En física, un campo libre es un campo sin interacciones , que se describe mediante los términos de movimiento y masa.
En física clásica , un campo libre es un campo cuyas ecuaciones de movimiento están dadas por ecuaciones diferenciales parciales lineales . Estas EDP lineales tienen una solución única para una condición inicial dada.
En la teoría cuántica de campos , una distribución con valores de operador es un campo libre si satisface algunas ecuaciones diferenciales parciales lineales tales que el caso correspondiente de las mismas EDP lineales para un campo clásico (es decir, no un operador) sería la ecuación de Euler-Lagrange para algún lagrangiano cuadrático . Podemos diferenciar distribuciones definiendo sus derivadas a través de funciones de prueba diferenciadas . Consulte la distribución de Schwartz para más detalles. Dado que no estamos tratando con distribuciones ordinarias sino con distribuciones con valores de operador, se entiende que estas EDP no son restricciones sobre los estados sino una descripción de las relaciones entre los campos difusos. Además de las EDP, los operadores también satisfacen otra relación, las relaciones de conmutación/anticonmutación.
Básicamente, el conmutador (para bosones )/ anticonmutador (para fermiones ) de dos campos difusos es i veces el corchete de Peierls del campo consigo mismo (que es realmente una distribución, no una función) para las EDP difusas sobre ambas funciones de prueba. Esto tiene la forma de un álgebra CCR/CAR .
Las álgebras CCR/CAR con infinitos grados de libertad tienen muchas representaciones unitarias irreducibles no equivalentes. Si la teoría se define sobre el espacio de Minkowski , podemos elegir la representación irreducible unitaria que contenga un estado de vacío , aunque eso no siempre es necesario.
Sea φ una distribución valorada por operador y la EDP (Klein-Gordon) sea
Este es un campo bosónico. Llamemos Δ a la distribución dada por el corchete de Peierls .
Entonces,
donde aquí, φ es un campo clásico y {,} es el corchete de Peierls.
Entonces, la relación de conmutación canónica es
Tenga en cuenta que Δ es una distribución sobre dos argumentos y, por lo tanto, también puede estar difuminada.
De manera equivalente, podríamos haber insistido en que
donde es el operador de ordenamiento temporal y que si los soportes de f y g están separados espacialmente,
![{\displaystyle [\phi [f],\phi [g]]=i\Delta [f,g]\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e0f9297fe8d6d53461b570599cbcc7891908537)
![{\displaystyle {\mathcal {T}}\{[((\partial ^{\mu }\partial _{\mu }+m^{2})\phi )[f],\phi [g]]\}=-i\int d^{d}xf(x)g(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51848760784065569b2062c0879950a27fcfbc43)
![{\displaystyle [\phi [f],\phi [g]]=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6605eb8bee06db5e4bc1d0f9e20003a50fc5da41)