Teoría de campos escalares

Teoría de campos de campos escalares

En física teórica , la teoría de campos escalares puede referirse a una teoría clásica o cuántica relativista invariante de campos escalares . Un campo escalar es invariante bajo cualquier transformación de Lorentz . ^[1]

El único campo cuántico escalar fundamental que se ha observado en la naturaleza es el campo de Higgs . Sin embargo, los campos cuánticos escalares aparecen en las descripciones de la teoría de campos efectiva de muchos fenómenos físicos. Un ejemplo es el pión , que en realidad es un pseudoescalar . ^[2]

Dado que no implican complicaciones de polarización , los campos escalares suelen ser los más fáciles de apreciar mediante una segunda cuantificación . Por este motivo, las teorías de campos escalares se utilizan a menudo con el fin de introducir conceptos y técnicas novedosos. ^[3]

La firma de la métrica empleada a continuación es (+ − − −) .

Teoría clásica de campos escalares

Una referencia general para esta sección es Ramond, Pierre (2001-12-21). Field Theory: A Modern Primer (Segunda edición). EE. UU.: Westview Press. ISBN  0-201-30450-3 , Cap. 1.

Teoría lineal (libre)

La teoría de campos escalares más básica es la teoría lineal . Mediante la descomposición de Fourier de los campos, representa los modos normales de una infinidad de osciladores acoplados donde el límite continuo del índice del oscilador i ahora se denota por x . La acción para la teoría de campos escalares relativista libre es entonces

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {S}}&=\int \mathrm {d} ^{D-1}x\mathrm {d} t{\mathcal {L}}\\&=\int \mathrm {d} ^{D-1}x\mathrm {d} t\left[{\frac {1}{2}}\eta ^{\mu \nu }\partial _{\mu }\phi \partial _{\nu }\phi -{\frac {1}{2}}m^{2}\phi ^{2}\right]\\[6pt]&=\int \mathrm {d} ^{D-1}x\mathrm {d} t\left[{\frac {1}{2}}(\partial _{t}\phi )^{2}-{\frac {1}{2}}\delta ^{ij}\partial _{i}\phi \partial _{j}\phi -{\frac {1}{2}}m^{2}\phi ^{2}\right],\end{aligned}}}$

donde se conoce como densidad lagrangiana ; d ⁴⁻¹ x ≡ dx ⋅ dy ⋅ dz ≡ dx ¹ ⋅ dx ² ⋅ dx ³ para las tres coordenadas espaciales; δ ^ij es la función delta de Kronecker ; y ∂ _ρ = ∂ / ∂x ^ρ para la ρ -ésima coordenada x ^ρ . ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$

Este es un ejemplo de una acción cuadrática, ya que cada uno de los términos es cuadrático en el campo, φ . El término proporcional a m ² se conoce a veces como término de masa, debido a su interpretación posterior, en la versión cuantizada de esta teoría, en términos de masa de la partícula.

La ecuación de movimiento para esta teoría se obtiene al extremar la acción anterior. Tiene la siguiente forma, lineal en φ ,

${\displaystyle \eta ^{\mu \nu }\partial _{\mu }\partial _{\nu }\phi +m^{2}\phi =\partial _{t}^{2}\phi -\nabla ^{2}\phi +m^{2}\phi =0~,}$

donde ∇ ² es el operador de Laplace . Se trata de la ecuación de Klein-Gordon , cuya interpretación es una ecuación de campo clásica, en lugar de una ecuación de onda de la mecánica cuántica.

