Teorema de Isserlis

En teoría de la probabilidad , el teorema de Isserlis o teorema de probabilidad de Wick es una fórmula que permite calcular momentos de orden superior de la distribución normal multivariante en términos de su matriz de covarianza. Recibe su nombre en honor a Leon Isserlis .

Este teorema también es particularmente importante en física de partículas , donde se lo conoce como teorema de Wick en honor al trabajo de Wick (1950). ^[1] Otras aplicaciones incluyen el análisis de los rendimientos de las carteras, ^[2] la teoría cuántica de campos ^[3] y la generación de ruido coloreado. ^[4]

Declaración

Si es un vector aleatorio normal multivariado de media cero , entonces donde la suma es sobre todos los emparejamientos de , es decir, todas las formas distintas de dividir en pares , y el producto es sobre los pares contenidos en . ^{[5] [6]} ${\displaystyle (X_{1},\dots ,X_{n})}$ $${\displaystyle \operatorname {E} [\,X_{1}X_{2}\cdots X_{n}\,]=\sum _{p\in P_{n}^{2}}\prod _{\{i,j\}\in p}\operatorname {E} [\,X_{i}X_{j}\,]=\sum _{p\in P_{n}^{2}}\prod _{\{i,j\}\in p}\operatorname {Cov} (\,X_{i},X_{j}\,),}$$ ${\displaystyle \{1,\ldots ,n\}}$ ${\displaystyle \{1,\ldots ,n\}}$ ${\displaystyle \{i,j\}}$ ${\displaystyle p}$

De manera más general, si es un vector aleatorio normal multivariado de valor complejo con media cero , entonces la fórmula aún es válida. ${\displaystyle (Z_{1},\dots ,Z_{n})}$

La expresión del lado derecho también se conoce como el hafniano de la matriz de covarianza de . ${\displaystyle (X_{1},\dots ,X_{n})}$

Caso extraño

Si es impar, no existe ningún emparejamiento de . Bajo esta hipótesis, el teorema de Isserlis implica que Esto también se deduce del hecho de que tiene la misma distribución que , lo que implica que . ${\displaystyle n=2m+1}$ ${\displaystyle \{1,\ldots ,2m+1\}}$ $${\displaystyle \operatorname {E} [\,X_{1}X_{2}\cdots X_{2m+1}\,]=0.}$$ ${\displaystyle -X=(-X_{1},\dots ,-X_{n})}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {E} [\,X_{1}\cdots X_{2m+1}\,]=\operatorname {E} [\,(-X_{1})\cdots (-X_{2m+1})\,]=-\operatorname {E} [\,X_{1}\cdots X_{2m+1}\,]=0}$

Caso par

En su artículo original, ^[7] Leon Isserlis demuestra este teorema por inducción matemática, generalizando la fórmula para los momentos de orden, ^[8] que toma la apariencia ${\displaystyle 4^{\text{th}}}$

${\displaystyle \operatorname {E} [\,X_{1}X_{2}X_{3}X_{4}\,]=\operatorname {E} [X_{1}X_{2}]\,\operatorname {E} [X_{3}X_{4}]+\operatorname {E} [X_{1}X_{3}]\,\operatorname {E} [X_{2}X_{4}]+\operatorname {E} [X_{1}X_{4}]\,\operatorname {E} [X_{2}X_{3}].}$

Si es par, existen (ver factorial doble ) particiones de pares de : esto produce términos en la suma. Por ejemplo, para los momentos de orden (es decir, variables aleatorias) hay tres términos. Para los momentos de orden - hay términos, y para los momentos de orden - hay términos. ${\displaystyle n=2m}$ ${\displaystyle (2m)!/(2^{m}m!)=(2m-1)!!}$ ${\displaystyle \{1,\ldots ,2m\}}$ ${\displaystyle (2m)!/(2^{m}m!)=(2m-1)!!}$ ${\displaystyle 4^{\text{th}}}$ ${\displaystyle 4}$ ${\displaystyle 6^{\text{th}}}$ ${\displaystyle 3\times 5=15}$ ${\displaystyle 8^{\text{th}}}$ ${\displaystyle 3\times 5\times 7=105}$

