tiempo imaginario

Concepto en relatividad especial

El tiempo imaginario es una representación matemática del tiempo que aparece en algunas aproximaciones a la relatividad especial y la mecánica cuántica . Encuentra usos para conectar la mecánica cuántica con la mecánica estadística y en ciertas teorías cosmológicas . ^{[ cita necesaria ]}

Matemáticamente, el tiempo imaginario es el tiempo real que ha sufrido una rotación de Wick de modo que sus coordenadas se multiplican por la unidad imaginaria i . El tiempo imaginario no es imaginario en el sentido de que sea irreal o inventado (como tampoco, por ejemplo, los números irracionales desafían la lógica), simplemente se expresa en términos de números imaginarios .

Orígenes

En matemáticas, la unidad imaginaria es la raíz cuadrada de , tal que se define como . Un número que es múltiplo directo de se conoce como número imaginario . ^{[1] : Capítulo 4} ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle -1}$ ${\displaystyle i^{2}}$ ${\displaystyle -1}$ ${\displaystyle i}$

En determinadas teorías físicas, los períodos de tiempo se multiplican de esta forma. Matemáticamente, se puede obtener un período de tiempo imaginario a partir del tiempo real mediante una rotación de Wick en el plano complejo : . ^{[1] : 769} ${\displaystyle i}$ ${\textstyle \tau }$ ${\textstyle t}$ ${\textstyle \pi /2}$ ${\textstyle \tau =it}$

Stephen Hawking popularizó el concepto de tiempo imaginario en su libro El universo en pocas palabras .

"Se podría pensar que esto significa que los números imaginarios son sólo un juego matemático que no tiene nada que ver con el mundo real. Sin embargo, desde el punto de vista de la filosofía positivista , no se puede determinar qué es real. Todo lo que se puede hacer es encontrar qué modelos matemáticos describen el universo en el que vivimos. Resulta que un modelo matemático que involucra tiempo imaginario predice no sólo efectos que ya hemos observado sino también efectos que no hemos podido medir pero en los que creemos por otras razones. Entonces, ¿qué es real y qué es imaginario? ¿Está la distinción sólo en nuestras mentes?"

—Stephen  Hawking ^{[2] : 59}

De hecho, los términos " real " e " imaginario " para los números son sólo un accidente histórico, muy parecido a los términos " racional " e " irracional ":

"...las palabras real e imaginario son reliquias pintorescas de una época en la que la naturaleza de los números complejos no se entendía adecuadamente".

-  HSM Coxeter ^[3]

En cosmología

Derivación

En el modelo de espacio-tiempo de Minkowski adoptado por la teoría de la relatividad , el espacio-tiempo se representa como una superficie o variedad de cuatro dimensiones . Su equivalente cuatridimensional de una distancia en el espacio tridimensional se llama intervalo . Suponiendo que un período de tiempo específico se representa como un número real de la misma manera que una distancia en el espacio, un intervalo en el espacio-tiempo relativista viene dado por la fórmula habitual pero con el tiempo negado: ${\displaystyle d}$

$${\displaystyle d^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}-t^{2}}$$

velocidad de la luz ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle (ct)^{2}}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle c=1}$

Matemáticamente esto equivale a escribir.

$${\displaystyle d^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}+(it)^{2}}$$

En este contexto, puede aceptarse como una característica de la relación entre el espacio y el tiempo real, como se indicó anteriormente, o alternativamente puede incorporarse al tiempo mismo, de modo que el valor del tiempo sea en sí mismo un número imaginario , denotado por . ^{[ cita necesaria ]} La ecuación luego se puede reescribir en forma normalizada: ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \tau }$

$${\displaystyle d^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}+\tau ^{2}}$$

De manera similar, sus cuatro vectores pueden escribirse como

$${\displaystyle (x_{0},x_{1},x_{2},x_{3})}$$

${\displaystyle x_{n}}$ ${\displaystyle x_{0}=ict}$ ${\displaystyle c}$

Aplicación a la cosmología

Hawking señaló la utilidad de rotar intervalos de tiempo en una métrica imaginaria en ciertas situaciones, en 1971. ^[4]

En cosmología física , el tiempo imaginario puede incorporarse a ciertos modelos del universo que son soluciones a las ecuaciones de la relatividad general . En particular, el tiempo imaginario puede ayudar a suavizar las singularidades gravitacionales , donde las leyes físicas conocidas fallan, para eliminar la singularidad y evitar tales fallas (ver estado de Hartle-Hawking ). El Big Bang , por ejemplo, aparece como una singularidad en el tiempo ordinario pero, cuando se modela con tiempo imaginario, la singularidad puede eliminarse y el Big Bang funciona como cualquier otro punto en el espacio-tiempo de cuatro dimensiones . Cualquier límite al espacio-tiempo es una forma de singularidad, donde la naturaleza fluida del espacio-tiempo se rompe. ^{[1] : 769–772} Con todas esas singularidades eliminadas del Universo, éste no puede tener límites y Stephen Hawking especuló que "la condición límite del Universo es que no tiene límites". ^{[2] : 85}

