Función de distribución radial

Descripción de la densidad de partículas en mecánica estadística

cálculo de ${\displaystyle g(r)}$

Función de distribución radial para el fluido del modelo Lennard-Jones en . ${\displaystyle \textstyle T^{*}=0.71,\;n^{*}=0.844}$

En mecánica estadística , la función de distribución radial (o función de correlación de pares ) en un sistema de partículas (átomos, moléculas, coloides, etc.) describe cómo varía la densidad en función de la distancia a una partícula de referencia. ${\displaystyle g(r)}$

Si se considera que una partícula dada está en el origen O , y si es la densidad numérica promedio de partículas, entonces la densidad promediada en el tiempo local a una distancia de O es . Esta definición simplificada es válida para un sistema homogéneo e isótropo . A continuación se considerará un caso más general. ${\displaystyle \rho =N/V}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \rho g(r)}$

En términos más simples, es una medida de la probabilidad de encontrar una partícula a una distancia de una partícula de referencia dada, en relación con la de un gas ideal. El algoritmo general implica determinar cuántas partículas se encuentran a una distancia de y a una distancia de una partícula. Este tema general se representa a la derecha, donde la partícula roja es nuestra partícula de referencia y las partículas azules son aquellas cuyos centros están dentro de la capa circular, salpicada de naranja. ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r+dr}$

La función de distribución radial se determina generalmente calculando la distancia entre todos los pares de partículas y clasificándolas en un histograma. Luego, el histograma se normaliza con respecto a un gas ideal, donde los histogramas de partículas no están correlacionados en absoluto. Para tres dimensiones, esta normalización es la densidad numérica del sistema multiplicada por el volumen de la capa esférica, que simbólicamente se puede expresar como . ${\displaystyle (\rho )}$ ${\displaystyle \rho \,4\pi r^{2}dr}$

Dada una función de energía potencial , la función de distribución radial se puede calcular mediante métodos de simulación por computadora como el método de Monte Carlo o mediante la ecuación de Ornstein-Zernike , utilizando relaciones de cierre aproximadas como la aproximación de Percus-Yevick o la teoría de la cadena hiperredada . También se puede determinar experimentalmente, mediante técnicas de dispersión de radiación o mediante visualización directa para partículas lo suficientemente grandes (de tamaño micrométrico) mediante microscopía tradicional o confocal.

La función de distribución radial es de importancia fundamental ya que se puede utilizar, utilizando la teoría de la solución de Kirkwood-Buff , para vincular los detalles microscópicos con las propiedades macroscópicas. Además, mediante la reversión de la teoría de Kirkwood-Buff, es posible obtener los detalles microscópicos de la función de distribución radial a partir de las propiedades macroscópicas. La función de distribución radial también se puede invertir para predecir la función de energía potencial utilizando la ecuación de Ornstein-Zernike o el refinamiento de potencial optimizado por estructura. ^[1]

Definición

Consideremos un sistema de partículas en un volumen (para una densidad numérica media ) y a una temperatura (definamos también ; es la constante de Boltzmann). Las coordenadas de las partículas son , con . La energía potencial debida a la interacción entre partículas es y no consideramos el caso de un campo aplicado externamente. ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \rho =N/V}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \textstyle \beta ={\frac {1}{kT}}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \mathbf {r} _{i}}$ ${\displaystyle \textstyle i=1,\,\ldots ,\,N}$ ${\displaystyle \textstyle U_{N}(\mathbf {r} _{1}\,\ldots ,\,\mathbf {r} _{N})}$

Los promedios apropiados se toman en el conjunto canónico , con la integral configuracional, tomada sobre todas las combinaciones posibles de posiciones de partículas. La probabilidad de una configuración elemental, es decir, encontrar la partícula 1 en , la partícula 2 en , etc., está dada por ${\displaystyle (N,V,T)}$ ${\displaystyle \textstyle Z_{N}=\int \cdots \int \mathrm {e} ^{-\beta U_{N}}\mathrm {d} \mathbf {r} _{1}\cdots \mathrm {d} \mathbf {r} _{N}}$ ${\displaystyle \textstyle \mathrm {d} \mathbf {r} _{1}}$ ${\displaystyle \textstyle \mathrm {d} \mathbf {r} _{2}}$

El número total de partículas es enorme, por lo que en sí mismo no es muy útil. Sin embargo, también se puede obtener la probabilidad de una configuración reducida, donde las posiciones de solo las partículas son fijas, en , sin restricciones sobre las partículas restantes. Para ello, hay que integrar ( 1 ) sobre las coordenadas restantes : ${\displaystyle P^{(N)}}$ ${\displaystyle n<N}$ ${\displaystyle \textstyle \mathbf {r} _{1}\,\ldots ,\,\mathbf {r} _{n}}$ ${\displaystyle N-n}$ ${\displaystyle \mathbf {r} _{n+1}\,\ldots ,\,\mathbf {r} _{N}}$

${\displaystyle P^{(n)}(\mathbf {r} _{1},\ldots ,\mathbf {r} _{n})={\frac {1}{Z_{N}}}\int \cdots \int \mathrm {e} ^{-\beta U_{N}}\,\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} _{n+1}\cdots \mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} _{N}\,}$.

