Función de correlación

Correlación en función de la distancia

Comparación visual de convolución , correlación cruzada y autocorrelación .

Una función de correlación es una función que proporciona la correlación estadística entre variables aleatorias , dependiendo de la distancia espacial o temporal entre esas variables. ^[1] Si se considera la función de correlación entre variables aleatorias que representan la misma cantidad medida en dos puntos diferentes, a menudo se la denomina función de autocorrelación , que se compone de autocorrelaciones . Las funciones de correlación de diferentes variables aleatorias a veces se denominan funciones de correlación cruzada para enfatizar que se están considerando diferentes variables y porque están compuestas de correlaciones cruzadas .

Las funciones de correlación son un indicador útil de dependencias en función de la distancia en el tiempo o en el espacio, y pueden utilizarse para evaluar la distancia necesaria entre puntos de muestra para que los valores no estén correlacionados de manera efectiva. Además, pueden formar la base de reglas para interpolar valores en puntos para los que no existen observaciones.

Las funciones de correlación que se utilizan en astronomía , análisis financiero , econometría y mecánica estadística difieren únicamente en los procesos estocásticos particulares a los que se aplican. En la teoría cuántica de campos existen funciones de correlación sobre distribuciones cuánticas .

Definición

Para variables aleatorias posiblemente distintas X ( s ) e Y ( t ) en diferentes puntos s y t de algún espacio, la función de correlación es

${\displaystyle C(s,t)=\operatorname {corr} (X(s),Y(t)),}$

donde se describe en el artículo sobre correlación . En esta definición, se ha asumido que las variables estocásticas tienen valores escalares. Si no lo tienen, se pueden definir funciones de correlación más complicadas. Por ejemplo, si X ( s ) es un vector aleatorio con n elementos e Y ( t ) es un vector con q elementos, entonces se define una matriz n × q de funciones de correlación con elementos ${\displaystyle \operatorname {corr} }$ ${\displaystyle i,j}$

${\displaystyle C_{ij}(s,t)=\operatorname {corr} (X_{i}(s),Y_{j}(t)).}$

Cuando n = q , a veces se centra la traza de esta matriz. Si las distribuciones de probabilidad tienen simetrías espaciales de destino, es decir, simetrías en el espacio de valores de la variable estocástica (también llamadas simetrías internas ), entonces la matriz de correlación tendrá simetrías inducidas. De manera similar, si existen simetrías del dominio espacial (o temporal) en el que existen las variables aleatorias (también llamadas simetrías espaciotemporales ), entonces la función de correlación tendrá simetrías espaciales o temporales correspondientes. Algunos ejemplos de simetrías espaciotemporales importantes son:

• La simetría traslacional produce C ( s , s ') = C ( s  −  s ') donde s y s ' deben interpretarse como vectores que dan las coordenadas de los puntos
• La simetría rotacional además de lo anterior da C ( s , s ') = C (| s  −  s '|) donde | x | denota la norma del vector x (para rotaciones reales esta es la norma euclidiana o 2-norma).

A menudo se definen funciones de correlación de orden superior. Una función de correlación típica de orden n es (los corchetes angulares representan el valor esperado )

${\displaystyle C_{i_{1}i_{2}\cdots i_{n}}(s_{1},s_{2},\cdots ,s_{n})=\langle X_{i_{1}}(s_{1})X_{i_{2}}(s_{2})\cdots X_{i_{n}}(s_{n})\rangle .}$

Si el vector aleatorio tiene una sola variable componente, entonces los índices son redundantes. Si hay simetrías, entonces la función de correlación se puede descomponer en representaciones irreducibles de las simetrías, tanto internas como espaciotemporales. ${\displaystyle i,j}$

Propiedades de las distribuciones de probabilidad

Con estas definiciones, el estudio de las funciones de correlación es similar al estudio de las distribuciones de probabilidad . Muchos procesos estocásticos pueden caracterizarse completamente por sus funciones de correlación; el ejemplo más notable es la clase de procesos gaussianos .

Las distribuciones de probabilidad definidas sobre un número finito de puntos siempre se pueden normalizar, pero cuando se definen sobre espacios continuos, se debe tener especial cuidado. El estudio de dichas distribuciones comenzó con el estudio de los recorridos aleatorios y condujo al concepto de cálculo de Itō .

La integral de trayectoria de Feynman en el espacio euclidiano generaliza esto a otros problemas de interés para la mecánica estadística . Cualquier distribución de probabilidad que obedezca una condición en las funciones de correlación llamada positividad de reflexión conduce a una teoría cuántica de campos local después de la rotación de Wick al espacio-tiempo de Minkowski (ver axiomas de Osterwalder-Schrader ). La operación de renormalización es un conjunto específico de aplicaciones del espacio de distribuciones de probabilidad a sí mismo. Una teoría cuántica de campos se llama renormalizable si esta aplicación tiene un punto fijo que da una teoría cuántica de campos.

Véase también

• Autocorrelación  : correlación de una señal con una copia de sí misma desplazada en el tiempo, en función del desplazamiento
• La correlación no implica causalidad  – Refutación de una falacia lógica
• Correlograma  – Imagen de las estadísticas de correlación
• Función de covarianza  – Función en la teoría de la probabilidad
• Coeficiente de correlación producto-momento de Pearson  : medida de correlación linealPages displaying short descriptions of redirect targets
• Función de correlación (astronomía)  : Función que describe la distribución de las galaxias en el universo.
• Función de correlación (mecánica estadística)  : medida del orden de un sistema
• Función de correlación (teoría cuántica de campos)  : valor esperado de los operadores cuánticos ordenados en el tiempo
• Información mutua  – Medida de dependencia entre dos variables
• Teoría de la distorsión de la velocidad  : rama de la teoría de la información que proporciona las bases teóricas para la compresión de datos con pérdida.Pages displaying short descriptions of redirect targets
• Función de distribución radial  – Descripción de la densidad de partículas en mecánica estadística

Referencias

1. Pal, Manoranjan; Bharati, Premananda (2019). "Introducción al análisis de correlación y regresión lineal". Aplicaciones de técnicas de regresión. Springer, Singapur. págs. 1–18. doi :10.1007/978-981-13-9314-3_1 . Consultado el 14 de diciembre de 2023 .