Teorema de Wick

Teorema para reducir derivadas de orden superior

El teorema de Wick es un método para reducir derivadas de orden superior a un problema combinatorio . ^[1] Recibe su nombre en honor al físico italiano Gian-Carlo Wick . ^[2] Se utiliza ampliamente en la teoría cuántica de campos para reducir productos arbitrarios de operadores de creación y aniquilación a sumas de productos de pares de estos operadores. Esto permite el uso de los métodos de la función de Green y, en consecuencia, el uso de diagramas de Feynman en el campo en estudio. Una idea más general en la teoría de la probabilidad es el teorema de Isserlis .

En la teoría cuántica de campos perturbativa, el teorema de Wick se utiliza para reescribir rápidamente cada sumando ordenado en el tiempo en la serie de Dyson como una suma de términos ordenados normales . En el límite de estados entrantes y salientes asintóticamente libres, estos términos corresponden a los diagramas de Feynman .

Definición de contracción

Para dos operadores y definimos su contracción como ${\displaystyle {\hat {A}}}$ ${\displaystyle {\hat {B}}}$

${\displaystyle {\hat {A}}^{\bullet }\,{\hat {B}}^{\bullet }\equiv {\hat {A}}\,{\hat {B}}\,-{\mathopen {:}}{\hat {A}}\,{\hat {B}}{\mathclose {:}}}$

donde denota el orden normal de un operador . Alternativamente, las contracciones pueden denotarse mediante una línea que une y , como . ${\displaystyle {\mathopen {:}}{\hat {O}}{\mathclose {:}}}$ ${\displaystyle {\hat {O}}}$ ${\displaystyle {\hat {A}}}$ ${\displaystyle {\hat {B}}}$ ${\displaystyle {\overset {\sqcap }{{\hat {A}}{\hat {B}}}}}$

Analizaremos en detalle cuatro casos especiales donde y son iguales a los operadores de creación y aniquilación. Para las partículas, denotaremos los operadores de creación por y los operadores de aniquilación por . Satisfacen las relaciones de conmutación para los operadores bosónicos , o las relaciones de anticonmutación para los operadores fermiónicos donde denota el delta de Kronecker y denota el operador identidad. ${\displaystyle {\hat {A}}}$ ${\displaystyle {\hat {B}}}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle {\hat {a}}_{i}^{\dagger }}$ ${\displaystyle {\hat {a}}_{i}}$ ${\displaystyle (i=1,2,3,\ldots ,N)}$ ${\displaystyle [{\hat {a}}_{i},{\hat {a}}_{j}^{\dagger }]=\delta _{ij}{\hat {\mathbf {1} }}}$ ${\displaystyle \{{\hat {a}}_{i},{\hat {a}}_{j}^{\dagger }\}=\delta _{ij}{\hat {\mathbf {1} }}}$ ${\displaystyle \delta _{ij}}$ ${\displaystyle {\hat {\mathbf {1} }}}$

Entonces tenemos

${\displaystyle {\hat {a}}_{i}^{\bullet }\,{\hat {a}}_{j}^{\bullet }={\hat {a}}_{i}\,{\hat {a}}_{j}\,-{\mathopen {:}}\,{\hat {a}}_{i}\,{\hat {a}}_{j}\,{\mathclose {:}}\,=0}$

${\displaystyle {\hat {a}}_{i}^{\dagger \bullet }\,{\hat {a}}_{j}^{\dagger \bullet }={\hat {a}}_{i}^{\dagger }\,{\hat {a}}_{j}^{\dagger }\,-\,{\mathopen {:}}{\hat {a}}_{i}^{\dagger }\,{\hat {a}}_{j}^{\dagger }\,{\mathclose {:}}\,=0}$

${\displaystyle {\hat {a}}_{i}^{\dagger \bullet }\,{\hat {a}}_{j}^{\bullet }={\hat {a}}_{i}^{\dagger }\,{\hat {a}}_{j}\,-{\mathopen {:}}\,{\hat {a}}_{i}^{\dagger }\,{\hat {a}}_{j}\,{\mathclose {:}}\,=0}$