Si las partículas no interactúan, en el sentido de que la energía potencial de cada partícula no depende de ninguna de las otras partículas , entonces la función de partición se factoriza y la probabilidad de una configuración elemental se descompone con argumentos independientes en un producto de probabilidades de partículas individuales, ${\textstyle U_{N}(\mathbf {r} _{1},\dots ,\mathbf {r} _{N})=\sum _{i=1}^{N}U_{1}(\mathbf {r} _{i})}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}Z_{N}&=\prod _{i=1}^{N}\int \mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} _{i}e^{-\beta U_{1}}=Z_{1}^{N}\\P^{(n)}(\mathbf {r} _{1},\dots ,\mathbf {r} _{n})&=P^{(1)}(\mathbf {r} _{1})\cdots P^{(1)}(\mathbf {r} _{n})\end{aligned}}}$$

Nótese cómo para partículas que no interactúan la probabilidad es simétrica en sus argumentos. Esto no es cierto en general, y el orden en el que las posiciones ocupan las ranuras de argumento de importa. Dado un conjunto de posiciones, la forma en que las partículas pueden ocupar esas posiciones es La probabilidad de que esas posiciones ESTÉN ocupadas se encuentra sumando todas las configuraciones en las que una partícula está en cada una de esas ubicaciones. Esto se puede hacer tomando cada permutación , , en el grupo simétrico en objetos, , para escribir . Para menos posiciones, integramos sobre argumentos extraños e incluimos un factor de corrección para evitar el recuento excesivo, Esta cantidad se llama función de densidad de n partículas . Para partículas indistinguibles , uno podría permutar todas las posiciones de partículas, , sin cambiar la probabilidad de una configuración elemental, , de modo que la función de densidad de n partículas se reduce a Integrar la densidad de n partículas da el factor de permutación , contando el número de formas en que uno puede elegir secuencialmente partículas para colocar en las posiciones de las partículas totales. Ahora veamos cómo interpretamos esta función para diferentes valores de . ${\displaystyle P^{(n)}}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N!}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle S_{N}}$ ${\textstyle \sum _{\pi \in S_{N}}P^{(N)}(\mathbf {r} _{\pi (1)},\ldots ,\mathbf {r} _{\pi (N)})}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\rho ^{(n)}(\mathbf {r} _{1},\ldots ,\mathbf {r} _{n})&={\frac {1}{(N-n)!}}\left(\prod _{i=n+1}^{N}\int \mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} _{i}\right)\sum _{\pi \in S_{N}}P^{(N)}(\mathbf {r} _{\pi (1)},\ldots ,\mathbf {r} _{\pi (N)})\\\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle \forall i,\mathbf {r} _{i}\rightarrow \mathbf {r} _{\pi (i)}}$ ${\displaystyle P(\mathbf {r} _{\pi (1)},\dots ,\mathbf {r} _{\pi (N)})=P(\mathbf {r} _{1},\dots ,\mathbf {r} _{N})}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\rho ^{(n)}(\mathbf {r} _{1},\ldots ,\mathbf {r} _{n})&={\frac {N!}{(N-n)!}}P^{(n)}(\mathbf {r} _{1},\ldots ,\mathbf {r} _{n})\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle _{N}P_{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle n}$

Para , tenemos la densidad de una partícula. Para un cristal es una función periódica con máximos agudos en los sitios de la red. Para un gas que no interactúa, es independiente de la posición e igual a la densidad numérica total, , del sistema. Para ver esto primero, observe que en el volumen ocupado por el gas, y 0 en todos los demás lugares. La función de partición en este caso es ${\displaystyle n=1}$ ${\displaystyle \textstyle \mathbf {r} _{1}}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle U_{N}=\infty }$

${\displaystyle Z_{N}=\prod _{i=1}^{N}\int \mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} _{i}\ 1=V^{N}}$

