Aproximación de Percus-Yevick

En mecánica estadística, la aproximación de Percus-Yevick ^[1] es una relación de cierre para resolver la ecuación de Ornstein-Zernike . También se la conoce como ecuación de Percus-Yevick . Se utiliza comúnmente en teoría de fluidos para obtener, por ejemplo, expresiones para la función de distribución radial . La aproximación lleva el nombre de Jerome K. Percus y George J. Yevick.

Derivación

La función de correlación directa representa la correlación directa entre dos partículas en un sistema que contiene N  - 2 otras partículas. Se puede representar por

${\displaystyle c(r)=g_{\rm {total}}(r)-g_{\rm {indirect}}(r)\,}$

donde es la función de distribución radial , es decir (con w ( r ) el potencial de fuerza media ) y es la función de distribución radial sin la interacción directa entre pares incluida; es decir, escribimos . Así aproximamos c ( r ) por ${\displaystyle g_{\rm {total}}(r)}$ ${\displaystyle g(r)=\exp[-\beta w(r)]}$ ${\displaystyle g_{\rm {indirect}}(r)}$ ${\displaystyle u(r)}$ ${\displaystyle g_{\rm {indirect}}(r)=\exp[-\beta (w(r)-u(r))]}$

${\displaystyle c(r)=e^{-\beta w(r)}-e^{-\beta [w(r)-u(r)]}.\,}$

Si introducimos la función en la aproximación para c ( r ) se obtiene ${\displaystyle y(r)=e^{\beta u(r)}g(r)}$

${\displaystyle c(r)=g(r)-y(r)=e^{-\beta u}y(r)-y(r)=f(r)y(r).\,}$

Esta es la esencia de la aproximación de Percus-Yevick, ya que si sustituimos este resultado en la ecuación de Ornstein-Zernike , se obtiene la ecuación de Percus-Yevick :

${\displaystyle y(r_{12})=1+\rho \int f(r_{13})y(r_{13})h(r_{23})d\mathbf {r_{3}} .\,}$

La aproximación fue definida por Percus y Yevick en 1958.

Esferas duras

Factor de estructura estática del líquido de esferas duras en aproximación de Percus-Yevick en tres relaciones de empaquetamiento diferentes.

Para esferas duras , el potencial u(r) es cero o infinito y, por tanto, el factor de Boltzmann es uno o cero, independientemente de la temperatura T. Por lo tanto, la estructura de un fluido de esferas duras es independiente de la temperatura. Esto deja solo dos parámetros: el radio del núcleo duro R (que puede eliminarse reescalando las distancias o los números de onda) y la fracción de empaquetamiento η (que tiene un valor máximo de 0,64 para un empaque cerrado aleatorio ). ${\displaystyle {\text{e}}^{-u/k_{\text{B}}T}}$

En estas condiciones, la ecuación de Percus-Yevick tiene una solución analítica, obtenida por Wertheim en 1963. ^{[2] [3] [4]}

Solución como código C

El factor de estructura estática del fluido de esferas duras en la aproximación de Percus-Yevick se puede calcular utilizando la siguiente función C:

doble py ( doble qr , doble eta ) { const doble a = pow ( 1 + 2 * eta , 2 ) / pow ( 1 - eta , 4 ); const doble b = -6 * eta * pow ( 1 + eta / 2 , 2 ) / pow ( 1 - eta , 4 ); const doble c = eta / 2 * pow ( 1 + 2 * eta , 2 ) / pow ( 1 - eta , 4 ); constante doble A = 2 * qr ; constante doble A2 = A * A ; const doble G = a / A2 * ( pecado ( A ) - A * cos ( A )) + b / A / A2 * ( 2 * A * pecado ( A ) + ( 2 - A2 ) * cos ( A ) -2 ) + c / pow ( A , 5 ) * ( - pow ( A , 4 ) * cos ( A ) + 4 * (( 3 * A2 -6 ) * cos ( A ) + A * ( A2 -6 ) * pecado ( UN ) + 6 ));                                             devolver 1 / ( 1 + 24 * eta * G / A ); } 

Esferas duras en flujo cortante.

Para esferas duras en flujo cortante , la función u(r) surge de la solución de la ecuación de convección-difusión de Smoluchowski de dos cuerpos en estado estacionario o la ecuación de Smoluchowski de dos cuerpos con flujo cortante. Se encontró una solución analítica aproximada a la ecuación de convección-difusión de Smoluchowski utilizando el método de expansiones asintóticas emparejadas de Banetta y Zaccone en la Ref. ^[5]

Esta solución analítica luego se puede utilizar junto con la aproximación de Percus-Yevick en la ecuación de Ornstein-Zernike . Se pueden obtener soluciones aproximadas para la función de distribución de pares en los sectores de extensión y compresión del flujo de corte y, por lo tanto, la función de distribución radial promediada angularmente , como se muestra en la referencia ^[6] , que concuerdan bien sin parámetros con los datos numéricos hasta para envasar fracciones . ${\displaystyle \eta \approx 0.5}$

Ver también

• Ecuación en cadena hipernetizada : otra relación de cierre
• Ecuación de Ornstein-Zernike

Referencias

1. Percus, Jerome K. y Yevick, George J. Análisis de la mecánica estadística clásica mediante coordenadas colectivas. Física. Rev. 1958, 110, 1, doi :10.1103/PhysRev.110.1
2. Wertheim, MS Solución exacta de la ecuación integral de Percus-Yevick para esferas duras. Física. Rev. Lett. 1963, 10, 321-323, doi :10.1103/PhysRevLett.10.321
3. Para obtener un resumen compacto de la solución, consulte, por ejemplo, Kinning & Thomas, Macromolecules 17, 1712-1718 (1984).
4. Para obtener un resumen en línea, consulte http://www.sklogwiki.org/SklogWiki/index.php/Exact_solution_of_the_Percus_Yevick_integral_equation_for_hard_spheres.
5. Banetta, L. y Zaccone, A. Función de distribución radial de fluidos Lennard-Jones en flujos cortantes de asintóticos intermedios. Física. Rev. E 2019, 99, 052606, doi :10.1103/PhysRevE.99.052606
6. Banetta, L. et al., Teoría microscópica para la función de correlación de pares de suspensiones coloidales similares a líquidos bajo flujo cortante. Física. Rev.E 2022, 106, 044610, doi :10.1103/PhysRevE.106.044610