Ejemplo

Podemos evaluar la función característica de las gaussianas mediante el teorema de Isserlis: $${\displaystyle E[e^{-iX}]=\sum _{k}{\frac {(-i)^{k}}{k!}}E[X^{k}]=\sum _{k}{\frac {(-i)^{2k}}{(2k)!}}E[X^{2k}]=\sum _{k}{\frac {(-i)^{2k}}{(2k)!}}{\frac {(2k)!}{k!2^{k}}}E[X^{2}]^{k}=e^{-{\frac {1}{2}}E[X^{2}]}}$$

Prueba

Como ambos lados de la fórmula son multilineales en , si podemos probar el caso real, obtenemos el caso complejo de forma gratuita. ${\displaystyle X_{1},...,X_{n}}$

Sea la matriz de covarianza, de modo que tengamos el vector aleatorio normal multivariado de media cero . Como ambos lados de la fórmula son continuos con respecto a , basta con demostrar el caso en el que es invertible. ${\displaystyle \Sigma _{ij}=\operatorname {Cov} (X_{i},X_{j})}$ ${\displaystyle (X_{1},...,X_{n})\sim N(0,\Sigma )}$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle \Sigma }$

Usando la factorización cuadrática , obtenemos ${\displaystyle -x^{T}\Sigma ^{-1}x/2+v^{T}x-v^{T}\Sigma v/2=-(x-\Sigma v)^{T}\Sigma ^{-1}(x-\Sigma v)/2}$

$${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {(2\pi )^{n}\det \Sigma }}}\int e^{-x^{T}\Sigma ^{-1}x/2+v^{T}x}dx=e^{v^{T}\Sigma v/2}}$$

Derivamos bajo el signo integral con para obtener ${\displaystyle \partial _{v_{1},...,v_{n}}|_{v_{1},...,v_{n}=0}}$

$${\displaystyle E[X_{1}\cdots X_{n}]=\partial _{v_{1},...,v_{n}}|_{v_{1},...,v_{n}=0}e^{v^{T}\Sigma v/2}}$$.

Es decir, sólo necesitamos encontrar el coeficiente del término en la expansión de Taylor de . ${\displaystyle v_{1}\cdots v_{n}}$ ${\displaystyle e^{v^{T}\Sigma v/2}}$

Si es impar, esto es cero. Por lo tanto, sea , entonces solo necesitamos encontrar el coeficiente del término en el polinomio . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n=2m}$ ${\displaystyle v_{1}\cdots v_{n}}$ ${\displaystyle {\frac {1}{m!}}(v^{T}\Sigma v/2)^{m}}$

Desarrollamos el polinomio y contamos, obtenemos la fórmula. ${\displaystyle \square }$

Generalizaciones

Integración gaussiana por partes

Una formulación equivalente de la fórmula de probabilidad de Wick es la integración gaussiana por partes . Si es un vector aleatorio normal multivariado de media cero , entonces ${\displaystyle (X_{1},\dots X_{n})}$

$${\displaystyle \operatorname {E} (X_{1}f(X_{1},\ldots ,X_{n}))=\sum _{i=1}^{n}\operatorname {Cov} (X_{1},X_{i})\operatorname {E} (\partial _{X_{i}}f(X_{1},\ldots ,X_{n})).}$$Esta es una generalización del lema de Stein .

La fórmula de probabilidad de Wick se puede recuperar por inducción, considerando la función definida por . Entre otras cosas, esta formulación es importante en la teoría de campos conformes de Liouville para obtener identidades de Ward conformes , ecuaciones BPZ ^[9] y para demostrar la fórmula de Fyodorov-Bouchaud. ^[10] ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x_{n})=x_{2}\ldots x_{n}}$