${\displaystyle {\hat {a}}_{i}^{\bullet }\,{\hat {a}}_{j}^{\dagger \bullet }={\hat {a}}_{i}\,{\hat {a}}_{j}^{\dagger }\,-{\mathopen {:}}\,{\hat {a}}_{i}\,{\hat {a}}_{j}^{\dagger }\,{\mathclose {:}}\,=\delta _{ij}{\hat {\mathbf {1} }}}$

dónde . ${\displaystyle i,j=1,\ldots ,N}$

Estas relaciones son válidas para los operadores bosónicos o los operadores fermiónicos debido a la forma en que se define el ordenamiento normal.

Ejemplos

Podemos utilizar contracciones y ordenamiento normal para expresar cualquier producto de operadores de creación y aniquilación como una suma de términos ordenados de manera normal. Esta es la base del teorema de Wick. Antes de enunciar el teorema en su totalidad, veremos algunos ejemplos.

Supongamos que y son operadores bosónicos que satisfacen las relaciones de conmutación : ${\displaystyle {\hat {a}}_{i}}$ ${\displaystyle {\hat {a}}_{i}^{\dagger }}$

${\displaystyle \left[{\hat {a}}_{i}^{\dagger },{\hat {a}}_{j}^{\dagger }\right]=0}$

${\displaystyle \left[{\hat {a}}_{i},{\hat {a}}_{j}\right]=0}$

${\displaystyle \left[{\hat {a}}_{i},{\hat {a}}_{j}^{\dagger }\right]=\delta _{ij}{\hat {\mathbf {1} }}}$

donde , denota el conmutador , y es el delta de Kronecker. ${\displaystyle i,j=1,\ldots ,N}$ ${\displaystyle \left[{\hat {A}},{\hat {B}}\right]\equiv {\hat {A}}{\hat {B}}-{\hat {B}}{\hat {A}}}$ ${\displaystyle \delta _{ij}}$

Podemos utilizar estas relaciones y la definición de contracción anterior para expresar productos de y de otras maneras. ${\displaystyle {\hat {a}}_{i}}$ ${\displaystyle {\hat {a}}_{i}^{\dagger }}$

Ejemplo 1

${\displaystyle {\hat {a}}_{i}\,{\hat {a}}_{j}^{\dagger }={\hat {a}}_{j}^{\dagger }\,{\hat {a}}_{i}+\delta _{ij}={\hat {a}}_{j}^{\dagger }\,{\hat {a}}_{i}+{\hat {a}}_{i}^{\bullet }\,{\hat {a}}_{j}^{\dagger \bullet }=\,{\mathopen {:}}\,{\hat {a}}_{i}\,{\hat {a}}_{j}^{\dagger }\,{\mathclose {:}}+{\hat {a}}_{i}^{\bullet }\,{\hat {a}}_{j}^{\dagger \bullet }}$

Tenga en cuenta que no lo hemos cambiado , sino que simplemente lo hemos reexpresado en otra forma como ${\displaystyle {\hat {a}}_{i}\,{\hat {a}}_{j}^{\dagger }}$ ${\displaystyle \,{\mathopen {:}}\,{\hat {a}}_{i}\,{\hat {a}}_{j}^{\dagger }\,{\mathclose {:}}+{\hat {a}}_{i}^{\bullet }\,{\hat {a}}_{j}^{\dagger \bullet }}$

Ejemplo 2

${\displaystyle {\hat {a}}_{i}\,{\hat {a}}_{j}^{\dagger }\,{\hat {a}}_{k}=({\hat {a}}_{j}^{\dagger }\,{\hat {a}}_{i}+\delta _{ij}){\hat {a}}_{k}={\hat {a}}_{j}^{\dagger }\,{\hat {a}}_{i}\,{\hat {a}}_{k}+\delta _{ij}{\hat {a}}_{k}={\hat {a}}_{j}^{\dagger }\,{\hat {a}}_{i}\,{\hat {a}}_{k}+{\hat {a}}_{i}^{\bullet }\,{\hat {a}}_{j}^{\dagger \bullet }{\hat {a}}_{k}=\,{\mathopen {:}}\,{\hat {a}}_{i}\,{\hat {a}}_{j}^{\dagger }{\hat {a}}_{k}\,{\mathclose {:}}+{\mathclose {:}}\,{\hat {a}}_{i}^{\bullet }\,{\hat {a}}_{j}^{\dagger \bullet }\,{\hat {a}}_{k}{\mathclose {:}}}$

