Acción efectiva

Quantum version of the classical action

En la teoría cuántica de campos , la acción cuántica efectiva es una expresión modificada para la acción clásica que tiene en cuenta las correcciones cuánticas y al mismo tiempo garantiza que se aplique el principio de mínima acción , lo que significa que extremar la acción efectiva produce las ecuaciones de movimiento para los valores esperados de vacío de la campos cuánticos. La acción efectiva también actúa como funcional generador de funciones de correlación irreducibles de una partícula . El componente potencial de la acción efectiva se llama potencial efectivo , siendo el valor esperado del vacío verdadero el mínimo de este potencial en lugar del potencial clásico, lo que lo hace importante para estudiar la ruptura espontánea de la simetría .

Fue definido por primera vez de manera perturbativa por Jeffrey Goldstone y Steven Weinberg en 1962, ^[1] mientras que la definición no perturbativa fue introducida por Bryce DeWitt en 1963 ^[2] e independientemente por Giovanni Jona-Lasinio en 1964. ^[3]

El artículo describe la acción efectiva para un solo campo escalar ; sin embargo, existen resultados similares para múltiples campos escalares o fermiónicos .

Generando funcionales

Estos funcionales generadores también tienen aplicaciones en mecánica estadística y teoría de la información , con factores y convenciones de signos ligeramente diferentes . ${\displaystyle i}$

Una teoría cuántica de campos con acción se puede describir completamente en el formalismo integral de ruta utilizando la función de partición ${\displaystyle S[\phi ]}$

${\displaystyle Z[J]=\int {\mathcal {D}}\phi e^{iS[\phi ]+i\int d^{4}x\phi (x)J(x)}.}$

Dado que corresponde a transiciones de vacío a vacío en presencia de una corriente externa clásica , puede evaluarse perturbativamente como la suma de todos los diagramas de Feynman conectados y desconectados . También es el funcional generador de funciones de correlación. ${\displaystyle J(x)}$

${\displaystyle \langle {\hat {\phi }}(x_{1})\dots {\hat {\phi }}(x_{n})\rangle =(-i)^{n}{\frac {1}{Z[J]}}{\frac {\delta ^{n}Z[J]}{\delta J(x_{1})\dots \delta J(x_{n})}}{\bigg |}_{J=0},}$

donde los operadores de campo escalar se indican con . Se puede definir otra función generadora útil responsable de generar funciones de correlación conectadas. ${\displaystyle {\hat {\phi }}(x)}$ ${\displaystyle W[J]=-i\ln Z[J]}$

${\displaystyle \langle {\hat {\phi }}(x_{1})\cdots {\hat {\phi }}(x_{n})\rangle _{\text{con}}=(-i)^{n-1}{\frac {\delta ^{n}W[J]}{\delta J(x_{1})\dots \delta J(x_{n})}}{\bigg |}_{J=0},}$

que se calcula perturbativamente como la suma de todos los diagramas conectados. ^[4] Aquí conectado se interpreta en el sentido de la descomposición de conglomerados , lo que significa que las funciones de correlación se aproximan a cero en grandes separaciones espaciales. Las funciones de correlación generales siempre se pueden escribir como una suma de productos de funciones de correlación conectadas.

La acción cuántica efectiva se define utilizando la transformación de Legendre de ${\displaystyle W[J]}$

${\displaystyle \Gamma [\phi ]=W[J_{\phi }]-\int d^{4}xJ_{\phi }(x)\phi (x),}$

¿Dónde está la corriente de fuente para la cual el campo escalar tiene el valor esperado , a menudo llamado campo clásico, definido implícitamente como la solución a ${\displaystyle J_{\phi }}$ ${\displaystyle \phi (x)}$

${\displaystyle \phi (x)=\langle {\hat {\phi }}(x)\rangle _{J}={\frac {\delta W[J]}{\delta J(x)}}.}$

Como valor esperado, el campo clásico puede considerarse como el promedio ponderado de las fluctuaciones cuánticas en presencia de una corriente que genera el campo escalar. Tomando la derivada funcional de la transformación de Legendre con respecto a los rendimientos ${\displaystyle J(x)}$ ${\displaystyle \phi (x)}$

${\displaystyle J_{\phi }(x)=-{\frac {\delta \Gamma [\phi ]}{\delta \phi (x)}}.}$

En ausencia de una fuente , lo anterior muestra que el valor esperado de vacío de los campos extrema la acción cuántica efectiva en lugar de la acción clásica. Esto no es más que el principio de mínima acción en la teoría cuántica de campos completa. La razón por la cual la teoría cuántica requiere esta modificación proviene de la perspectiva de la integral de trayectoria, ya que todas las configuraciones de campo posibles contribuyen a la integral de trayectoria, mientras que en la teoría de campos clásica solo contribuyen las configuraciones clásicas. ${\displaystyle J_{\phi }(x)=0}$

