimensiones. La probabilidad de recurrencia finita de un paseo aleatorio en una y dos dimensiones muestra un dualismo a la falta de un orden perfecto de largo alcance en una y dos dimensiones, mientras que la probabilidad de recurrencia evanescente de un paseo aleatorio en 3D es dual a la existencia de un orden perfecto de largo alcance. orden de rango y la posibilidad de ruptura de simetría.

Límites

Los imanes reales no suelen tener una simetría continua, ya que el acoplamiento espín-órbita de los electrones impone una anisotropía. Para sistemas atómicos como el grafeno, se puede demostrar que se necesitan monocapas de tamaño cosmológico (o al menos continental) para medir un tamaño significativo de las amplitudes de las fluctuaciones. ^[12] Bertrand Halperin ofrece una discusión reciente sobre los teoremas de Hohenberg-Mermin-Wagner y sus limitaciones. ^[13] La limitación física más grave son los efectos de tamaño finito en 2D, porque la supresión debida a las fluctuaciones infrarrojas es sólo logarítmica en tamaño. La muestra tendría que ser más grande que el universo observable para que una transición superconductora 2D se suprima por debajo de ~100 K. Para el magnetismo, existe un comportamiento similar donde el tamaño de la muestra debe acercarse al tamaño del universo para tener una temperatura de Curie T _c en el rango mK. ^[14] Sin embargo, debido a que el desorden y el acoplamiento entre capas compiten con los efectos de tamaño finito en la restauración del orden, no se puede decir a priori cuál de ellos es responsable de la observación del ordenamiento magnético en una muestra 2D determinada. ^[15]

Observaciones

La discrepancia entre el teorema de Hohenberg-Mermin-Wagner (que descarta el orden de largo alcance en 2D) y las primeras simulaciones por ordenador (Alder&Wainwright), que indicaban cristalización en 2D, motivó en su día a J. Michael Kosterlitz y David J, Thouless a trabajar en investigaciones topológicas. transiciones de fase en 2D. Este trabajo recibe el Premio Nobel de Física 2016 (junto con Duncan Haldane ).

Ver también

• teorema de elitzur

Notas

1. Halperin, Bertrand I. (2019). "Sobre el teorema de Hohenberg-Mermin-Wagner y sus limitaciones". Revista de Física Estadística . 175 (3–4): 521–529. arXiv : 1812.00220 . doi :10.1007/s10955-018-2202-y. ISSN  0022-4715.
2. ver Cardy (2002)
3. Véase Gelfert y Nolting (2001).
4. Bloch, F (1 de febrero de 1930). "Zur Theorie des Ferromagnetismus". Zeitschrift für Physik . 61 (3–4): 206–219. Código bibliográfico : 1930ZPhy...61..206B. doi :10.1007/bf01339661. S2CID  120459635.
5. Peierls, RE (1934). "Bemerkungen über Umwandlungtemperaturen". Helv. Física. Acta . 7 : 81. doi : 10.5169/sellos-110415.
6. Landau, LD "Teoría de las transformaciones de fase II". Física. Z. Sowjetunion . 11 : 545.
7. Shiba, H.; Yamada, Y.; Kawasaki, T.; Kim, K. (2016). "Revelando la dependencia de la dimensionalidad de la dinámica vítrea: la fluctuación infinita 2D eclipsa la relajación estructural inherente". Cartas de revisión física . 117 (24): 245701. arXiv : 1510.02546 . Código bibliográfico : 2016PhRvL.117x5701S. doi : 10.1103/PhysRevLett.117.245701. PMID  28009193. S2CID  30893052.
8. Vivek, S.; Kelleher, CP; Chaikin, PM; Semanas, ER (2017). "Fluctuaciones de longitudes de onda largas y transición vítrea en dos y tres dimensiones". Procedimientos de la Academia Nacional de Ciencias . 114 (8): 1850–1855. arXiv : 1604.07338 . Código Bib : 2017PNAS..114.1850V. doi : 10.1073/pnas.1607226113 . PMC 5338427 . PMID  28137847. 
9. Illing, B.; Fritschi, S.; Káiser, H.; Klix, CL; Maret, G.; Keim, P. (2017). "Fluctuaciones de Mermin-Wagner en sólidos amorfos 2D". Procedimientos de la Academia Nacional de Ciencias . 114 (8): 1856–1861. Código Bib : 2017PNAS..114.1856I. doi : 10.1073/pnas.1612964114 . PMC 5338416 . PMID  28137872. 
10. Cassi, D. (1992). "Transiciones de fase y paseos aleatorios en gráficos: una generalización del teorema de Mermin-Wagner a redes desordenadas, fractales y otras estructuras discretas". Cartas de revisión física . 68 (24): 3631–3634. Código bibliográfico : 1992PhRvL..68.3631C. doi : 10.1103/PhysRevLett.68.3631. PMID  10045753.
11. Merkl, F.; Wagner, H. (1994). "Caminatas aleatorias recurrentes y ausencia de ruptura continua de simetría en los gráficos". Revista de Física Estadística . 75 (1): 153–165. Código Bib : 1994JSP....75..153M. doi :10.1007/bf02186284. S2CID  120429502.
12. Thompson-Flagg, RC; Moura, MJB; Marder, M. (2009). "Ondulación del grafeno". EPL . 85 (4): 46002. arXiv : 0807.2938 . Código Bib : 2009EL..... 8546002T. doi :10.1209/0295-5075/85/46002. S2CID  119024976.
13. Halperin, BI (2019). "Sobre el teorema de Hohenberg-Mermin-Wagner y sus limitaciones". Revista de Física Estadística . 175 (3–4): 521–529. arXiv : 1812.00220 . Código Bib : 2019JSP...175..521H. doi :10.1007/s10955-018-2202-y. S2CID  119512932.
14. Jenkins, S.; Rózsa, L.; Atxitia, U.; Evans, RFL; Novoselov, K.; EJG, Santos (2022). "Rompiendo el límite de Mermin-Wagner en imanes 2D de van der Waals". Comunicaciones de la naturaleza . 13 (1): 6917. arXiv : 2210.04830 . doi :10.1038/s41467-022-34389-0.
15. Pale, G.; Sunko, DK (2021). "Limitaciones físicas del teorema de Hohenberg-Mermin-Wagner". Revista de Física A: Matemática y Teórica . 54 (31): 315001. arXiv : 2107.09714 . Código Bib : 2021JPhA...54E5001P. doi :10.1088/1751-8121/ac0a9d. S2CID  235719970.

Referencias

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