Ejemplo 3

${\displaystyle {\hat {a}}_{i}\,{\hat {a}}_{j}^{\dagger }\,{\hat {a}}_{k}\,{\hat {a}}_{l}^{\dagger }=({\hat {a}}_{j}^{\dagger }\,{\hat {a}}_{i}+\delta _{ij})({\hat {a}}_{l}^{\dagger }\,{\hat {a}}_{k}+\delta _{kl})}$

${\displaystyle ={\hat {a}}_{j}^{\dagger }\,{\hat {a}}_{i}\,{\hat {a}}_{l}^{\dagger }\,{\hat {a}}_{k}+\delta _{kl}{\hat {a}}_{j}^{\dagger }\,{\hat {a}}_{i}+\delta _{ij}{\hat {a}}_{l}^{\dagger }{\hat {a}}_{k}+\delta _{ij}\delta _{kl}}$

${\displaystyle ={\hat {a}}_{j}^{\dagger }({\hat {a}}_{l}^{\dagger }\,{\hat {a}}_{i}+\delta _{il}){\hat {a}}_{k}+\delta _{kl}{\hat {a}}_{j}^{\dagger }\,{\hat {a}}_{i}+\delta _{ij}{\hat {a}}_{l}^{\dagger }{\hat {a}}_{k}+\delta _{ij}\delta _{kl}}$

${\displaystyle ={\hat {a}}_{j}^{\dagger }{\hat {a}}_{l}^{\dagger }\,{\hat {a}}_{i}{\hat {a}}_{k}+\delta _{il}{\hat {a}}_{j}^{\dagger }\,{\hat {a}}_{k}+\delta _{kl}{\hat {a}}_{j}^{\dagger }\,{\hat {a}}_{i}+\delta _{ij}{\hat {a}}_{l}^{\dagger }{\hat {a}}_{k}+\delta _{ij}\delta _{kl}}$

${\displaystyle =\,{\mathopen {:}}{\hat {a}}_{i}\,{\hat {a}}_{j}^{\dagger }\,{\hat {a}}_{k}\,{\hat {a}}_{l}^{\dagger }\,{\mathclose {:}}+{\mathopen {:}}\,{\hat {a}}_{i}^{\bullet }\,{\hat {a}}_{j}^{\dagger }\,{\hat {a}}_{k}\,{\hat {a}}_{l}^{\dagger \bullet }\,{\mathclose {:}}+{\mathopen {:}}\,{\hat {a}}_{i}\,{\hat {a}}_{j}^{\dagger }\,{\hat {a}}_{k}^{\bullet }\,{\hat {a}}_{l}^{\dagger \bullet }\,{\mathclose {:}}+{\mathopen {:}}\,{\hat {a}}_{i}^{\bullet }\,{\hat {a}}_{j}^{\dagger \bullet }\,{\hat {a}}_{k}\,{\hat {a}}_{l}^{\dagger }\,{\mathclose {:}}+\,{\mathopen {:}}{\hat {a}}_{i}^{\bullet }\,{\hat {a}}_{j}^{\dagger \bullet }\,{\hat {a}}_{k}^{\bullet \bullet }\,{\hat {a}}_{l}^{\dagger \bullet \bullet }{\mathclose {:}}}$

En la última línea hemos utilizado diferentes números de símbolos para denotar diferentes contracciones. Al aplicar repetidamente las relaciones de conmutación, se necesita mucho trabajo para expresarlas en forma de suma de productos normalmente ordenados. Es un cálculo aún más largo para productos más complicados. ${\displaystyle ^{\bullet }}$ ${\displaystyle {\hat {a}}_{i}\,{\hat {a}}_{j}^{\dagger }\,{\hat {a}}_{k}\,{\hat {a}}_{l}^{\dagger }}$

Afortunadamente, el teorema de Wick proporciona un atajo.

