Función de partición (teoría cuántica de campos)

Función generadora de funciones de correlación cuántica.

En la teoría cuántica de campos , las funciones de partición generan funcionales para funciones de correlación , lo que las convierte en objetos clave de estudio en el formalismo integral de trayectoria . Son las versiones en tiempo imaginario de las funciones de partición de la mecánica estadística , lo que da lugar a una estrecha conexión entre estas dos áreas de la física. Las funciones de partición rara vez se pueden resolver con exactitud, aunque las teorías libres admiten tales soluciones. En su lugar, se suele implementar un enfoque perturbativo , lo que equivale a sumar diagramas de Feynman .

Generando funcional

Teorías escalares

En una teoría de campos dimensional con un campo y acción escalar real , la función de partición se define en el formalismo integral de trayectoria como funcional ^[1] ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle S[\phi ]}$

${\displaystyle Z[J]=\int {\mathcal {D}}\phi \ e^{iS[\phi ]+i\int d^{d}xJ(x)\phi (x)}}$

¿ Dónde hay una fuente ficticia de corriente ? Actúa como funcional generador de funciones de correlación arbitrarias de n puntos. ${\displaystyle J(x)}$

${\displaystyle G_{n}(x_{1},\dots ,x_{n})=(-1)^{n}{\frac {1}{Z[0]}}{\frac {\delta ^{n}Z[J]}{\delta J(x_{1})\cdots \delta J(x_{n})}}{\bigg |}_{J=0}.}$

Los derivados utilizados aquí son derivados funcionales en lugar de derivados regulares, ya que actúan sobre funciones funcionales en lugar de funciones regulares. De esto se deduce que una expresión equivalente para la función de partición que recuerda a una serie de potencias en corrientes de fuente viene dada por ^[2]

${\displaystyle Z[J]=\sum _{n\geq 0}{\frac {1}{n!}}\int \prod _{i=1}^{n}d^{d}x_{i}G(x_{1},\dots ,x_{n})J(x_{1})\cdots J(x_{n}).}$

En los espacios-tiempos curvos hay una sutileza adicional que debe abordarse debido al hecho de que el estado de vacío inicial no tiene por qué ser el mismo que el estado de vacío final. ^[3] Las funciones de partición también se pueden construir para operadores compuestos de la misma manera que para campos fundamentales. Las funciones de correlación de estos operadores se pueden calcular como derivadas funcionales de estos funcionales. ^[4] Por ejemplo, la función de partición para un operador compuesto viene dada por ${\displaystyle {\mathcal {O}}(x)}$

${\displaystyle Z_{\mathcal {O}}[J]=\int {\mathcal {D}}\phi e^{iS[\phi ]+i\int d^{d}xJ(x){\mathcal {O}}(x)}.}$

Conocer la función de partición resuelve completamente la teoría ya que permite el cálculo directo de todas sus funciones de correlación. Sin embargo, hay muy pocos casos en los que la función de partición se puede calcular exactamente. Si bien las teorías libres admiten soluciones exactas, las teorías interactivas generalmente no las admiten. En cambio, la función de partición se puede evaluar perturbativamente en un acoplamiento débil , lo que equivale a la teoría de la perturbación regular utilizando diagramas de Feynman con inserciones en los catetos externos. ^[5] Los factores de simetría para este tipo de diagramas difieren de los de las funciones de correlación ya que todos los catetos externos tienen inserciones idénticas que pueden intercambiarse, mientras que los catetos externos de las funciones de correlación están todos fijos en coordenadas específicas y, por lo tanto, son fijos. ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle J}$

Al realizar una transformación de Wick , la función de partición se puede expresar en el espacio-tiempo euclidiano como ^[6]

${\displaystyle Z[J]=\int {\mathcal {D}}\phi \ e^{-(S_{E}[\phi ]+\int d^{d}x_{E}J\phi )},}$

donde es la acción euclidiana y son las coordenadas euclidianas. Esta forma está estrechamente relacionada con la función de partición en la mecánica estadística, especialmente porque el lagrangiano euclidiano suele estar acotado desde abajo, en cuyo caso puede interpretarse como una densidad de energía . También permite la interpretación del factor exponencial como un peso estadístico para las configuraciones de campo, donde mayores fluctuaciones en el gradiente o los valores de campo conducen a una mayor supresión. Esta conexión con la mecánica estadística también aporta una intuición adicional sobre cómo deberían comportarse las funciones de correlación en una teoría cuántica de campos. ${\displaystyle S_{E}}$ ${\displaystyle x_{E}}$

Teorías generales

La mayoría de los mismos principios del caso escalar se aplican a teorías más generales con campos adicionales. Cada campo requiere la introducción de su propia corriente ficticia, mientras que los campos de antipartículas requieren sus propias corrientes separadas. Actuar sobre la función de partición con una derivada de una corriente reduce su campo asociado del exponencial, lo que permite la construcción de funciones de correlación arbitrarias. Después de la diferenciación, las corrientes se establecen en cero cuando se desean funciones de correlación en un estado de vacío, pero las corrientes también se pueden configurar para que adopten valores particulares para producir funciones de correlación en campos de fondo que no desaparecen.