De donde la definición da el resultado deseado

${\displaystyle \rho ^{(1)}(\mathbf {r} )={\frac {N!}{(N-1)!}}{\frac {1}{V^{N}}}\prod _{i=2}^{N}\int \mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} _{i}1={\frac {N}{V}}=\rho .}$

De hecho, para este caso especial, cada densidad de n partículas es independiente de las coordenadas y se puede calcular explícitamente. Para , la densidad de n partículas que no interactúan es aproximadamente . ^[2] Con esto en mano, la función de correlación de n puntos se define factorizando la contribución que no interactúa ^{[ cita requerida ]} , Explícitamente, esta definición se lee donde está claro que la función de correlación de n puntos es adimensional. $${\displaystyle {\begin{aligned}\rho ^{(n)}(\mathbf {r} _{1},\dots ,\mathbf {r} _{n})&={\frac {N!}{(N-n)!}}{\frac {1}{V^{N}}}\prod _{i=n+1}^{N}\int \mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} _{i}1\\&={\frac {N!}{(N-n)!}}{\frac {1}{V^{n}}}\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle N\gg n}$ ${\displaystyle \rho _{\text{non-interacting}}^{(n)}(\mathbf {r} _{1},\dots ,\mathbf {r} _{N})=\left(1-n(n-1)/2N+\cdots \right)\rho ^{n}\approx \rho ^{n}}$ ${\displaystyle g^{(n)}}$ $${\displaystyle \rho ^{(n)}(\mathbf {r} _{1},\ldots ,\,\mathbf {r} _{n})=\rho _{\text{non-interacting}}^{(n)}g^{(n)}(\mathbf {r} _{1}\,\ldots ,\,\mathbf {r} _{n})}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}g^{(n)}(\mathbf {r} _{1},\ldots ,\,\mathbf {r} _{n})&={\frac {V^{N}}{N!}}\left(\prod _{i=n+1}^{N}{\frac {1}{V}}\!\!\int \!\!\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} _{i}\right){\frac {1}{Z_{N}}}\sum _{\pi \in S_{N}}e^{-\beta U(\mathbf {r} _{\pi (1)},\ldots ,\,\mathbf {r} _{\pi (N)})}\end{aligned}}}$$

Relaciones que involucrangramo(a)

Factor de estructura

La función de correlación de segundo orden es de especial importancia, ya que está directamente relacionada (a través de una transformada de Fourier ) con el factor de estructura del sistema y, por lo tanto, puede determinarse experimentalmente utilizando difracción de rayos X o difracción de neutrones . ^[3] ${\displaystyle g^{(2)}(\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2})}$

Si el sistema está formado por partículas esféricamente simétricas, depende únicamente de la distancia relativa entre ellas, . Eliminaremos el subíndice y el superíndice: . Tomando la partícula 0 como fija en el origen de las coordenadas, es el número medio de partículas (entre las restantes ) que se encuentran en el volumen alrededor de la posición . ${\displaystyle g^{(2)}(\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2})}$ ${\displaystyle \mathbf {r} _{12}=\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}}$ ${\displaystyle \textstyle g(\mathbf {r} )\equiv g^{(2)}(\mathbf {r} _{12})}$ ${\displaystyle \textstyle \rho g(\mathbf {r} )d^{3}r=\mathrm {d} n(\mathbf {r} )}$ ${\displaystyle N-1}$ ${\displaystyle \textstyle d^{3}r}$ ${\displaystyle \textstyle \mathbf {r} }$

Podemos contar formalmente estas partículas y tomar el promedio a través de la expresión , con el promedio del conjunto, obteniendo: ${\displaystyle \textstyle {\frac {\mathrm {d} n(\mathbf {r} )}{d^{3}r}}=\langle \sum _{i\neq 0}\delta (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{i})\rangle }$ ${\displaystyle \textstyle \langle \cdot \rangle }$

donde la segunda igualdad requiere la equivalencia de partículas . La fórmula anterior es útil para relacionarla con el factor de estructura estática , definido por , ya que tenemos: ${\displaystyle \textstyle 1,\,\ldots ,\,N-1}$ ${\displaystyle g(\mathbf {r} )}$ ${\displaystyle S(\mathbf {q} )}$ ${\displaystyle \textstyle S(\mathbf {q} )=\langle \sum _{ij}\mathrm {e} ^{-i\mathbf {q} (\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} _{j})}\rangle /N}$