La acción efectiva es también la función generadora de funciones de correlación de una partícula irreducible (1PI) . Los diagramas 1PI son gráficos conectados que no se pueden desconectar en dos partes cortando una sola línea interna. Por lo tanto, tenemos

${\displaystyle \langle {\hat {\phi }}(x_{1})\dots {\hat {\phi }}(x_{n})\rangle _{\mathrm {1PI} }=i{\frac {\delta ^{n}\Gamma [\phi ]}{\delta \phi (x_{1})\dots \delta \phi (x_{n})}}{\bigg |}_{J=0},}$

siendo la suma de todos los diagramas de Feynman 1PI. La estrecha conexión entre y significa que existen varias relaciones muy útiles entre sus funciones de correlación. Por ejemplo, la función de correlación de dos puntos, que es nada menos que el propagador , es la inversa de la función de correlación de dos puntos 1PI ${\displaystyle \Gamma [\phi ]}$ ${\displaystyle W[J]}$ ${\displaystyle \Gamma [\phi ]}$ ${\displaystyle \Delta (x,y)}$

${\displaystyle \Delta (x,y)={\frac {\delta ^{2}W[J]}{\delta J(x)\delta J(y)}}={\frac {\delta \phi (x)}{\delta J(y)}}={\bigg (}{\frac {\delta J(y)}{\delta \phi (x)}}{\bigg )}^{-1}=-{\bigg (}{\frac {\delta ^{2}\Gamma [\phi ]}{\delta \phi (x)\delta \phi (y)}}{\bigg )}^{-1}=-\Pi ^{-1}(x,y).}$

Métodos para calcular la acción efectiva.

Una forma directa de calcular la acción efectiva de forma perturbativa como una suma de diagramas 1PI es sumar todos los diagramas de vacío 1PI adquiridos utilizando las reglas de Feynman derivadas de la acción desplazada . Esto funciona porque cualquier lugar donde aparezca cualquiera de los propagadores o vértices es un lugar donde se podría conectar una línea externa. Esto es muy similar al método del campo en segundo plano , que también se puede utilizar para calcular la acción efectiva. ${\displaystyle \Gamma [\phi _{0}]}$ ${\displaystyle S[\phi +\phi _{0}]}$ ${\displaystyle \phi _{0}}$ ${\displaystyle \phi }$

Alternativamente, la aproximación de un bucle a la acción se puede encontrar considerando la expansión de la función de partición alrededor de la configuración clásica del campo de valor esperado de vacío , obteniendo ^{[5] [6]} ${\displaystyle \phi (x)=\phi _{\text{cl}}(x)+\delta \phi (x)}$

${\displaystyle \Gamma [\phi _{\text{cl}}]=S[\phi _{\text{cl}}]+{\frac {i}{2}}{\text{Tr}}{\bigg [}\ln {\frac {\delta ^{2}S[\phi ]}{\delta \phi (x)\delta \phi (y)}}{\bigg |}_{\phi =\phi _{\text{cl}}}{\bigg ]}+\cdots .}$

Simetrías

Las simetrías de la acción clásica no son automáticamente simetrías de la acción cuántica efectiva . Si la acción clásica tiene una simetría continua que depende de alguna función ${\displaystyle S[\phi ]}$ ${\displaystyle \Gamma [\phi ]}$ ${\displaystyle F[x,\phi ]}$

${\displaystyle \phi (x)\rightarrow \phi (x)+\epsilon F[x,\phi ],}$

entonces esto impone directamente la restricción

${\displaystyle 0=\int d^{4}x\langle F[x,\phi ]\rangle _{J_{\phi }}{\frac {\delta \Gamma [\phi ]}{\delta \phi (x)}}.}$

Esta identidad es un ejemplo de identidad Slavnov-Taylor . Es idéntico al requisito de que la acción efectiva sea invariante bajo la transformación de simetría.

${\displaystyle \phi (x)\rightarrow \phi (x)+\epsilon \langle F[x,\phi ]\rangle _{J_{\phi }}.}$

Esta simetría es idéntica a la simetría original para la importante clase de simetrías lineales .

${\displaystyle F[x,\phi ]=a(x)+\int d^{4}y\ b(x,y)\phi (y).}$

Para funcionales no lineales, las dos simetrías generalmente difieren porque el promedio de un funcional no lineal no es equivalente al funcional de un promedio.