Teoría no lineal (interactuante)

La generalización más común de la teoría lineal anterior es agregar un potencial escalar al lagrangiano , donde típicamente, además de un término de masa , el potencial tiene términos polinómicos de orden superior en . A veces se dice que una teoría de este tipo está interactuando, porque la ecuación de Euler-Lagrange ahora es no lineal, lo que implica una autointeracción . La acción para la teoría más general de este tipo es ${\displaystyle V(\phi )}$ ${\displaystyle m^{2}\phi ^{2}/2}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {S}}&=\int \mathrm {d} ^{D-1}x\,\mathrm {d} t{\mathcal {L}}\\[3pt]&=\int \mathrm {d} ^{D-1}x\mathrm {d} t\left[{\frac {1}{2}}\eta ^{\mu \nu }\partial _{\mu }\phi \partial _{\nu }\phi -V(\phi )\right]\\[3pt]&=\int \mathrm {d} ^{D-1}x\,\mathrm {d} t\left[{\frac {1}{2}}(\partial _{t}\phi )^{2}-{\frac {1}{2}}\delta ^{ij}\partial _{i}\phi \partial _{j}\phi -{\frac {1}{2}}m^{2}\phi ^{2}-\sum _{n=3}^{\infty }{\frac {1}{n!}}g_{n}\phi ^{n}\right]\end{aligned}}}$

Los factores en la expansión se introducen porque son útiles en la expansión del diagrama de Feynman de la teoría cuántica, como se describe a continuación. ${\displaystyle n!}$

La ecuación de movimiento de Euler-Lagrange correspondiente es ahora

${\displaystyle \eta ^{\mu \nu }\partial _{\mu }\partial _{\nu }\phi +V'(\phi )=\partial _{t}^{2}\phi -\nabla ^{2}\phi +V'(\phi )=0.}$

Análisis dimensional y escalamiento

Las cantidades físicas en estas teorías de campos escalares pueden tener dimensiones de longitud, tiempo o masa, o alguna combinación de las tres.

Sin embargo, en una teoría relativista, cualquier cantidad t , con dimensiones de tiempo, se puede convertir fácilmente en una longitud , l = ct , utilizando la velocidad de la luz , c . De manera similar, cualquier longitud l es equivalente a una masa inversa, ħ = lmc , utilizando la constante de Planck , ħ . En unidades naturales, uno piensa en un tiempo como una longitud, o en el tiempo o la longitud como una masa inversa.

En resumen, se puede pensar en las dimensiones de cualquier magnitud física como definidas en términos de una sola dimensión independiente, en lugar de en términos de las tres. Esto se suele denominar la dimensión de masa de la magnitud. Conocer las dimensiones de cada magnitud permite restaurar de forma única las dimensiones convencionales a partir de una expresión de unidades naturales en términos de esta dimensión de masa, simplemente reinsertando las potencias de ħ y c necesarias para la coherencia dimensional.

Una posible objeción es que esta teoría es clásica y, por lo tanto, no resulta obvio cómo la constante de Planck debería ser parte de la teoría. Si se desea, se podría reformular la teoría sin dimensiones de masa en absoluto; sin embargo, esto sería a costa de oscurecer ligeramente la conexión con el campo escalar cuántico. Dado que se tienen dimensiones de masa, la constante de Planck se considera aquí como una cantidad de referencia fija esencialmente arbitraria de acción (no necesariamente relacionada con la cuantización), por lo tanto con dimensiones apropiadas para convertir entre masa y longitud inversa .

Dimensión de escala

La dimensión de escala clásica , o dimensión de masa, Δ , de φ describe la transformación del campo bajo un reescalamiento de coordenadas:

${\displaystyle x\rightarrow \lambda x}$

${\displaystyle \phi \rightarrow \lambda ^{-\Delta }\phi ~.}$

Las unidades de acción son las mismas que las unidades de ħ , por lo que la acción en sí tiene una dimensión de masa cero. Esto fija la dimensión de escala del campo φ en

${\displaystyle \Delta ={\frac {D-2}{2}}.}$

Invariancia de escala

Hay un sentido específico en el que algunas teorías de campos escalares son invariantes en la escala . Si bien las acciones anteriores están todas construidas para tener una dimensión de masa cero, no todas las acciones son invariantes bajo la transformación de escala.

