Teoría del calibre

Physical theory with fields invariant under the action of local "gauge" Lie groups

En física , una teoría de calibre es un tipo de teoría de campos en la que el lagrangiano , y por tanto la dinámica del propio sistema, no cambian bajo transformaciones locales según ciertas familias suaves de operaciones ( grupos de Lie ). Formalmente, el lagrangiano es invariante .

El término calibre se refiere a cualquier formalismo matemático específico para regular grados de libertad redundantes en el lagrangiano de un sistema físico. Las transformaciones entre posibles calibres, llamadas transformaciones de calibre , forman un grupo de Lie, denominado grupo de simetría o grupo de calibre de la teoría. Asociada con cualquier grupo de Lie está el álgebra de Lie de generadores de grupos . Para cada generador de grupo surge necesariamente un campo correspondiente (generalmente un campo vectorial ) llamado campo calibre . Los campos de calibre se incluyen en el lagrangiano para garantizar su invariancia bajo las transformaciones del grupo local (llamado invariancia de calibre ). Cuando se cuantifica dicha teoría , los cuantos de los campos de calibre se denominan bosones de calibre . Si el grupo de simetría no es conmutativo, entonces la teoría de calibre se denomina teoría de calibre no abeliano , siendo el ejemplo habitual la teoría de Yang-Mills .

Los lagrangianos describen muchas teorías poderosas en física que son invariantes bajo algunos grupos de transformación de simetría. Cuando son invariantes bajo una transformación realizada de manera idéntica en cada punto del espacio-tiempo en el que ocurren los procesos físicos, se dice que tienen una simetría global . La simetría local , la piedra angular de las teorías de calibre, es una restricción más fuerte. De hecho, una simetría global es simplemente una simetría local cuyos parámetros de grupo están fijos en el espacio-tiempo (de la misma manera que un valor constante puede entenderse como una función de un determinado parámetro, cuya salida es siempre la misma).

Las teorías de calibre son importantes como teorías de campo exitosas que explican la dinámica de las partículas elementales . La electrodinámica cuántica es una teoría de calibre abeliana con el grupo de simetría U (1) y tiene un campo de calibre, el cuatro potencial electromagnético , siendo el fotón el bosón de calibre. El Modelo Estándar es una teoría de calibre no abeliano con el grupo de simetría U(1) × SU(2) × SU(3) y tiene un total de doce bosones de calibre: el fotón , tres bosones débiles y ocho gluones .

Las teorías de calibre también son importantes para explicar la gravitación en la teoría de la relatividad general . Su caso es algo inusual porque el campo de calibre es un tensor, el tensor de Lanczos . Las teorías de la gravedad cuántica , comenzando con la teoría de la gravitación calibre , también postulan la existencia de un bosón calibre conocido como gravitón . Las simetrías de calibre pueden verse como analogías del principio de covarianza general de la relatividad general en el que el sistema de coordenadas se puede elegir libremente bajo difeomorfismos arbitrarios del espacio-tiempo. Tanto la invariancia de calibre como la invariancia de difeomorfismo reflejan una redundancia en la descripción del sistema. Una teoría alternativa de la gravitación, la teoría de la gravedad calibre , reemplaza el principio de covarianza general con un verdadero principio de calibre con nuevos campos de calibre.

Históricamente, estas ideas se expresaron por primera vez en el contexto del electromagnetismo clásico y más tarde en la relatividad general . Sin embargo, la importancia moderna de las simetrías de calibre apareció por primera vez en la mecánica cuántica relativista de los electrones  : la electrodinámica cuántica , que se detalla a continuación. Hoy en día, las teorías de calibre son útiles en materia condensada , física nuclear y de altas energías , entre otros subcampos.