Para funciones de partición con campos de fermiones valorados por Grassmann , las fuentes también se valoran por Grassmann. ^[7] Por ejemplo, una teoría con un solo fermión de Dirac requiere la introducción de dos corrientes de Grassmann y para que la función de partición sea ${\displaystyle \psi (x)}$ ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle {\bar {\eta }}}$

${\displaystyle Z[{\bar {\eta }},\eta ]=\int {\mathcal {D}}{\bar {\psi }}{\mathcal {D}}\psi \ e^{iS[\psi ,{\bar {\psi }}]+i\int d^{d}x({\bar {\eta }}\psi +{\bar {\psi }}\eta )}.}$

Las derivadas funcionales con respecto a dar campos de fermiones, mientras que las derivadas con respecto a dar campos antifermiones en las funciones de correlación. ${\displaystyle {\bar {\eta }}}$ ${\displaystyle \eta }$

Teorías del campo térmico

Una teoría del campo térmico a temperatura es equivalente en el formalismo euclidiano a una teoría con una dirección temporal de longitud compactada . Las funciones de partición deben modificarse adecuadamente imponiendo condiciones de periodicidad a los campos y las integrales espacio-temporales euclidianas. ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \beta =1/T}$

${\displaystyle Z[\beta ,J]=\int {\mathcal {D}}\phi e^{-S_{E,\beta }[\phi ]+\int _{\beta }d^{d}x_{E}J\phi }{\bigg |}_{\phi ({\boldsymbol {x}},0)=\phi ({\boldsymbol {x}},\beta )}.}$

Esta función de partición puede tomarse como la definición de la teoría del campo térmico en el formalismo del tiempo imaginario. ^[8] Las funciones de correlación se adquieren a partir de la función de partición mediante las derivadas funcionales habituales con respecto a las corrientes.

${\displaystyle G_{n,\beta }(x_{1},\dots ,x_{n})={\frac {\delta ^{n}Z[\beta ,J]}{\delta J(x_{1})\cdots \delta J(x_{n})}}{\bigg |}_{J=0}.}$

Teorias libres

La función de partición se puede resolver exactamente en teorías libres completando el cuadrado en términos de los campos. Dado que un cambio de una constante no afecta la medida de la integral de trayectoria , esto permite separar la función de partición en una constante de proporcionalidad que surge de la integral de trayectoria y un segundo término que solo depende de la corriente. Para la teoría escalar esto produce ${\displaystyle N}$

${\displaystyle Z_{0}[J]=N\exp {\bigg (}-{\frac {1}{2}}\int d^{d}xd^{d}y\ J(x)\Delta _{F}(x-y)J(y){\bigg )},}$

¿Dónde está el espacio de posición del propagador de Feynman? ${\displaystyle \Delta _{F}(x-y)}$

${\displaystyle \Delta _{F}(x-y)=\int {\frac {d^{d}p}{(2\pi )^{d}}}{\frac {i}{p^{2}-m^{2}+i\epsilon }}e^{-ip\cdot (x-y)}.}$

Esta función de partición determina completamente la teoría del campo libre.

En el caso de una teoría con un único fermión de Dirac libre, completar el cuadrado produce una función de partición de la forma

${\displaystyle Z_{0}[{\bar {\eta }},\eta ]=N\exp {\bigg (}\int d^{d}xd^{d}y\ {\bar {\eta }}(y)\Delta _{D}(x-y)\eta (x){\bigg )},}$

¿Dónde está el espacio de posición del propagador de Dirac? ${\displaystyle \Delta _{D}(x-y)}$

${\displaystyle \Delta _{D}(x-y)=\int {\frac {d^{d}p}{(2\pi )^{d}}}{\frac {i({p\!\!\!/}+m)}{p^{2}-m^{2}+i\epsilon }}e^{-ip\cdot (x-y)}.}$

Referencias

1. Ríos, RJ (1988). "1". Métodos de integral de ruta en la teoría cuántica de campos . Cambridge: Prensa de la Universidad de Cambridge. págs. 14-16. ISBN 978-0521368704.
2. Nastase, H. (2019). "9". Introducción a la teoría cuántica de campos . Prensa de la Universidad de Cambridge. pag. 78.ISBN _ 978-1108493994.
3. Birrell, Carolina del Norte; Davis, PCW (1984). "6". Campos cuánticos en el espacio-tiempo curvo . Prensa de la Universidad de Cambridge. págs. 155-156. ISBN 978-0521278584.
4. Nastase, H. (2015). "1". Introducción a la Correspondencia AdS/CFT . Cambridge: Prensa de la Universidad de Cambridge. págs. 9-10. ISBN 978-1107085855.
5. Srednicki, M. (2007). "9". Teoría cuántica de campos . Cambridge: Prensa de la Universidad de Cambridge. págs. 58–60. ISBN 978-0521864497.
6. Peskin, Michael E .; Schroeder, Daniel V. (1995). "9". Una introducción a la teoría cuántica de campos . Prensa de Westview. págs. 289–292. ISBN 9780201503975.
7. Schwartz, MD (2014). "34". Teoría cuántica de campos y modelo estándar . Prensa de la Universidad de Cambridge. pag. 272.ISBN _ 9781107034730.
8. Le Bellac, M. (2008). "3". Teoría del campo térmico . Prensa de la Universidad de Cambridge. págs. 36-37. ISBN 978-0521654777.

Otras lecturas

• Ashok Das, Teoría de campo: un enfoque integral de ruta , 2.ª edición, World Scientific (Singapur, 2006); libro de bolsillo ISBN 978-9812568489 . 
• Kleinert, Hagen , Path Integrals in Quantum Mechanics, Statistics, Polymer Physics, and Financial Markets , 4ª edición, World Scientific (Singapur, 2004); edición de bolsillo ISBN 981-238-107-4 (también disponible en línea: archivos PDF) . 
• Jean Zinn-Justin (2009), Scholarpedia, 4(2): 8674.