Función de correlación (teoría cuántica de campos)

Expectation value of time-ordered quantum operators

En la teoría cuántica de campos , las funciones de correlación , a menudo denominadas correladores o funciones de Green , son valores esperados en el vacío de productos ordenados en el tiempo de operadores de campo. Son un objeto de estudio clave en la teoría cuántica de campos, donde se pueden utilizar para calcular varios observables , como los elementos de la matriz S. Están estrechamente relacionadas con las funciones de correlación entre variables aleatorias , aunque no por ello dejan de ser objetos diferentes, ya que se definen en el espacio-tiempo de Minkowski y en los operadores cuánticos.

Definición

Para una teoría de campo escalar con un solo campo y un estado de vacío en cada evento (x) en el espacio-tiempo, la función de correlación de n puntos es el valor esperado de vacío de los productos ordenados en el tiempo de los operadores de campo en la imagen de Heisenberg. ${\displaystyle \phi (x)}$ ${\displaystyle |\Omega \rangle }$ ${\displaystyle n}$ $${\displaystyle G_{n}(x_{1},\dots ,x_{n})=\langle \Omega |T\{{\mathcal {\phi }}(x_{1})\dots {\mathcal {\phi }}(x_{n})\}|\Omega \rangle .}$$

Aquí está el operador de ordenación temporal para el cual ordena los operadores de campo de modo que los operadores de campo de tiempo anteriores aparezcan a la derecha de los operadores de campo de tiempo posteriores. Al transformar los campos y estados en la imagen de interacción , esto se reescribe como ^[1] donde es el estado fundamental de la teoría libre y es la acción . Expandiendo usando su serie de Taylor , la función de correlación de n puntos se convierte en una suma de funciones de correlación de imagen de interacción que se pueden evaluar usando el teorema de Wick . Una forma diagramática de representar la suma resultante es a través de diagramas de Feynman , donde cada término se puede evaluar usando las reglas de Feynman del espacio de posición. ${\displaystyle T\{\cdots \}}$ $${\displaystyle G_{n}(x_{1},\dots ,x_{n})={\frac {\langle 0|T\{\phi (x_{1})\dots \phi (x_{n})e^{iS[\phi ]}\}|0\rangle }{\langle 0|e^{iS[\phi ]}|0\rangle }},}$$ ${\displaystyle |0\rangle }$ ${\displaystyle S[\phi ]}$ ${\displaystyle e^{iS[\phi ]}}$

La serie de diagramas resultantes es el conjunto de todos los diagramas de burbujas de vacío , que son diagramas sin patas externas. Mientras tanto, está dada por el conjunto de todos los diagramas posibles con patas exactamente externas. Como esto también incluye diagramas desconectados con burbujas de vacío, la suma se factoriza en ${\displaystyle \langle 0|e^{iS[\phi ]}|0\rangle }$ ${\displaystyle \langle 0|\phi (x_{1})\dots \phi (x_{n})e^{iS[\phi ]}|0\rangle }$ ${\displaystyle n}$

(suma de todos los diagramas de burbujas) (suma de todos los diagramas sin burbujas). ${\displaystyle \times }$

El primer término se cancela entonces con el factor de normalización en el denominador, lo que significa que la función de correlación de n puntos es la suma de todos los diagramas de Feynman, excluidas las burbujas de vacío.

$${\displaystyle G_{n}(x_{1},\dots ,x_{n})=\langle 0|T\{\phi (x_{1})\dots \phi (x_{n})e^{iS[\phi ]}\}|0\rangle _{\text{no bubbles}}.}$$

Si bien no se incluyen burbujas de vacío, la suma incluye diagramas desconectados, que son diagramas en los que al menos una rama externa no está conectada a todas las demás ramas externas a través de algún camino conectado. La exclusión de estos diagramas desconectados define funciones de correlación de n puntos conectadas $${\displaystyle G_{n}^{c}(x_{1},\dots ,x_{n})=\langle 0|T\{\phi (x_{1})\dots \phi (x_{n})e^{iS[\phi ]}\}|0\rangle _{\text{connected, no bubbles}}}$$

A menudo es preferible trabajar directamente con estos, ya que contienen toda la información que contienen las funciones de correlación completas, ya que cualquier diagrama desconectado es simplemente un producto de diagramas conectados. Al excluir otros conjuntos de diagramas, se pueden definir otras funciones de correlación, como las funciones de correlación irreducibles de una partícula .

En la formulación de la integral de trayectoria , las funciones de correlación de n puntos se escriben como un promedio funcional. $${\displaystyle G_{n}(x_{1},\dots ,x_{n})={\frac {\int {\mathcal {D}}\phi \ \phi (x_{1})\dots \phi (x_{n})e^{iS[\phi ]}}{\int {\mathcal {D}}\phi \ e^{iS[\phi ]}}}.}$$

Se pueden evaluar utilizando la función de partición que actúa como una función generadora , siendo un término fuente, para las funciones de correlación. ${\displaystyle Z[J]}$ ${\displaystyle J}$ $${\displaystyle G_{n}(x_{1},\dots ,x_{n})=(-i)^{n}{\frac {1}{Z[J]}}\left.{\frac {\delta ^{n}Z[J]}{\delta J(x_{1})\dots \delta J(x_{n})}}\right|_{J=0}.}$$