Historia

El concepto y el nombre de teoría de calibre deriva del trabajo de Hermann Weyl en 1918. ^[1] Weyl, en un intento de generalizar las ideas geométricas de la relatividad general para incluir el electromagnetismo , conjeturó que la Eichinvarianz o invariancia bajo el cambio de escala (o "calibre") también podría ser una simetría local de la relatividad general. Después del desarrollo de la mecánica cuántica , Weyl, Vladimir Fock ^[2] y Fritz London reemplazaron el factor de escala simple con una cantidad compleja y convirtieron la transformación de escala en un cambio de fase , que es una simetría de calibre U(1). Esto explica el efecto del campo electromagnético sobre la función de onda de una partícula mecánica cuántica cargada . El artículo de Weyl de 1929 introdujo el concepto moderno de invariancia de calibre ^[3] posteriormente popularizado por Pauli en su revisión de 1941. ^[4] En retrospectiva, la formulación de Maxwell , en 1864-65, de la electrodinámica (" Una teoría dinámica del campo electromagnético ") sugirió la posibilidad de la invariancia, cuando afirmó que cualquier campo vectorial cuya curvatura desaparezca y, por lo tanto, pueda normalmente escribirse como un gradiente de una función: podría agregarse al potencial del vector sin afectar el campo magnético . De manera similar, Hilbert había deducido las ecuaciones de campo de Einstein postulando la invariancia de la acción bajo una transformación de coordenadas general. La importancia de estas invariancias de simetría pasó desapercibida hasta el trabajo de Weyl.

Inspirado por las descripciones de Pauli sobre la conexión entre la conservación de la carga y la teoría de campo impulsada por la invariancia, Chen Ning Yang buscó una teoría de campo para la unión de núcleos atómicos basada en la conservación del isospin nuclear . ^{[5] : 202} En 1954, Yang y Robert Mills generalizaron la invariancia de calibre del electromagnetismo, construyendo una teoría basada en la acción del grupo de simetría (no abeliano) SU(2) sobre el doblete isospin de protones y neutrones . ^[6] Esto es similar a la acción del grupo U(1) en los campos de espinor de la electrodinámica cuántica .

La teoría de Yang-Mills se convirtió en el prototipo de teoría para resolver algunas de las grandes confusiones en la física de partículas elementales . Esta idea encontró posteriormente aplicación en la teoría cuántica de campos de la fuerza débil , y su unificación con el electromagnetismo en la teoría electrodébil . Las teorías de calibre se volvieron aún más atractivas cuando se dio cuenta de que las teorías de calibre no abelianas reproducían una característica llamada libertad asintótica . Se creía que la libertad asintótica era una característica importante de las interacciones fuertes. Esto motivó la búsqueda de una teoría sólida del medidor de fuerza. Esta teoría, ahora conocida como cromodinámica cuántica , es una teoría de calibre con la acción del grupo SU(3) sobre el triplete de colores de los quarks . El Modelo Estándar unifica la descripción del electromagnetismo, las interacciones débiles y las interacciones fuertes en el lenguaje de la teoría de calibre.

En la década de 1970, Michael Atiyah comenzó a estudiar las matemáticas de las soluciones de las ecuaciones clásicas de Yang-Mills . En 1983, el alumno de Atiyah, Simon Donaldson, se basó en este trabajo para demostrar que la clasificación diferenciable de variedades 4 suaves es muy diferente de su clasificación hasta el homeomorfismo . ^[7] Michael Freedman utilizó el trabajo de Donaldson para exhibir R 4 exóticos , es decir, estructuras exóticas diferenciables en el espacio euclidiano de 4 dimensiones. Esto llevó a un interés creciente por la teoría de calibres por sí misma, independientemente de sus éxitos en la física fundamental. En 1994, Edward Witten y Nathan Seiberg inventaron técnicas de teoría de calibre basadas en la supersimetría que permitieron el cálculo de ciertos invariantes topológicos ^{[8] [9]} (los invariantes de Seiberg-Witten ). Estas contribuciones a las matemáticas desde la teoría de calibre han llevado a un renovado interés en esta área.

La importancia de las teorías de calibre en física se ejemplifica en el tremendo éxito del formalismo matemático al proporcionar un marco unificado para describir las teorías cuánticas de campos del electromagnetismo , la fuerza débil y la fuerza fuerte . Esta teoría, conocida como Modelo Estándar , describe con precisión predicciones experimentales con respecto a tres de las cuatro fuerzas fundamentales de la naturaleza, y es una teoría de calibre con el grupo de calibre SU(3) × SU(2) × U(1) . Las teorías modernas como la teoría de cuerdas , así como la relatividad general , son, de una forma u otra, teorías de calibre.