${\displaystyle x\rightarrow \lambda x}$

${\displaystyle \phi \rightarrow \lambda ^{-\Delta }\phi ~.}$

La razón por la que no todas las acciones son invariantes es que normalmente se piensa en los parámetros m y g _n como cantidades fijas, que no se reescalan bajo la transformación anterior. La condición para que una teoría de campos escalares sea invariante en la escala es entonces bastante obvia: todos los parámetros que aparecen en la acción deben ser cantidades adimensionales. En otras palabras, una teoría invariante en la escala es una teoría sin ninguna escala de longitud fija (o equivalentemente, escala de masa).

Para una teoría de campos escalares con dimensiones de espacio-tiempo D , el único parámetro adimensional g _n satisface n = 2 D ⁄ ( D − 2) . Por ejemplo, en D = 4, solo g ₄ es clásicamente adimensional, y por lo tanto la única teoría de campos escalares clásicamente invariante en escala en D = 4 es la teoría sin masa φ 4 .

Sin embargo, la invariancia de escala clásica normalmente no implica invariancia de escala cuántica, debido al grupo de renormalización involucrado (véase la discusión de la función beta a continuación).

Invariancia conforme

Una transformación

${\displaystyle x\rightarrow {\tilde {x}}(x)}$

Se dice que es conforme si la transformación satisface

${\displaystyle {\frac {\partial {\tilde {x^{\mu }}}}{\partial x^{\rho }}}{\frac {\partial {\tilde {x^{\nu }}}}{\partial x^{\sigma }}}\eta _{\mu \nu }=\lambda ^{2}(x)\eta _{\rho \sigma }}$

para alguna función λ ( x ) .

El grupo conforme contiene como subgrupos las isometrías de la métrica (el grupo de Poincaré ) y también las transformaciones de escala (o dilataciones ) consideradas anteriormente. De hecho, las teorías invariantes de escala de la sección anterior también son invariantes conformemente. ${\displaystyle \eta _{\mu \nu }}$

φ4teoría

La teoría masiva φ ⁴ ilustra una serie de fenómenos interesantes en la teoría de campos escalares.

La densidad lagrangiana es

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}(\partial _{t}\phi )^{2}-{\frac {1}{2}}\delta ^{ij}\partial _{i}\phi \partial _{j}\phi -{\frac {1}{2}}m^{2}\phi ^{2}-{\frac {g}{4!}}\phi ^{4}.}$

Ruptura espontánea de simetría

Este lagrangiano tiene simetría bajo la transformación φ → − φ . Este es un ejemplo de simetría interna , en contraste con una simetría espacio-temporal . ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$

Si m ² es positivo, el potencial

${\displaystyle V(\phi )={\frac {1}{2}}m^{2}\phi ^{2}+{\frac {g}{4!}}\phi ^{4}}$

tiene un único mínimo, en el origen. La solución φ = 0 es claramente invariante bajo la simetría. ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$

Por el contrario, si m ² es negativo, entonces se puede ver fácilmente que el potencial

${\displaystyle V(\phi )={\frac {1}{2}}m^{2}\phi ^{2}+{\frac {g}{4!}}\phi ^{4}}$

tiene dos mínimos. Esto se conoce como potencial de pozo doble , y los estados de energía más bajos (conocidos como vacíos, en el lenguaje de la teoría cuántica de campos) en dicha teoría no son invariantes bajo la simetría de la acción (de hecho, mapea cada uno de los dos vacíos en el otro). En este caso, se dice que la simetría se rompe espontáneamente . ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$

Soluciones para problemas de torceduras

La teoría φ ^{4 con un} m ² negativo también tiene una solución de kink, que es un ejemplo canónico de un solitón . Una solución de este tipo tiene la forma

${\displaystyle \phi ({\vec {x}},t)=\pm {\frac {m}{2{\sqrt {\frac {g}{4!}}}}}\tanh \left[{\frac {m(x-x_{0})}{\sqrt {2}}}\right]}$

donde x es una de las variables espaciales ( φ se considera independiente de t y de las restantes variables espaciales). La solución interpola entre los dos vacíos diferentes del potencial de pozo doble. No es posible deformar el kink en una solución constante sin pasar por una solución de energía infinita y, por esta razón, se dice que el kink es estable. Para D >2 (es decir, teorías con más de una dimensión espacial), esta solución se denomina pared de dominio .