Enunciado del teorema

Un producto de operadores de creación y aniquilación se puede expresar como ${\displaystyle {\hat {A}}{\hat {B}}{\hat {C}}{\hat {D}}{\hat {E}}{\hat {F}}\ldots }$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {A}}{\hat {B}}{\hat {C}}{\hat {D}}{\hat {E}}{\hat {F}}\ldots &={\mathopen {:}}{\hat {A}}{\hat {B}}{\hat {C}}{\hat {D}}{\hat {E}}{\hat {F}}\ldots {\mathclose {:}}\\&\quad +\sum _{\text{singles}}{\mathopen {:}}{\hat {A}}^{\bullet }{\hat {B}}^{\bullet }{\hat {C}}{\hat {D}}{\hat {E}}{\hat {F}}\ldots {\mathclose {:}}\\&\quad +\sum _{\text{doubles}}{\mathopen {:}}{\hat {A}}^{\bullet }{\hat {B}}^{\bullet \bullet }{\hat {C}}^{\bullet \bullet }{\hat {D}}^{\bullet }{\hat {E}}{\hat {F}}\ldots {\mathclose {:}}\\&\quad +\ldots \end{aligned}}}$

En otras palabras, una cadena de operadores de creación y aniquilación se puede reescribir como el producto ordenado normal de la cadena, más el producto ordenado normal después de todas las contracciones simples entre pares de operadores, más todas las contracciones dobles, etc., más todas las contracciones completas.

La aplicación del teorema a los ejemplos anteriores proporciona un método mucho más rápido para llegar a las expresiones finales.

Advertencia : En los términos del lado derecho que contienen múltiples contracciones, se debe tener cuidado cuando los operadores son fermiónicos. En este caso, se debe introducir un signo menos apropiado de acuerdo con la siguiente regla: reordenar los operadores (introducir signos menos siempre que se intercambie el orden de dos operadores fermiónicos) para garantizar que los términos contraídos sean adyacentes en la cadena. Luego se puede aplicar la contracción (ver "Regla C" en el artículo de Wick).

Ejemplo:

Si tenemos dos fermiones ( ) con operadores de creación y aniquilación y ( ) entonces ${\displaystyle N=2}$ ${\displaystyle {\hat {f}}_{i}^{\dagger }}$ ${\displaystyle {\hat {f}}_{i}}$ ${\displaystyle i=1,2}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {f}}_{1}\,{\hat {f}}_{2}\,{\hat {f}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{2}^{\dagger }\,={}&\,{\mathopen {:}}{\hat {f}}_{1}\,{\hat {f}}_{2}\,{\hat {f}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{2}^{\dagger }\,{\mathclose {:}}\\[5pt]&-\,{\hat {f}}_{1}^{\bullet }\,{\hat {f}}_{1}^{\dagger \bullet }\,\,{\mathopen {:}}{\hat {f}}_{2}\,{\hat {f}}_{2}^{\dagger }\,{\mathclose {:}}+\,{\hat {f}}_{1}^{\bullet }\,{\hat {f}}_{2}^{\dagger \bullet }\,\,{\mathopen {:}}{\hat {f}}_{2}\,{\hat {f}}_{1}^{\dagger }\,{\mathclose {:}}+\,{\hat {f}}_{2}^{\bullet }\,{\hat {f}}_{1}^{\dagger \bullet }\,\,{\mathopen {:}}{\hat {f}}_{1}\,{\hat {f}}_{2}^{\dagger }\,{\mathclose {:}}-{\hat {f}}_{2}^{\bullet }\,{\hat {f}}_{2}^{\dagger \bullet }\,\,{\mathopen {:}}{\hat {f}}_{1}\,{\hat {f}}_{1}^{\dagger }\,{\mathclose {:}}\\[5pt]&-{\hat {f}}_{1}^{\bullet \bullet }\,{\hat {f}}_{1}^{\dagger \bullet \bullet }\,{\hat {f}}_{2}^{\bullet }\,{\hat {f}}_{2}^{\dagger \bullet }\,+{\hat {f}}_{1}^{\bullet \bullet }\,{\hat {f}}_{2}^{\dagger \bullet \bullet }\,{\hat {f}}_{2}^{\bullet }\,{\hat {f}}_{1}^{\dagger \bullet }\,\end{aligned}}}$

Nótese que el término con contracciones de los dos operadores de creación y de los dos operadores de aniquilación no está incluido porque sus contracciones desaparecen.