Véase Jackson y Okun ^[10] para conocer la historia temprana del calibre y Pickering ^[11] para obtener más información sobre la historia de las teorías del calibre y del campo cuántico.

Descripción

Simetrías globales y locales

simetría global

En física , la descripción matemática de cualquier situación física suele contener grados de libertad excesivos ; la misma situación física está igualmente bien descrita por muchas configuraciones matemáticas equivalentes. Por ejemplo, en la dinámica newtoniana , si dos configuraciones están relacionadas por una transformación galileana (un cambio inercial del sistema de referencia), representan la misma situación física. Estas transformaciones forman un grupo de " simetrías " de la teoría, y una situación física no corresponde a una configuración matemática individual sino a una clase de configuraciones relacionadas entre sí por este grupo de simetría.

Esta idea puede generalizarse para incluir simetrías locales y globales, análogas a "cambios de coordenadas" mucho más abstractos en una situación en la que no existe un sistema de coordenadas " inercial " preferido que cubra todo el sistema físico. Una teoría de calibre es un modelo matemático que tiene simetrías de este tipo, junto con un conjunto de técnicas para hacer predicciones físicas consistentes con las simetrías del modelo.

Ejemplo de simetría global

Cuando una cantidad que aparece en la configuración matemática no es solo un número sino que tiene algún significado geométrico, como una velocidad o un eje de rotación, su representación como números dispuestos en un vector o matriz también cambia mediante una transformación de coordenadas. Por ejemplo, si una descripción de un patrón de flujo de fluido establece que la velocidad del fluido en la vecindad de ( x =1, y =0) es 1 m/s en la dirección x positiva , entonces una descripción de la misma situación en la que el sistema de coordenadas ha sido girado 90 grados en el sentido de las agujas del reloj indica que la velocidad del fluido en la vecindad de ( x = 0 , y = −1 ) es 1 m/s en la dirección y negativa . La transformación de coordenadas ha afectado tanto al sistema de coordenadas utilizado para identificar la ubicación de la medición como a la base en la que se expresa su valor . Mientras esta transformación se realice globalmente (afectando la base de coordenadas de la misma manera en cada punto), el efecto sobre los valores que representan la tasa de cambio de alguna cantidad a lo largo de algún camino en el espacio y el tiempo cuando pasa por el punto P es el igual que el efecto sobre valores que son verdaderamente locales para P .

simetría local

Uso de haces de fibras para describir simetrías locales.

Para describir adecuadamente situaciones físicas en teorías más complejas, a menudo es necesario introducir una "base de coordenadas" para algunos de los objetos de la teoría que no tienen esta relación simple con las coordenadas utilizadas para etiquetar puntos en el espacio y el tiempo. (En términos matemáticos, la teoría implica un haz de fibras en el que la fibra en cada punto del espacio de bases consta de posibles bases de coordenadas para usar al describir los valores de los objetos en ese punto). Para explicar una configuración matemática, se Debe elegir una base de coordenadas particular en cada punto (una sección local del haz de fibras) y expresar los valores de los objetos de la teoría (generalmente " campos " en el sentido físico) utilizando esta base. Dos de estas configuraciones matemáticas son equivalentes (describen la misma situación física) si están relacionadas mediante una transformación de esta base de coordenadas abstracta (un cambio de sección local o transformación de calibre ).

En la mayoría de las teorías de calibre, el conjunto de posibles transformaciones de la base de calibre abstracta en un punto individual en el espacio y el tiempo es un grupo de Lie de dimensión finita. El grupo más simple es U(1) , que aparece en la formulación moderna de la electrodinámica cuántica (QED) mediante el uso de números complejos . La QED se considera generalmente como la primera y más simple teoría del calibre físico. El conjunto de posibles transformaciones de calibre de la configuración completa de una teoría de calibre dada también forma un grupo, el grupo de calibre de la teoría. Un elemento del grupo de calibre puede parametrizarse mediante una función que varía suavemente desde los puntos del espacio-tiempo hasta el grupo de Lie (de dimensión finita), de modo que el valor de la función y sus derivadas en cada punto represente la acción de la transformación de calibre en la fibra sobre ese punto.