Otro ejemplo bien conocido de una teoría de campo escalar con soluciones de kink es la teoría de seno-Gordon .

Teoría de campos escalares complejos

En una teoría de campos escalares complejos, el campo escalar toma valores en números complejos, en lugar de números reales. El campo escalar complejo representa partículas y antipartículas de espín 0 con carga. La acción considerada normalmente toma la forma

${\displaystyle {\mathcal {S}}=\int \mathrm {d} ^{D-1}x\,\mathrm {d} t{\mathcal {L}}=\int \mathrm {d} ^{D-1}x\,\mathrm {d} t\left[\eta ^{\mu \nu }\partial _{\mu }\phi ^{*}\partial _{\nu }\phi -V(|\phi |^{2})\right]}$

Esta tiene una simetría U(1) , equivalentemente O(2), cuya acción sobre el espacio de campos gira , para algún ángulo de fase real α . ${\displaystyle \phi \rightarrow e^{i\alpha }\phi }$

En cuanto al campo escalar real, se encuentra una ruptura espontánea de simetría si m ² es negativo. Esto da lugar al potencial de sombrero mexicano de Goldstone , que es una rotación del potencial de doble pozo de un campo escalar real a través de 2π radianes alrededor del eje V. La ruptura de simetría tiene lugar en una dimensión superior, es decir, la elección del vacío rompe una simetría U (1) continua en lugar de una discreta. Los dos componentes del campo escalar se reconfiguran como un modo masivo y un bosón de Goldstone sin masa . ${\displaystyle (\phi )}$

Oh(norte) teoría

La teoría de campos escalares complejos se puede expresar en términos de dos campos reales, φ ¹ = Re φ y φ ² = Im φ , que se transforman en la representación vectorial de la simetría interna U(1) = O(2). Aunque dichos campos se transforman como un vector bajo la simetría interna , siguen siendo escalares de Lorentz.

Esto se puede generalizar a una teoría de campos escalares N que se transforman en la representación vectorial de la simetría O ( N ) . El lagrangiano para una teoría de campos escalares O ( N )-invariante es típicamente de la forma

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}\eta ^{\mu \nu }\partial _{\mu }\phi \cdot \partial _{\nu }\phi -V(\phi \cdot \phi )}$

utilizando un producto interno O ( N )-invariante apropiado . La teoría también se puede expresar para campos vectoriales complejos, es decir para , en cuyo caso el grupo de simetría es el grupo de Lie SU(N) . ${\displaystyle \phi \in \mathbb {C} ^{n}}$

Acoplamientos de campo de medición

Cuando la teoría de campos escalares se acopla de manera invariante a la acción de Yang-Mills , se obtiene la teoría de superconductores de Ginzburg-Landau. Los solitones topológicos de esa teoría corresponden a vórtices en un superconductor ; el mínimo del potencial de sombrero mexicano corresponde al parámetro de orden del superconductor.

Teoría cuántica de campos escalares

Una referencia general para esta sección es Ramond, Pierre (2001-12-21). Field Theory: A Modern Primer (Segunda edición). EE. UU.: Westview Press. ISBN 0-201-30450-3 , cap. 4  

En la teoría cuántica de campos , los campos y todos los observables construidos a partir de ellos se reemplazan por operadores cuánticos en un espacio de Hilbert . Este espacio de Hilbert se construye sobre un estado de vacío y la dinámica está gobernada por un hamiltoniano cuántico , un operador positivo definido que aniquila el vacío. En el artículo sobre cuantificación canónica se detalla una construcción de una teoría cuántica de campos escalares , que se basa en relaciones de conmutación canónicas entre los campos. Esencialmente, la infinidad de osciladores clásicos reempaquetados en el campo escalar como sus modos normales (desacoplados), arriba, ahora se cuantifican de la manera estándar, por lo que el respectivo campo de operadores cuánticos describe una infinidad de osciladores armónicos cuánticos que actúan en un respectivo espacio de Fock .

