En física matemática, la realización no lineal de un grupo de Lie G que posee un subgrupo H de Cartan es una representación inducida particular de G. De hecho, es una representación de un álgebra de Lie de G en una vecindad de su origen. Una realización no lineal, cuando se restringe al subgrupo H, se reduce a una representación lineal.
Una técnica de realización no lineal es parte integrante de muchas teorías de campo con ruptura espontánea de la simetría , por ejemplo, modelos quirales , ruptura de la simetría quiral , teoría del bosón de Goldstone , teoría clásica del campo de Higgs , teoría de la gravitación calibre y supergravedad .
Sea G un grupo de Lie y H su subgrupo de Cartan que admite una representación lineal en un espacio vectorial V. Un álgebra de Lie de G se divide en la suma de la subálgebra de Cartan de H y su suplemento , de modo que
(En física, por ejemplo, hay generadores vectoriales y axiales).
Existe una vecindad abierta U de la unidad de G tal que cualquier elemento adopta de forma única la forma
Sea una vecindad abierta de la unidad de G tal que , y sea una vecindad abierta del centro invariante H del cociente G/H que consta de elementos
Luego hay una sección local de
más .
Con esta sección local, se puede definir la representación inducida , llamada realización no lineal , de elementos dados por las expresiones
La realización no lineal correspondiente de un álgebra de Lie de G toma la siguiente forma.
Sean , las bases de y , respectivamente, junto con las relaciones de conmutación
Entonces una realización no lineal deseada de lecturas
- ,
hasta el segundo orden en .
En los modelos físicos, los coeficientes se tratan como campos de Goldstone . De manera similar, se consideran realizaciones no lineales de superálgebras de Lie .
Ver también
Referencias
- Coleman, S.; Wess, J.; Zumino, Bruno (25 de enero de 1969). "Estructura de los lagrangianos fenomenológicos. I". Revisión física . 177 (5). Sociedad Estadounidense de Física (APS): 2239–2247. Código bibliográfico : 1969PhRv..177.2239C. doi : 10.1103/physrev.177.2239. ISSN 0031-899X.
- José, A.; Salomón, AI (1970). "Transformaciones quirales no lineales globales e infinitesimales". Revista de Física Matemática . 11 (3). Publicación AIP: 748–761. Código bibliográfico : 1970JMP....11..748J. doi :10.1063/1.1665205. ISSN 0022-2488.
- Giachetta G., Mangiarotti L., Sardanashvily G. , Teoría de campos clásica avanzada , World Scientific, 2009, ISBN 978-981-283-895-7 .