${\displaystyle {\begin{aligned}S(\mathbf {q} )&=1+{\frac {1}{N}}\langle \sum _{i\neq j}\mathrm {e} ^{-i\mathbf {q} (\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} _{j})}\rangle =1+{\frac {1}{N}}\left\langle \int _{V}\mathrm {d} \mathbf {r} \,\mathrm {e} ^{-i\mathbf {q} \mathbf {r} }\sum _{i\neq j}\delta \left[\mathbf {r} -(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} _{j})\right]\right\rangle \\&=1+{\frac {N(N-1)}{N}}\int _{V}\mathrm {d} \mathbf {r} \,\mathrm {e} ^{-i\mathbf {q} \mathbf {r} }\left\langle \delta (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{1})\right\rangle ,\end{aligned}}}$

y por lo tanto:

${\displaystyle S(\mathbf {q} )=1+\rho \int _{V}\mathrm {d} \mathbf {r} \,\mathrm {e} ^{-i\mathbf {q} \mathbf {r} }g(\mathbf {r} )}$, demostrando la relación de Fourier a la que se hizo alusión anteriormente.

Esta ecuación sólo es válida en el sentido de distribuciones , ya que no está normalizada: , por lo que diverge con el volumen , lo que conduce a un pico de Dirac en el origen para el factor de estructura. Como esta contribución es inaccesible experimentalmente, podemos restarla de la ecuación anterior y redefinir el factor de estructura como una función regular: ${\displaystyle g(\mathbf {r} )}$ ${\displaystyle \textstyle \lim _{r\rightarrow \infty }g(\mathbf {r} )=1}$ ${\displaystyle \textstyle \int _{V}\mathrm {d} \mathbf {r} g(\mathbf {r} )}$ ${\displaystyle V}$

${\displaystyle S'(\mathbf {q} )=S(\mathbf {q} )-\rho \delta (\mathbf {q} )=1+\rho \int _{V}\mathrm {d} \mathbf {r} \,\mathrm {e} ^{-i\mathbf {q} \mathbf {r} }[g(\mathbf {r} )-1]}$.

Por último, renombramos y, si el sistema es un líquido, podemos invocar su isotropía: ${\displaystyle S(\mathbf {q} )\equiv S'(\mathbf {q} )}$

Ecuación de compresibilidad

Al evaluar ( 6 ) y utilizar la relación entre la compresibilidad isotérmica y el factor de estructura en el origen, se obtiene la ecuación de compresibilidad : ${\displaystyle q=0}$ ${\displaystyle \textstyle \chi _{T}}$

Potencial de fuerza media

Se puede demostrar ^[4] que la función de distribución radial está relacionada con el potencial de dos partículas de fuerza media mediante: ${\displaystyle w^{(2)}(r)}$

En el límite diluido, el potencial de fuerza media es el potencial de par exacto bajo el cual la configuración del punto de equilibrio tiene un valor dado . ${\displaystyle g(r)}$

Ecuación de energía

Si las partículas interactúan a través de potenciales idénticos por pares: , la energía interna promedio por partícula es: ^{[5] : Sección 2.5} ${\displaystyle \textstyle U_{N}=\sum _{i>j=1}^{N}u(\left|\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} _{j}\right|)}$

Ecuación de estado de presión

Desarrollando la ecuación virial se obtiene la ecuación de estado de presión:

Propiedades termodinámicas en 3D

La función de distribución radial es una medida importante porque a partir de ella se pueden calcular varias propiedades termodinámicas clave, como la energía potencial y la presión.

Para un sistema 3-D donde las partículas interactúan a través de potenciales por pares, la energía potencial del sistema se puede calcular de la siguiente manera: ^[6]

${\displaystyle PE={\frac {N}{2}}4\pi \rho \int _{0}^{\infty }r^{2}u(r)g(r)dr,}$

donde N es el número de partículas en el sistema, es la densidad numérica, es el potencial de par . ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle u(r)}$

La presión del sistema también se puede calcular relacionando el segundo coeficiente virial con . La presión se puede calcular de la siguiente manera: ^[6] ${\displaystyle g(r)}$

${\displaystyle P=\rho kT-{\frac {2}{3}}\pi \rho ^{2}\int _{0}^{\infty }dr{\frac {du(r)}{dr}}r^{3}g(r)}$.