Una transformación de calibre con parámetro constante en cada punto del espacio y el tiempo es análoga a una rotación rígida del sistema de coordenadas geométricas; representa una simetría global de la representación del calibre. Como en el caso de una rotación rígida, esta transformación de calibre afecta las expresiones que representan la tasa de cambio a lo largo de una trayectoria de alguna cantidad dependiente de calibre de la misma manera que aquellas que representan una cantidad verdaderamente local. Una transformación de calibre cuyo parámetro no es una función constante se denomina simetría local ; su efecto en expresiones que involucran una derivada es cualitativamente diferente del efecto en expresiones que no la involucran. (Esto es análogo a un cambio no inercial del sistema de referencia, que puede producir un efecto Coriolis ).

Campos de calibre

La versión "covariante de calibre" de una teoría de calibre explica este efecto introduciendo un campo de calibre (en lenguaje matemático, una conexión de Ehresmann ) y formulando todas las tasas de cambio en términos de la derivada covariante con respecto a esta conexión. El campo calibre se convierte en una parte esencial de la descripción de una configuración matemática. Una configuración en la que el campo de calibre puede eliminarse mediante una transformación de calibre tiene la propiedad de que su intensidad de campo (en lenguaje matemático, su curvatura ) es cero en todas partes; una teoría de calibre no se limita a estas configuraciones. En otras palabras, la característica distintiva de una teoría de calibre es que el campo de calibre no compensa simplemente una mala elección del sistema de coordenadas; generalmente no existe ninguna transformación de calibre que haga que el campo de calibre desaparezca.

Al analizar la dinámica de una teoría de calibre, el campo de calibre debe tratarse como una variable dinámica, similar a otros objetos en la descripción de una situación física. Además de su interacción con otros objetos a través de la derivada covariante, el campo calibre normalmente aporta energía en forma de un término de "autoenergía". Se pueden obtener las ecuaciones de la teoría de calibre mediante:

• partiendo de un ansatz ingenuo sin el campo calibre (en el que las derivadas aparecen en forma "desnuda");
• enumerar aquellas simetrías globales de la teoría que pueden caracterizarse mediante un parámetro continuo (generalmente un equivalente abstracto de un ángulo de rotación);
• calcular los términos de corrección que resultan de permitir que el parámetro de simetría varíe de un lugar a otro; y
• reinterpretar estos términos de corrección como acoplamientos a uno o más campos de calibre, y darle a estos campos términos de autoenergía y comportamiento dinámico apropiados.

Este es el sentido en el que una teoría de calibre "extiende" una simetría global a una simetría local, y se parece mucho al desarrollo histórico de la teoría de la gravedad de calibre conocida como relatividad general .

experimentos fisicos

Las teorías de calibre utilizadas para modelar los resultados de experimentos físicos involucran:

• limitar el universo de configuraciones posibles a aquellas consistentes con la información utilizada para configurar el experimento, y luego
• calcular la distribución de probabilidad de los posibles resultados que el experimento está diseñado para medir.

No podemos expresar las descripciones matemáticas de la "información de configuración" y los "posibles resultados de la medición", o las "condiciones límite" del experimento, sin hacer referencia a un sistema de coordenadas particular, incluida la elección del calibre. Se supone un experimento adecuado aislado de influencias "externas" que es en sí mismo una afirmación dependiente del calibre. El mal manejo de los cálculos de dependencia del calibre en condiciones de contorno es una fuente frecuente de anomalías , y los enfoques para evitar anomalías clasifican las teorías del calibre ^{[ se necesita aclaración ]} .

Teorías del continuo

Las dos teorías de calibre mencionadas anteriormente, la electrodinámica del continuo y la relatividad general, son teorías de campos continuos. Las técnicas de cálculo en una teoría del continuo suponen implícitamente que:

• dada una elección de calibre completamente fija, las condiciones límite de una configuración individual se describen completamente
• Dado un calibre completamente fijo y un conjunto completo de condiciones límite, la mínima acción determina una configuración matemática única y, por lo tanto, una situación física única consistente con estos límites.
• fijar el calibre no introduce anomalías en el cálculo, debido ya sea a la dependencia del calibre al describir información parcial sobre las condiciones de contorno o al carácter incompleto de la teoría.

