Método de campo de fondo

Técnica en la teoría cuántica de campos

En física teórica , el método del campo de fondo es un procedimiento útil para calcular la acción efectiva de una teoría cuántica de campos expandiendo un campo cuántico alrededor de un valor de "fondo" clásico B :

${\displaystyle \phi (x)=B(x)+\eta (x)}$.

Una vez hecho esto, las funciones de Green se evalúan como una función del fondo. Este enfoque tiene la ventaja de que la invariancia de calibración se conserva manifiestamente si el enfoque se aplica a la teoría de calibración .

Método

Normalmente queremos calcular expresiones como

${\displaystyle Z[J]=\int {\mathcal {D}}\phi \exp \left(\mathrm {i} \int \mathrm {d} ^{d}x({\mathcal {L}}[\phi (x)]+J(x)\phi (x))\right)}$

donde J ( x ) es una fuente, es la densidad lagrangiana del sistema, d es el número de dimensiones y es un campo. ${\displaystyle {\mathcal {L}}(x)}$ ${\displaystyle \phi (x)}$

En el método del campo de fondo, uno comienza dividiendo este campo en un campo de fondo clásico B ( x ) y un campo η( x ) que contiene fluctuaciones cuánticas adicionales:

${\displaystyle \phi (x)=B(x)+\eta (x)\,.}$

Normalmente, B ( x ) será una solución de las ecuaciones clásicas de movimiento.

${\displaystyle \left.{\frac {\delta S}{\delta \phi }}\right|_{\phi =B}=0}$

donde S es la acción, es decir, la integral espacial de la densidad lagrangiana. Al encender una fuente J ( x ) las ecuaciones cambiarán a

${\displaystyle \left.{\frac {\delta S}{\delta \phi }}\right|_{\phi =B}+J=0}$.

Luego la acción se expande alrededor del fondo B ( x ):

${\displaystyle {\begin{aligned}\int d^{d}x({\mathcal {L}}[\phi (x)]+J(x)\phi (x))&=\int d^{d}x({\mathcal {L}}[B(x)]+J(x)B(x))\\&+\int d^{d}x\left({\frac {\delta {\mathcal {L}}}{\delta \phi (x)}}[B]+J(x)\right)\eta (x)\\&+{\frac {1}{2}}\int d^{d}xd^{d}y{\frac {\delta ^{2}{\mathcal {L}}}{\delta \phi (x)\delta \phi (y)}}[B]\eta (x)\eta (y)+\cdots \end{aligned}}}$

El segundo término de esta expansión es cero según las ecuaciones de movimiento. El primer término no depende de ningún campo fluctuante, por lo que se puede sacar de la integral de trayectoria. El resultado es

${\displaystyle Z[J]=e^{i\int d^{d}x({\mathcal {L}}[B(x)]+J(x)B(x))}\int {\mathcal {D}}\eta e^{{\frac {i}{2}}\int d^{d}xd^{d}y{\frac {\delta ^{2}{\mathcal {L}}}{\delta \phi (x)\delta \phi (y)}}[B]\eta (x)\eta (y)+\cdots }.}$

La integral de trayectoria que queda ahora es (despreciando las correcciones en los puntos) de forma gaussiana y se puede integrar exactamente:

${\displaystyle Z[J]=Ce^{i\int d^{d}x({\mathcal {L}}[B(x)]+J(x)B(x))}\left(\det {\frac {\delta ^{2}{\mathcal {L}}}{\delta \phi (x)\delta \phi (y)}}[B]\right)^{-1/2}+\cdots }$

donde "det" significa un determinante funcional y C es una constante. La potencia de menos un medio será naturalmente más uno para los campos de Grassmann .

La derivación anterior proporciona la aproximación gaussiana a la integral funcional. Se pueden realizar correcciones a esta ecuación, lo que produce una expansión diagramática.

Véase también

• Teoría BF
• Acción eficaz
• Campo fuente

Referencias

• Peskin, Michael; Schroeder, Daniel (1994). Introducción a la teoría cuántica de campos . Perseus Publishing. ISBN 0-201-50397-2.
• Böhm, Manfred; Denner, Ansgar; Joos, Hans (2001). Teorías de calibre de la interacción fuerte y electrodébil (3 ed.). Teubner. ISBN 3-519-23045-3.
• Kleinert, Hagen (2009). Integrales de trayectoria en mecánica cuántica, estadística, física de polímeros y mercados financieros (5.ª ed.). World Scientific.
• Abbott, LF (1982). "Introducción al método del campo de fondo" (PDF) . Acta Phys. Pol. B . 13 : 33. Archivado desde el original (PDF) el 2017-05-10 . Consultado el 2016-03-10 .