De manera similar, se pueden generar funciones de correlación conectadas utilizando ^{[nota 1]} como ${\displaystyle W[J]=-i\ln Z[J]}$ $${\displaystyle G_{n}^{c}(x_{1},\dots ,x_{n})=(-i)^{n-1}\left.{\frac {\delta ^{n}W[J]}{\delta J(x_{1})\dots \delta J(x_{n})}}\right|_{J=0}.}$$

Relación con elS-matriz

Las amplitudes de dispersión se pueden calcular utilizando funciones de correlación relacionándolas con la matriz S a través de la fórmula de reducción LSZ. $${\displaystyle \langle f|S|i\rangle =\left[i\int d^{4}x_{1}e^{-ip_{1}x_{1}}\left(\partial _{x_{1}}^{2}+m^{2}\right)\right]\cdots \left[i\int d^{4}x_{n}e^{ip_{n}x_{n}}\left(\partial _{x_{n}}^{2}+m^{2}\right)\right]\langle \Omega |T\{\phi (x_{1})\dots \phi (x_{n})\}|\Omega \rangle .}$$

Aquí las partículas en el estado inicial tienen un signo en la exponencial, mientras que las partículas en el estado final tienen un . Todos los términos en la expansión del diagrama de Feynman de la función de correlación tendrán un propagador para cada rama externa, es decir, propagadores con un extremo en y el otro en algún vértice interno . La importancia de esta fórmula se vuelve clara después de la aplicación de los operadores de Klein-Gordon a estas ramas externas utilizando ${\displaystyle |i\rangle }$ ${\displaystyle -i}$ ${\displaystyle |f\rangle }$ ${\displaystyle +i}$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle x}$ $${\displaystyle \left(\partial _{x_{i}}^{2}+m^{2}\right)\Delta _{F}(x_{i},x)=-i\delta ^{4}(x_{i}-x).}$$

Se dice que esto amputa los diagramas eliminando los propagadores de las patas externas y colocando los estados externos en la capa . Todas las demás contribuciones fuera de la capa de la función de correlación desaparecen. Después de integrar las funciones delta resultantes, lo que quedará de la fórmula de reducción LSZ es simplemente una operación de transformación de Fourier donde la integración se realiza sobre las posiciones de los puntos internos a los que se adjuntaron los propagadores de las patas externas. En esta forma, la fórmula de reducción muestra que la matriz S es la transformada de Fourier de las funciones de correlación amputadas con estados externos en la capa. ${\displaystyle x}$

Es habitual tratar directamente con la función de correlación del espacio de momento , definida a través de la transformación de Fourier de la función de correlación ^[2], donde por convención los momentos se dirigen hacia el interior del diagrama. Una cantidad útil para calcular al calcular amplitudes de dispersión es el elemento de matriz que se define a partir de la matriz S mediante donde son los momentos externos. De la fórmula de reducción LSZ se deduce que el elemento de matriz es equivalente a la función de correlación del espacio de momento conectado amputado con momentos externos orientados correctamente ^[3]. ${\displaystyle {\tilde {G}}(q_{1},\dots ,q_{n})}$ $${\displaystyle (2\pi )^{4}\delta ^{(4)}(q_{1}+\cdots +q_{n}){\tilde {G}}_{n}(q_{1},\dots ,q_{n})=\int d^{4}x_{1}\dots d^{4}x_{n}\left(\prod _{i=1}^{n}e^{-iq_{i}x_{i}}\right)G_{n}(x_{1},\dots ,x_{n}),}$$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ $${\displaystyle \langle f|S-1|i\rangle =i(2\pi )^{4}\delta ^{4}{{\bigg (}\sum _{i}p_{i}{\bigg )}}{\mathcal {M}}}$$ ${\displaystyle p_{i}}$ $${\displaystyle i{\mathcal {M}}={\tilde {G}}_{n}^{c}(p_{1},\dots ,-p_{n})_{\text{amputated}}.}$$

Para las teorías no escalares, la fórmula de reducción también introduce términos de estado externo, como vectores de polarización para fotones o estados de espinor para fermiones. El requisito de utilizar las funciones de correlación conectadas surge de la descomposición en grupos porque los procesos de dispersión que ocurren a grandes separaciones no interfieren entre sí, por lo que pueden tratarse por separado. ^[4]

Véase también

• Acción eficaz
• Función de Green (teoría de muchos cuerpos)
• Función de partición (matemáticas)
• Campo fuente

Notas

1. El factor en la definición de es una cuestión de convención, y la suma de todos los diagramas de Feynman conectados viene dada por . ${\displaystyle -i}$ ${\displaystyle W[J]}$ ${\displaystyle W'[J]=iW[J]}$

Referencias

1. Schwartz, MD "7". Teoría cuántica de campos y el modelo estándar . Cambridge University Press. ISBN 9781107034730.
2. Năstase, H. (2019). "9". Introducción a la teoría cuántica de campos . Cambridge University Press. pág. 79. ISBN 978-1108493994.
3. Mandl, F.; Shaw, G. (2010). "12". Teoría cuántica de campos (2.ª ed.). John Wiley & Sons. pág. 254. ISBN 9780471496847.
4. Weinberg, S. (1995). "6". La teoría cuántica de campos: fundamentos . Vol. 1. Cambridge University Press. pág. 270. ISBN 9780521670531.

Lectura adicional

• Altland, A.; Simons, B. (2006). Teoría de campos de materia condensada . Cambridge University Press .
• Peskin, M.; Schroeder, DV (2018) Introducción a la teoría cuántica de campos . Addison-Wesley .