En resumen, las variables básicas son el campo cuántico φ y su momento canónico π . Ambos campos con valores de operador son hermíticos . En los puntos espaciales x → , y → y en tiempos iguales, sus relaciones de conmutación canónicas están dadas por

${\displaystyle {\begin{aligned}\left[\phi \left({\vec {x}}\right),\phi \left({\vec {y}}\right)\right]=\left[\pi \left({\vec {x}}\right),\pi \left({\vec {y}}\right)\right]&=0,\\\left[\phi \left({\vec {x}}\right),\pi \left({\vec {y}}\right)\right]&=i\delta \left({\vec {x}}-{\vec {y}}\right),\end{aligned}}}$

mientras que el hamiltoniano libre es, de manera similar al anterior,

${\displaystyle H=\int d^{3}x\left[{1 \over 2}\pi ^{2}+{1 \over 2}(\nabla \phi )^{2}+{m^{2} \over 2}\phi ^{2}\right].}$

Una transformada de Fourier espacial conduce a campos espaciales de momento

${\displaystyle {\begin{aligned}{\widetilde {\phi }}({\vec {k}})&=\int d^{3}xe^{-i{\vec {k}}\cdot {\vec {x}}}\phi ({\vec {x}}),\\{\widetilde {\pi }}({\vec {k}})&=\int d^{3}xe^{-i{\vec {k}}\cdot {\vec {x}}}\pi ({\vec {x}})\end{aligned}}}$

que resuelven los operadores de aniquilación y creación

${\displaystyle {\begin{aligned}a({\vec {k}})&=\left(E{\widetilde {\phi }}({\vec {k}})+i{\widetilde {\pi }}({\vec {k}})\right),\\a^{\dagger }({\vec {k}})&=\left(E{\widetilde {\phi }}({\vec {k}})-i{\widetilde {\pi }}({\vec {k}})\right),\end{aligned}}}$

dónde . ${\displaystyle E={\sqrt {k^{2}+m^{2}}}}$

Estos operadores satisfacen las relaciones de conmutación

${\displaystyle {\begin{aligned}\left[a({\vec {k}}_{1}),a({\vec {k}}_{2})\right]=\left[a^{\dagger }({\vec {k}}_{1}),a^{\dagger }({\vec {k}}_{2})\right]&=0,\\\left[a({\vec {k}}_{1}),a^{\dagger }({\vec {k}}_{2})\right]&=(2\pi )^{3}2E\delta ({\vec {k}}_{1}-{\vec {k}}_{2}).\end{aligned}}}$

El estado aniquilado por todos los operadores a se identifica como el vacío desnudo , y se crea una partícula con momento k → al aplicarla al vacío. ${\displaystyle |0\rangle }$ ${\displaystyle a^{\dagger }({\vec {k}})}$

Aplicando todas las combinaciones posibles de operadores de creación al vacío se construye el espacio de Hilbert correspondiente : Esta construcción se llama espacio de Fock . El vacío es aniquilado por el hamiltoniano

${\displaystyle H=\int {d^{3}k \over (2\pi )^{3}}{\frac {1}{2}}a^{\dagger }({\vec {k}})a({\vec {k}}),}$

donde la energía del punto cero ha sido eliminada por ordenamiento de Wick . (Ver cuantificación canónica ).