Variables aleatorias no gaussianas

Para las variables aleatorias no gaussianas, la fórmula de cumulantes de momentos ^[11] reemplaza la fórmula de probabilidad de Wick. Si es un vector de variables aleatorias , entonces donde la suma es sobre todas las particiones de , el producto es sobre los bloques de y es el cumulante conjunto de . ${\displaystyle (X_{1},\dots X_{n})}$ $${\displaystyle \operatorname {E} (X_{1}\ldots X_{n})=\sum _{p\in P_{n}}\prod _{b\in p}\kappa {\big (}(X_{i})_{i\in b}{\big )},}$$ ${\displaystyle \{1,\ldots ,n\}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \kappa {\big (}(X_{i})_{i\in b}{\big )}}$ ${\displaystyle (X_{i})_{i\in b}}$

Véase también

• Teorema de Wick
• Cumulantes
• Distribución normal

Referencias

1. Wick, GC (1950). "La evaluación de la matriz de colisión". Physical Review . 80 (2): 268–272. Código Bibliográfico :1950PhRv...80..268W. doi :10.1103/PhysRev.80.268.
2. Repetowicz, Przemysław; Richmond, Peter (2005). "Inferencia estadística de parámetros de distribución multivariados para series temporales distribuidas no gaussianas" (PDF) . Acta Física Polonica B. 36 (9): 2785–2796. Código Bib : 2005AcPPB..36.2785R.
3. Perez-Martin, S.; Robledo, LM (2007). "Teorema de Wick generalizado para superposiciones de multicuasipartículas como límite del teorema de Gaudin". Physical Review C . 76 (6): 064314. arXiv : 0707.3365 . Bibcode :2007PhRvC..76f4314P. doi :10.1103/PhysRevC.76.064314. S2CID  119627477.
4. Bartosch, L. (2001). "Generación de ruido coloreado". Revista Internacional de Física Moderna C . 12 (6): 851–855. Código Bibliográfico :2001IJMPC..12..851B. doi :10.1142/S0129183101002012. S2CID  54500670.
5. Janson, Svante (junio de 1997). Espacios de Hilbert gaussianos. Cambridge Core. doi :10.1017/CBO9780511526169. ISBN . 9780521561280. Recuperado el 30 de noviembre de 2019 .
6. Michalowicz, JV; Nichols, JM; Bucholtz, F.; Olson, CC (2009). "Un teorema de Isserlis para variables gaussianas mixtas: aplicación a la densidad autobiespectral". Journal of Statistical Physics . 136 (1): 89–102. Bibcode :2009JSP...136...89M. doi :10.1007/s10955-009-9768-3. S2CID  119702133.
7. Isserlis, L. (1918). "Sobre una fórmula para el coeficiente de producto-momento de cualquier orden de una distribución de frecuencia normal en cualquier número de variables". Biometrika . 12 (1–2): 134–139. doi :10.1093/biomet/12.1-2.134. JSTOR  2331932.
8. Isserlis, L. (1916). "Sobre ciertos errores probables y coeficientes de correlación de distribuciones de frecuencias múltiples con regresión sesgada". Biometrika . 11 (3): 185–190. doi :10.1093/biomet/11.3.185. JSTOR  2331846.
9. Kupiainen, Antti; Rhodes, Rémi; Vargas, Vincent (1 de noviembre de 2019). "Estructura conforme local de la gravedad cuántica de Liouville". Comunicaciones en física matemática . 371 (3): 1005–1069. arXiv : 1512.01802 . Código Bibliográfico :2019CMaPh.371.1005K. doi :10.1007/s00220-018-3260-3. ISSN  1432-0916. S2CID  55282482.
10. Remy, Guillaume (2020). "La fórmula de Fyodorov-Bouchaud y la teoría de campos conforme de Liouville". Revista matemática de Duke . 169. arXiv : 1710.06897 . doi : 10.1215/00127094-2019-0045. S2CID  : 54777103.
11. Leonov, VP; Shiryaev, AN (enero de 1959). "Sobre un método de cálculo de semiinvariantes". Teoría de la probabilidad y sus aplicaciones . 4 (3): 319–329. doi :10.1137/1104031.

Lectura adicional

• Koopmans, Lambert G. (1974). El análisis espectral de series temporales . San Diego, CA: Academic Press .