Prueba

Utilizamos la inducción para demostrar el teorema de los operadores de creación y aniquilación bosónicos. El caso base es trivial, porque solo hay una contracción posible: ${\displaystyle N=2}$

${\displaystyle {\hat {A}}{\hat {B}}={\mathopen {:}}{\hat {A}}{\hat {B}}{\mathclose {:}}+({\hat {A}}\,{\hat {B}}\,-{\mathopen {:}}{\hat {A}}\,{\hat {B}}{\mathclose {:}})={\mathopen {:}}{\hat {A}}{\hat {B}}{\mathclose {:}}+{\hat {A}}^{\bullet }{\hat {B}}^{\bullet }}$

En general, las únicas contracciones distintas de cero son entre un operador de aniquilación a la izquierda y un operador de creación a la derecha. Supongamos que el teorema de Wick es cierto para los operadores , y consideremos el efecto de agregar un operador N a la izquierda de para formar . Por el teorema de Wick aplicado a los operadores, tenemos: ${\displaystyle N-1}$ ${\displaystyle {\hat {B}}{\hat {C}}{\hat {D}}{\hat {E}}{\hat {F}}\ldots }$ ${\displaystyle {\hat {A}}}$ ${\displaystyle {\hat {B}}{\hat {C}}{\hat {D}}{\hat {E}}{\hat {F}}\ldots }$ ${\displaystyle {\hat {A}}{\hat {B}}{\hat {C}}{\hat {D}}{\hat {E}}{\hat {F}}\ldots }$ ${\displaystyle N-1}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {A}}{\hat {B}}{\hat {C}}{\hat {D}}{\hat {E}}{\hat {F}}\ldots &={\hat {A}}{\mathopen {:}}{\hat {B}}{\hat {C}}{\hat {D}}{\hat {E}}{\hat {F}}\ldots {\mathclose {:}}\\&\quad +{\hat {A}}\sum _{\text{singles}}{\mathopen {:}}{\hat {B}}^{\bullet }{\hat {C}}^{\bullet }{\hat {D}}{\hat {E}}{\hat {F}}\ldots {\mathclose {:}}\\&\quad +{\hat {A}}\sum _{\text{doubles}}{\mathopen {:}}{\hat {B}}^{\bullet }{\hat {C}}^{\bullet \bullet }{\hat {D}}^{\bullet \bullet }{\hat {E}}^{\bullet }{\hat {F}}\ldots {\mathclose {:}}\\&\quad +{\hat {A}}\ldots \end{aligned}}}$

${\displaystyle {\hat {A}}}$es un operador de creación o un operador de aniquilación. Si es un operador de creación, todos los productos anteriores, como , ya están ordenados normalmente y no requieren ninguna manipulación adicional. Como está a la izquierda de todos los operadores de aniquilación en , cualquier contracción que lo involucre será cero. Por lo tanto, podemos agregar todas las contracciones que involucran a las sumas sin cambiar su valor. Por lo tanto, si es un operador de creación, el teorema de Wick es válido para . ${\displaystyle {\hat {A}}}$ ${\displaystyle {\hat {A}}{\mathopen {:}}{\hat {B}}{\hat {C}}{\hat {D}}{\hat {E}}{\hat {F}}\ldots {\mathclose {:}}}$ ${\displaystyle {\hat {A}}}$ ${\displaystyle {\hat {A}}{\hat {B}}{\hat {C}}{\hat {D}}{\hat {E}}{\hat {F}}\ldots }$ ${\displaystyle {\hat {A}}}$ ${\displaystyle {\hat {A}}}$ ${\displaystyle {\hat {A}}{\hat {B}}{\hat {C}}{\hat {D}}{\hat {E}}{\hat {F}}\ldots }$