Las interacciones se pueden incluir añadiendo un hamiltoniano de interacción. Para una teoría φ ^{4 , esto corresponde a añadir un término ordenado de Wick} g : φ ⁴ :/4! al hamiltoniano, e integrar sobre x . Las amplitudes de dispersión se pueden calcular a partir de este hamiltoniano en la imagen de interacción . Estas se construyen en la teoría de perturbaciones por medio de la serie de Dyson , que da los productos ordenados en el tiempo, o funciones de Green de n -partículas como se describe en el artículo de la serie de Dyson . Las funciones de Green también se pueden obtener a partir de una función generadora que se construye como una solución a la ecuación de Schwinger–Dyson . ${\displaystyle \langle 0|{\mathcal {T}}\{\phi (x_{1})\cdots \phi (x_{n})\}|0\rangle }$

Integral de trayectoria de Feynman

La expansión del diagrama de Feynman también se puede obtener a partir de la formulación de la integral de trayectoria de Feynman . ^[4] Los valores esperados de vacío ordenados en el tiempo de los polinomios en φ , conocidos como funciones de Green de n -partículas, se construyen integrando sobre todos los campos posibles, normalizados por el valor esperado de vacío sin campos externos,

${\displaystyle \langle 0|{\mathcal {T}}\{\phi (x_{1})\cdots \phi (x_{n})\}|0\rangle ={\frac {\int {\mathcal {D}}\phi \phi (x_{1})\cdots \phi (x_{n})e^{i\int d^{4}x\left({1 \over 2}\partial ^{\mu }\phi \partial _{\mu }\phi -{m^{2} \over 2}\phi ^{2}-{g \over 4!}\phi ^{4}\right)}}{\int {\mathcal {D}}\phi e^{i\int d^{4}x\left({1 \over 2}\partial ^{\mu }\phi \partial _{\mu }\phi -{m^{2} \over 2}\phi ^{2}-{g \over 4!}\phi ^{4}\right)}}}.}$

Todas estas funciones de Green se pueden obtener expandiendo la exponencial en J ( x )φ( x ) en la función generadora

${\displaystyle Z[J]=\int {\mathcal {D}}\phi e^{i\int d^{4}x\left({1 \over 2}\partial ^{\mu }\phi \partial _{\mu }\phi -{m^{2} \over 2}\phi ^{2}-{g \over 4!}\phi ^{4}+J\phi \right)}=Z[0]\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {i^{n}}{n!}}J(x_{1})\cdots J(x_{n})\langle 0|{\mathcal {T}}\{\phi (x_{1})\cdots \phi (x_{n})\}|0\rangle .}$

Se puede aplicar una rotación de Wick para hacer que el tiempo sea imaginario. Si se cambia la signatura a (++++), la integral de Feynman se convierte en una función de partición de mecánica estadística en el espacio euclidiano .

${\displaystyle Z[J]=\int {\mathcal {D}}\phi e^{-\int d^{4}x\left[{1 \over 2}(\nabla \phi )^{2}+{m^{2} \over 2}\phi ^{2}+{g \over 4!}\phi ^{4}+J\phi \right]}.}$

Normalmente, esto se aplica a la dispersión de partículas con momentos fijos, en cuyo caso, es útil una transformada de Fourier , que da en cambio

${\displaystyle {\tilde {Z}}[{\tilde {J}}]=\int {\mathcal {D}}{\tilde {\phi }}e^{-\int {d^{4}p \over (2\pi )^{4}}\left({1 \over 2}(p^{2}+m^{2}){\tilde {\phi }}^{2}-{\tilde {J}}{\tilde {\phi }}+{g \over 4!}{\int {d^{4}p_{1} \over (2\pi )^{4}}{d^{4}p_{2} \over (2\pi )^{4}}{d^{4}p_{3} \over (2\pi )^{4}}\delta (p-p_{1}-p_{2}-p_{3}){\tilde {\phi }}(p){\tilde {\phi }}(p_{1}){\tilde {\phi }}(p_{2}){\tilde {\phi }}(p_{3})}\right)}.}$

¿Dónde está la función delta de Dirac ? ${\displaystyle \delta (x)}$

El truco estándar para evaluar esta integral funcional es escribirla como un producto de factores exponenciales, esquemáticamente,