Sin embargo, la naturaleza no demostrada de la relación entre el tiempo físico real y el tiempo imaginario incorporado en tales modelos ha suscitado críticas. ^[5] Roger Penrose ha señalado que es necesario que haya una transición de la métrica de Riemann (a menudo denominada " euclidiana " en este contexto) con tiempo imaginario en el Big Bang a una métrica de Lorentz con tiempo real para el Universo en evolución. Además, las observaciones modernas sugieren que el Universo está abierto y nunca volverá a reducirse a un Big Crunch. Si esto resulta cierto, entonces el límite del fin de los tiempos aún permanece. ^{[1] : 769–772}

En mecánica estadística cuántica

Las ecuaciones del campo cuántico se pueden obtener tomando la transformada de Fourier de las ecuaciones de la mecánica estadística. Dado que la transformada de Fourier de una función suele aparecer como su inversa, las partículas puntuales de la mecánica estadística se convierten, bajo una transformada de Fourier, en los osciladores armónicos infinitamente extendidos de la teoría cuántica de campos . ^[6] La función de Green de un operador diferencial lineal no homogéneo , definido en un dominio con condiciones iniciales o condiciones de contorno específicas , es su respuesta al impulso , y matemáticamente definimos las partículas puntuales de la mecánica estadística como funciones delta de Dirac , es decir, impulsos. . A una temperatura finita , las funciones de Green son periódicas en un tiempo imaginario con un período de . Por lo tanto, sus transformadas de Fourier contienen sólo un conjunto discreto de frecuencias llamadas frecuencias de Matsubara . ${\displaystyle T}$ ${\textstyle 2\beta =2/T}$

La conexión entre la mecánica estadística y la teoría cuántica de campos también se ve en la amplitud de transición entre un estado inicial I y un estado final  F , donde H  es el hamiltoniano de ese sistema. Comparando esto con la función de partición se muestra que la función de partición se puede derivar de las amplitudes de transición sustituyendo , estableciendo F = I = n y sumando n . Esto evita la necesidad de hacer el doble de trabajo evaluando tanto las propiedades estadísticas como las amplitudes de transición. ${\textstyle \langle F\mid e^{-itH}\mid I\rangle }$ ${\textstyle Z=\operatorname {Tr} e^{-\beta H}}$ ${\textstyle t=\beta /i}$

Finalmente, utilizando una rotación de Wick se puede demostrar que la teoría cuántica de campos euclidiana en el espacio-tiempo ( D  + 1)-dimensional no es más que mecánica estadística cuántica en el espacio D -dimensional.

Ver también

• Gravedad cuántica euclidiana
• Múltiples dimensiones de tiempo

Referencias

1. Penrose, Roger (2004). El camino a la realidad. Jonathan Cabo . ISBN 9780224044479.
2. Hawking, Stephen W. (noviembre de 2001). El Universo en pocas palabras. Estados Unidos y Canadá: Bantam Books . págs. 58–61, 63, 82–85, 90–94, 99, 196. ISBN 9780553802023. OL  7850510M.
3. Coxeter, HSM (1949). El plano proyectivo real. Nueva York: McGraw-Hill Book Company . pag. 187 nota al pie.
4. Hawking, SW (15 de septiembre de 1978). "Gravedad cuántica e integrales de trayectoria" . Física. Rev. D. 18 (6): 1747–1753. Código bibliográfico : 1978PhRvD..18.1747H. doi : 10.1103/PhysRevD.18.1747 . Consultado el 25 de enero de 2023 . Es conveniente girar el intervalo de tiempo en este tubo temporal entre las dos superficies hacia el plano complejo, de modo que se vuelva puramente imaginario.
5. Deltete, Robert J.; Guy, Reed A. (agosto de 1996). «Surgiendo del tiempo imaginario» . Síntesis . 108 (2): 185-203. doi :10.1007/BF00413497. S2CID  44131608 . Consultado el 25 de enero de 2023 .
6. Wiese, Uwe-Jens (21 de agosto de 2007). "Teoría cuántica de campos" (PDF) . Instituto de Física Teórica . Universidad de Berna. pag. 63 . Consultado el 25 de enero de 2023 .

Otras lecturas

• Hawking, Stephen W. (1998). Una breve historia del tiempo (edición conmemorativa del décimo aniversario). Libros gallo. pag. 157.ISBN​ 978-0-553-10953-5.
• Gerald D. Mahan. Física de muchas partículas, Capítulo 3
• A. Zee Teoría cuántica de campos en pocas palabras, Capítulo V.2

enlaces externos

• El comienzo del tiempo: conferencia de Stephen Hawking que analiza el tiempo imaginario.
• El universo de Stephen Hawking: explicación de cosas extrañas Archivado el 3 de marzo de 2016 en Wayback Machine : sitio de PBS en tiempo imaginario.