Ahora, supongamos que es un operador de aniquilación. Para pasar del lado izquierdo al lado derecho de todos los productos, intercambiamos repetidamente con el operador inmediatamente a la derecha de este (lo llamamos ), cada vez aplicando para tener en cuenta la no conmutatividad. Una vez que hacemos esto, todos los términos estarán ordenados de manera normal. Todos los términos agregados a las sumas al pasar por los productos corresponden a contracciones adicionales que involucran a . Por lo tanto, si es un operador de aniquilación, el teorema de Wick es válido para . ${\displaystyle {\hat {A}}}$ ${\displaystyle {\hat {A}}}$ ${\displaystyle {\hat {A}}}$ ${\displaystyle {\hat {X}}}$ ${\displaystyle {\hat {A}}{\hat {X}}={\mathopen {:}}{\hat {A}}{\hat {X}}{\mathclose {:}}+{\hat {A}}^{\bullet }{\hat {X}}^{\bullet }}$ ${\displaystyle {\hat {A}}}$ ${\displaystyle {\hat {A}}}$ ${\displaystyle {\hat {A}}}$ ${\displaystyle {\hat {A}}{\hat {B}}{\hat {C}}{\hat {D}}{\hat {E}}{\hat {F}}\ldots }$

Hemos demostrado el caso base y el paso de inducción, por lo que el teorema es verdadero. Introduciendo los signos menos apropiados, la prueba se puede extender a los operadores de creación y aniquilación fermiónicos. El teorema aplicado a los campos se demuestra esencialmente de la misma manera. ^[3]

Teorema de Wick aplicado a campos

La función de correlación que aparece en la teoría cuántica de campos se puede expresar mediante una contracción de los operadores de campo:

${\displaystyle {\mathcal {C}}(x_{1},x_{2})=\left\langle 0\mid {\mathcal {T}}\phi _{i}(x_{1})\phi _{i}(x_{2})\mid 0\right\rangle =\langle 0\mid {\overline {\phi _{i}(x_{1})\phi _{i}(x_{2})}}\mid 0\rangle =i\Delta _{F}(x_{1}-x_{2})=i\int {{\frac {d^{4}k}{(2\pi )^{4}}}{\frac {e^{-ik(x_{1}-x_{2})}}{(k^{2}-m^{2})+i\epsilon }}},}$

donde los operadores son la cantidad que no aniquila el estado de vacío . Lo que significa que es una contracción sobre . Nótese que la contracción de una cadena ordenada en el tiempo de dos operadores de campo es un número C. ${\displaystyle {\overline {\phi _{i}(x_{1})\phi _{i}(x_{2})}}}$ ${\displaystyle |0\rangle }$ ${\displaystyle {\overline {AB}}={\mathcal {T}}AB-{\mathopen {:}}{\mathcal {T}}AB{\mathclose {:}}}$ ${\displaystyle {\overline {AB}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}AB}$

Al final llegamos al teorema de Wick:

El producto T de una cadena de campos libres ordenados en el tiempo se puede expresar de la siguiente manera:

${\displaystyle {\mathcal {T}}\prod _{k=1}^{m}\phi (x_{k})={\mathopen {:}}{\mathcal {T}}\prod \phi _{i}(x_{k}){\mathclose {:}}+\sum _{\alpha ,\beta }{\overline {\phi (x_{\alpha })\phi (x_{\beta })}}{\mathopen {:}}{\mathcal {T}}\prod _{k\not =\alpha ,\beta }\phi _{i}(x_{k}){\mathclose {:}}+{}}$

${\displaystyle {\mathcal {}}+\sum _{(\alpha ,\beta ),(\gamma ,\delta )}{\overline {\phi (x_{\alpha })\phi (x_{\beta })}}\;{\overline {\phi (x_{\gamma })\phi (x_{\delta })}}{\mathopen {:}}{\mathcal {T}}\prod _{k\not =\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta }\phi _{i}(x_{k}){\mathclose {:}}+\cdots .}$

Aplicando este teorema a los elementos de la matriz S , descubrimos que los términos de orden normal que actúan en el estado de vacío dan una contribución nula a la suma. Concluimos que m es par y que solo quedan términos completamente contraídos.