${\displaystyle {\tilde {Z}}[{\tilde {J}}]=\int {\mathcal {D}}{\tilde {\phi }}\prod _{p}\left[e^{-(p^{2}+m^{2}){\tilde {\phi }}^{2}/2}e^{-g/4!\int {d^{4}p_{1} \over (2\pi )^{4}}{d^{4}p_{2} \over (2\pi )^{4}}{d^{4}p_{3} \over (2\pi )^{4}}\delta (p-p_{1}-p_{2}-p_{3}){\tilde {\phi }}(p){\tilde {\phi }}(p_{1}){\tilde {\phi }}(p_{2}){\tilde {\phi }}(p_{3})}e^{{\tilde {J}}{\tilde {\phi }}}\right].}$

Los dos segundos factores exponenciales pueden expandirse como series de potencias, y la combinatoria de esta expansión puede representarse gráficamente a través de diagramas de Feynman de la interacción cuártica .

La integral con g = 0 puede tratarse como un producto de infinitas integrales gaussianas elementales: el resultado puede expresarse como una suma de diagramas de Feynman , calculados utilizando las siguientes reglas de Feynman:

• Cada campo ~φ( p ) en la función de Green euclidiana de n puntos está representada por una línea externa (mitad del borde) en el gráfico, y asociada con el momento p .
• Cada vértice está representado por un factor − g .
• En un orden dado g ^k , todos los diagramas con n líneas externas y k vértices se construyen de manera que el momento que fluye hacia cada vértice sea cero. Cada línea interna está representada por un propagador 1/( q ² + m ² ), donde q es el momento que fluye a través de esa línea.
• Todos los momentos no restringidos se integran sobre todos los valores.
• El resultado se divide por un factor de simetría, que es el número de formas en que se pueden reorganizar las líneas y los vértices del gráfico sin cambiar su conectividad.
• No incluya gráficos que contengan "burbujas de vacío", subgráficos conectados sin líneas externas.

La última regla tiene en cuenta el efecto de dividir por ~O[0]. Las reglas de Feynman del espacio de Minkowski son similares, excepto que cada vértice está representado por −ig , mientras que cada línea interna está representada por un propagador i /( q ² − m ² + iε ), donde el término ε representa la pequeña rotación de Wick necesaria para hacer que la integral gaussiana del espacio de Minkowski converja.

Renormalización

Las integrales sobre momentos no restringidos, llamadas "integrales de bucle", en los gráficos de Feynman suelen divergir. Esto normalmente se soluciona mediante renormalización , que es un procedimiento de añadir contratérminos divergentes al lagrangiano de tal manera que los diagramas construidos a partir del lagrangiano original y los contratérminos sean finitos. ^[5] Se debe introducir una escala de renormalización en el proceso, y la constante de acoplamiento y la masa pasan a depender de ella.

La dependencia de una constante de acoplamiento g en la escala λ está codificada por una función beta , β ( g ) , definida por

${\displaystyle \beta (g)=\lambda \,{\frac {\partial g}{\partial \lambda }}~.}$

Esta dependencia de la escala de energía se conoce como "el funcionamiento del parámetro de acoplamiento", y la teoría de esta dependencia sistemática de la escala en la teoría cuántica de campos está descrita por el grupo de renormalización .

Las funciones beta se calculan generalmente en un esquema de aproximación, más comúnmente la teoría de perturbaciones , donde se supone que la constante de acoplamiento es pequeña. Luego se puede hacer una expansión en potencias de los parámetros de acoplamiento y truncar los términos de orden superior (también conocidos como contribuciones de bucles superiores , debido a la cantidad de bucles en los gráficos de Feynman correspondientes ).

La función β en un bucle (la primera contribución perturbativa) para la teoría φ ^{4 es}

${\displaystyle \beta (g)={\frac {3}{16\pi ^{2}}}g^{2}+O\left(g^{3}\right)~.}$

El hecho de que el signo delante del término de orden más bajo sea positivo sugiere que la constante de acoplamiento aumenta con la energía. Si este comportamiento persistiera en acoplamientos grandes, esto indicaría la presencia de un polo de Landau en energía finita, que surge de la trivialidad cuántica . Sin embargo, la pregunta solo puede responderse de manera no perturbativa, ya que implica un acoplamiento fuerte.