Tenga en cuenta que los resultados de la energía potencial y la presión no serán tan precisos como el cálculo directo de estas propiedades debido al promedio involucrado en el cálculo de . ${\displaystyle g(r)}$

Aproximaciones

Para sistemas diluidos (por ejemplo, gases), las correlaciones en las posiciones de las partículas que se tienen en cuenta se deben únicamente al potencial generado por la partícula de referencia, sin tener en cuenta los efectos indirectos. En una primera aproximación, se obtiene simplemente mediante la ley de distribución de Boltzmann: ${\displaystyle g(r)}$ ${\displaystyle u(r)}$

Si fuera cero para todos , es decir, si las partículas no ejercieran ninguna influencia entre sí, entonces para todos y la densidad local media sería igual a la densidad media : la presencia de una partícula en O no influiría en la distribución de partículas a su alrededor y el gas sería ideal. Para distancias tales que sea significativo, la densidad local media diferirá de la densidad media , dependiendo del signo de (más alto para energía de interacción negativa y más bajo para positiva ). ${\displaystyle u(r)}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle g(r)=1}$ ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle u(r)}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle u(r)}$ ${\displaystyle u(r)}$

A medida que aumenta la densidad del gas, el límite de baja densidad se vuelve cada vez menos preciso, ya que una partícula situada en experimenta no solo la interacción con la partícula en O sino también con los otros vecinos, a su vez influenciados por la partícula de referencia. Esta interacción mediada aumenta con la densidad, ya que hay más vecinos con los que interactuar: tiene sentido físico escribir una expansión de densidad de , que se asemeja a la ecuación del virial : ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle g(r)}$

Esta similitud no es accidental; de hecho, sustituyendo ( 12 ) en las relaciones anteriores por los parámetros termodinámicos (Ecuaciones 7 , 9 y 10 ) se obtienen las expansiones viriales correspondientes. ^[7] La ​​función auxiliar se conoce como función de distribución de cavidad . ^{[5] : Tabla 4.1} Se ha demostrado que para fluidos clásicos a una densidad fija y una temperatura positiva fija, el potencial de par efectivo que genera un bajo equilibrio dado es único hasta una constante aditiva, si existe. ^[8] ${\displaystyle y(r)}$ ${\displaystyle g(r)}$

En los últimos años, se ha prestado cierta atención al desarrollo de funciones de correlación de pares para datos espacialmente discretos, como redes o celosías. ^[9]

Experimental

Se puede determinar indirectamente (a través de su relación con el factor de estructura ) utilizando datos de dispersión de neutrones o de dispersión de rayos X. La técnica se puede utilizar en escalas de longitud muy cortas (hasta el nivel atómico ^[10] ), pero implica un promedio significativo de espacio y tiempo (sobre el tamaño de la muestra y el tiempo de adquisición, respectivamente). De esta manera, la función de distribución radial se ha determinado para una amplia variedad de sistemas, que van desde metales líquidos ^[11] hasta coloides cargados ^[12] . Pasar del experimental al no es sencillo y el análisis puede ser bastante complejo ^[13] . ${\displaystyle g(r)}$ ${\displaystyle S(q)}$ ${\displaystyle S(q)}$ ${\displaystyle g(r)}$

También es posible calcular directamente extrayendo posiciones de partículas de microscopía tradicional o confocal. ^[14] Esta técnica está limitada a partículas lo suficientemente grandes para la detección óptica (en el rango micrométrico), pero tiene la ventaja de estar resuelta en el tiempo de modo que, además de la información estática, también da acceso a parámetros dinámicos (por ejemplo, constantes de difusión ^[15] ) y también resuelta en el espacio (hasta el nivel de la partícula individual), lo que le permite revelar la morfología y dinámica de estructuras locales en cristales coloidales, ^[16] vidrios, ^{[17] [18]} geles, ^{[19] [20]} e interacciones hidrodinámicas. ^[21] ${\displaystyle g(r)}$

La visualización directa de una función de correlación de pares completa (dependiente de la distancia y del ángulo) se logró mediante una microscopía de efecto túnel de barrido en el caso de gases moleculares 2D. ^[22]

Funciones de correlación de orden superior

Se ha observado que las funciones de distribución radial por sí solas no son suficientes para caracterizar la información estructural. Procesos puntuales distintos pueden poseer funciones de distribución radial idénticas o prácticamente indistinguibles, lo que se conoce como el problema de la degeneración. ^{[23] [24]} En tales casos, se necesitan funciones de correlación de orden superior para describir mejor la estructura.

Las funciones de distribución de orden superior han sido menos estudiadas, ya que son generalmente menos importantes para la termodinámica del sistema; al mismo tiempo, no son accesibles mediante técnicas de dispersión convencionales. Sin embargo, pueden medirse mediante dispersión coherente de rayos X y son interesantes en la medida en que pueden revelar simetrías locales en sistemas desordenados. ^[25] ${\displaystyle \textstyle g^{(k)}}$ ${\displaystyle \textstyle k>2}$

Véase también

• Ecuación de Ornstein-Zernike
• Factor de estructura

Referencias

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