${\displaystyle F_{m}^{i}(x)=\left\langle 0\mid {\mathcal {T}}\phi _{i}(x_{1})\phi _{i}(x_{2})\mid 0\right\rangle =\sum _{\mathrm {pairs} }{\overline {\phi (x_{1})\phi (x_{2})}}\cdots {\overline {\phi (x_{m-1})\phi (x_{m}}})}$

${\displaystyle G_{p}^{(n)}=\left\langle 0\mid {\mathcal {T}}{\mathopen {:}}v_{i}(y_{1}){\mathclose {:}}\dots {\mathopen {:}}v_{i}(y_{n}){\mathclose {:}}\phi _{i}(x_{1})\cdots \phi _{i}(x_{p})\mid 0\right\rangle }$

donde p es el número de campos de interacción (o, equivalentemente, el número de partículas interactuantes) y n es el orden de desarrollo (o el número de vértices de interacción). Por ejemplo, si ${\displaystyle v=gy^{4}\Rightarrow {\mathopen {:}}v_{i}(y_{1}){\mathclose {:}}={\mathopen {:}}\phi _{i}(y_{1})\phi _{i}(y_{1})\phi _{i}(y_{1})\phi _{i}(y_{1}){\mathclose {:}}}$

Esto es análogo al teorema de Isserlis correspondiente en estadística para los momentos de una distribución gaussiana .

Nótese que esta discusión se realiza en términos de la definición usual de ordenamiento normal que es apropiada para los valores esperados de vacío (VEV) de los campos. (El teorema de Wick proporciona una forma de expresar los VEV de n campos en términos de los VEV de dos campos. ^[4] ) Hay otras definiciones posibles de ordenamiento normal, y el teorema de Wick es válido independientemente de ellas. Sin embargo, el teorema de Wick solo simplifica los cálculos si la definición de ordenamiento normal utilizada se cambia para que coincida con el tipo de valor esperado deseado. Es decir, siempre queremos que el valor esperado del producto ordenado normal sea cero. Por ejemplo, en la teoría de campos térmicos, un tipo diferente de valor esperado, una traza térmica sobre la matriz de densidad, requiere una definición diferente de ordenamiento normal . ^[5]

Véase también

• Teorema de Isserlis

Referencias

1. Tony Philips (noviembre de 2001). "Diagramas de Feynman de dimensión finita". Novedades en matemáticas . American Mathematical Society . Consultado el 23 de octubre de 2007 .
2. Wick, GC (1950). "La evaluación de la matriz de colisión". Phys. Rev . 80 (2): 268–272. Código Bibliográfico :1950PhRv...80..268W. doi :10.1103/PhysRev.80.268.
3. Coleman, Sydney (2019). Teoría cuántica de campos: conferencias de Sidney Coleman . World Scientific Publishing. pág. 158.
4. Véase también, por ejemplo: Mrinal Dasgupta: An introduction to Quantum Field Theory, Lectures presented at the RAL School for High Energy Physics, Somerville College, Oxford, septiembre de 2008, sección 5.1 Teorema de Wick (descargado el 3 de diciembre de 2012)
5. Evans, TS; Steer, DA (1996). "Teorema de Wick a temperatura finita". Nucl. Phys. B . 474 (2): 481–496. arXiv : hep-ph/9601268 . Código Bibliográfico :1996NuPhB.474..481E. doi :10.1016/0550-3213(96)00286-6. S2CID  119436816.

Lectura adicional

• Peskin, ME ; Schroeder, DV (1995). Introducción a la teoría cuántica de campos . Perseus Books.(§4.3)
• Schweber, Silvan S. (1962). Introducción a la teoría cuántica de campos relativista . Nueva York: Harper and Row.(Capítulo 13, Sección c)