Convexidad

El potencial efectivo aparente adquirido mediante la teoría de la perturbación debe corregirse al potencial efectivo verdadero , que se muestra mediante líneas discontinuas en la región donde los dos no están de acuerdo. ${\displaystyle V_{0}(\phi )}$ ${\displaystyle V(\phi )}$

Para un espaciotiempo con volumen , el potencial efectivo se define como . Con un hamiltoniano , el potencial efectivo en siempre da el mínimo del valor esperado de la densidad de energía para el conjunto de estados que satisfacen . ^[7] Esta definición sobre múltiples estados es necesaria porque múltiples estados diferentes, cada uno de los cuales corresponde a una fuente de corriente particular, pueden dar como resultado el mismo valor esperado. Se puede demostrar además que el potencial efectivo es necesariamente una función convexa . ^[8] ${\displaystyle {\mathcal {V}}_{4}}$ ${\displaystyle V(\phi )=-\Gamma [\phi ]/{\mathcal {V}}_{4}}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle V(\phi )}$ ${\displaystyle \phi (x)}$ ${\displaystyle \langle \Omega |H|\Omega \rangle }$ ${\displaystyle |\Omega \rangle }$ ${\displaystyle \langle \Omega |{\hat {\phi }}|\Omega \rangle =\phi (x)}$ ${\displaystyle V''(\phi )\geq 0}$

Calcular el potencial efectivo de forma perturbativa a veces puede producir un resultado no convexo, como un potencial que tiene dos mínimos locales . Sin embargo, el verdadero potencial efectivo sigue siendo convexo, volviéndose aproximadamente lineal en la región donde el potencial efectivo aparente no logra ser convexo. La contradicción ocurre en los cálculos sobre vacíos inestables, ya que la teoría de la perturbación supone necesariamente que el vacío es estable. Por ejemplo, considere un potencial efectivo aparente con dos mínimos locales cuyos valores esperados y son los valores esperados para los estados y , respectivamente. Entonces cualquiera en la región no convexa de también se puede adquirir para algunos usando ${\displaystyle V_{0}(\phi )}$ ${\displaystyle \phi _{1}}$ ${\displaystyle \phi _{2}}$ ${\displaystyle |\Omega _{1}\rangle }$ ${\displaystyle |\Omega _{2}\rangle }$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle V_{0}(\phi )}$ ${\displaystyle \lambda \in [0,1]}$

${\displaystyle |\Omega \rangle \propto {\sqrt {\lambda }}|\Omega _{1}\rangle +{\sqrt {1-\lambda }}|\Omega _{2}\rangle .}$

Sin embargo, la densidad de energía de este estado no puede ser el potencial efectivo correcto ya que no minimiza la densidad de energía. Más bien, el verdadero potencial efectivo es igual o menor que esta construcción lineal, que restaura la convexidad. ${\displaystyle \lambda V_{0}(\phi _{1})+(1-\lambda )V_{0}(\phi _{2})<V_{0}(\phi )}$ ${\displaystyle V_{0}(\phi )}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle V(\phi )}$

Ver también

• Método de campo de fondo
• Función de correlación
• Formulación integral de camino
• Grupo de renormalización
• Ruptura espontánea de simetría

Referencias

1. Weinberg, S .; Goldstone, J. (agosto de 1962). "Simetrías rotas". Física. Rdo . 127 (3): 965–970. Código bibliográfico : 1962PhRv..127..965G. doi : 10.1103/PhysRev.127.965 . Consultado el 6 de septiembre de 2021 .
2. DeWitt, B .; DeWitt, C. (1987). Relativité, groupes et topologie = Relatividad, grupos y topología: conferencias pronunciadas en Les Houches durante la sesión de 1963 de la Escuela de Verano de Física Teórica de la Universidad de Grenoble . Gordon y Breach. ISBN 0677100809.
3. Jona-Lasinio, G. (31 de agosto de 1964). "Teorías de campo relativistas con soluciones que rompen la simetría". El nuevo cemento . 34 (6): 1790–1795. Código bibliográfico : 1964NCim...34.1790J. doi :10.1007/BF02750573. S2CID  121276897 . Consultado el 6 de septiembre de 2021 .
4. Zinn-Justin, J. (1996). "6". Teoría cuántica de campos y fenómenos críticos . Oxford: Prensa de la Universidad de Oxford. págs. 119-122. ISBN 978-0198509233.
5. Kleinert, H. (2016). "22" (PDF) . Partículas y campos cuánticos . Publicaciones científicas mundiales. pag. 1257.ISBN​ 9789814740920.
6. Zee, A. (2010). Teoría cuántica de campos en pocas palabras (2 ed.). Prensa de la Universidad de Princeton. págs. 239-240. ISBN 9780691140346.
7. Weinberg, S. (1995). "dieciséis". La teoría cuántica de campos: aplicaciones modernas . vol. 2. Prensa de la Universidad de Cambridge. págs. 72–74. ISBN 9780521670548.
8. Peskin, YO ; Schroeder, DV (1995). Una introducción a la teoría cuántica de campos . Prensa de Westview. págs. 368–369. ISBN 9780201503975.

Otras lecturas

• Das, A.: Teoría de campo: un enfoque integral de ruta , World Scientific Publishing 2006
• Schwartz, MD: Teoría cuántica de campos y el modelo estándar , Cambridge University Press 2014
• Toms, DJ: El principio de acción de Schwinger y la acción eficaz , Cambridge University Press 2007
• Weinberg, S.: La teoría cuántica de campos: aplicaciones modernas , Vol.II, Cambridge University Press 1996