Se dice que una teoría cuántica de campos es trivial cuando el acoplamiento renormalizado, calculado a través de su función beta , tiende a cero cuando se elimina el límite ultravioleta. En consecuencia, el propagador se convierte en el de una partícula libre y el campo ya no interactúa.

Para una interacción φ ⁴ , Michael Aizenman demostró que la teoría es de hecho trivial, para la dimensión espacio-temporal D ≥ 5. ^[6]

En el caso de D = 4, la trivialidad aún no se ha demostrado rigurosamente, pero los cálculos en red han proporcionado pruebas sólidas de ello. Este hecho es importante, ya que la trivialidad cuántica se puede utilizar para limitar o incluso predecir parámetros como la masa del bosón de Higgs . Esto también puede conducir a una masa de Higgs predecible en escenarios de seguridad asintótica . ^[7]

Véase también

• Renormalización
• Trivialidad cuántica
• Poste Landau
• Invariancia de escala (descripción de CFT)
• Electrodinámica escalar

Notas

1. es decir, se transforma bajo la representación trivial (0, 0) del grupo de Lorentz, dejando inalterado el valor del campo en cualquier punto del espacio-tiempo, en contraste con un campo vectorial o tensorial , o más generalmente, espinor-tensores, cuyos componentes experimentan una mezcla bajo las transformaciones de Lorentz. Dado que el espín de una partícula o campo por definición está determinado por la representación de Lorentz bajo la cual se transforma, todos los campos y partículas escalares (y pseudoescalares) tienen espín cero y, como tales, son bosónicos según el teorema de estadística de espín . Véase Weinberg 1995, Capítulo 5.
2. Esto significa que no es invariante bajo transformaciones de paridad que invierten las direcciones espaciales, lo que lo distingue de un escalar verdadero, que es invariante en paridad. Véase Weinberg 1998, Capítulo 19.
3. Brown, Lowell S. (1994). Teoría cuántica de campos . Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-46946-3.Cap. 3.
4. Una referencia general para esta sección es Ramond, Pierre (2001-12-21). Field Theory: A Modern Primer (Segunda edición). EE. UU.: Westview Press. ISBN 0-201-30450-3.
5. Véase la referencia anterior o, para más detalles, Itzykson, Zuber; Zuber, Jean-Bernard (2006-02-24). Teoría cuántica de campos . Dover. ISBN 0-07-032071-3.
6. Aizenman, M. (1981). "Prueba de la trivialidad de Φ⁴
   _díasTeoría de campos y algunas características de campo medio de los modelos de Ising para d > 4". Physical Review Letters . 47 (1): 1–4. Bibcode :1981PhRvL..47....1A. doi :10.1103/PhysRevLett.47.1.
7. Callaway, DJE (1988). "Búsqueda de trivialidades: ¿pueden existir partículas escalares elementales?". Physics Reports . 167 (5): 241–320. Bibcode :1988PhR...167..241C. doi :10.1016/0370-1573(88)90008-7.

Referencias

• Peskin, M. y Schroeder, D. (1995). Introducción a la teoría cuántica de campos. Westview Press. ISBN 978-0201503975.
• Weinberg, S. (1995). La teoría cuántica de campos . Vol. I. Cambridge University Press. ISBN 0-521-55001-7.
• Weinberg, S. (1998). La teoría cuántica de campos . Vol. II. Cambridge University Press. ISBN 0-521-55002-5.
• Srednicki, M. (2007). Teoría cuántica de campos . Cambridge University Press. ISBN 9780521864497.
• Zinn-Justin, J (2002). Teoría cuántica de campos y fenómenos críticos . Oxford University Press. ISBN 978-0198509233.

Enlaces externos

• La base conceptual de la teoría cuántica de campos Haga clic en el enlace del capítulo 3 para encontrar una introducción extensa y simplificada a los escalares en la mecánica cuántica relativista y la teoría cuántica de campos.