La determinación de la probabilidad de posibles resultados de medición se realiza mediante:

• establecer una distribución de probabilidad sobre todas las situaciones físicas determinadas por condiciones de contorno consistentes con la información de configuración
• Establecer una distribución de probabilidad de los resultados de las mediciones para cada situación física posible.
• Convolucionar estas dos distribuciones de probabilidad para obtener una distribución de posibles resultados de medición consistentes con la información de configuración.

Estas suposiciones tienen suficiente validez en una amplia gama de escalas de energía y condiciones experimentales para permitir que estas teorías hagan predicciones precisas sobre casi todos los fenómenos encontrados en la vida diaria: luz, calor y electricidad, eclipses, vuelos espaciales, etc. en las escalas más pequeña y más grande debido a omisiones en las propias teorías, y cuando las propias técnicas matemáticas fallan, sobre todo en el caso de turbulencias y otros fenómenos caóticos .

Teorías de campos cuánticos

Además de estas teorías clásicas de campos continuos, las teorías de calibre más conocidas son las teorías cuánticas de campos , incluida la electrodinámica cuántica y el modelo estándar de física de partículas elementales. El punto de partida de una teoría cuántica de campos es muy parecido al de su análogo del continuo: una integral de acción covariante de calibre que caracteriza situaciones físicas "permitidas" de acuerdo con el principio de acción mínima . Sin embargo, las teorías del continuo y cuánticas difieren significativamente en cómo manejan el exceso de grados de libertad representados por las transformaciones de calibre. Las teorías del continuo, y la mayoría de los tratamientos pedagógicos de las teorías cuánticas de campos más simples, utilizan una prescripción de fijación de calibre para reducir la órbita de las configuraciones matemáticas que representan una situación física dada a una órbita más pequeña relacionada por un grupo de calibre más pequeño (el grupo de simetría global, o quizás incluso el grupo trivial).

Las teorías cuánticas de campos más sofisticadas, en particular aquellas que involucran un grupo de calibre no abeliano, rompen la simetría de calibre dentro de las técnicas de la teoría de la perturbación al introducir campos adicionales (los fantasmas de Faddeev-Popov ) y contratérminos motivados por la cancelación de anomalías , en un enfoque conocido. como cuantificación BRST . Si bien estas preocupaciones son en cierto sentido altamente técnicas, también están estrechamente relacionadas con la naturaleza de la medición, los límites del conocimiento de una situación física y las interacciones entre condiciones experimentales no completamente especificadas y una teoría física no completamente comprendida. ^{[ cita necesaria ]} Las técnicas matemáticas que se han desarrollado para hacer manejables las teorías de calibre han encontrado muchas otras aplicaciones, desde la física del estado sólido y la cristalografía hasta la topología de baja dimensión .

Teoría clásica del calibre

Electromagnetismo clásico

En electrostática , se puede hablar del campo eléctrico, E , o de su potencial eléctrico correspondiente , V. El conocimiento de uno permite encontrar el otro, excepto que los potenciales que difieren en una constante, corresponden al mismo campo eléctrico. Esto se debe a que el campo eléctrico se relaciona con cambios en el potencial de un punto en el espacio a otro, y la constante C se cancelaría al restar para encontrar el cambio de potencial. En términos de cálculo vectorial , el campo eléctrico es el gradiente del potencial ,. Generalizando de la electricidad estática al electromagnetismo, tenemos un segundo potencial, el potencial vectorial A , con ${\displaystyle V\mapsto V+C}$ ${\displaystyle \mathbf {E} =-\nabla V}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {E} &=-\nabla V-{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}\\\mathbf {B} &=\nabla \times \mathbf {A} \end{aligned}}}$

Las transformaciones generales de calibre ahora se vuelven no sólo sino ${\displaystyle V\mapsto V+C}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A} &\mapsto \mathbf {A} +\nabla f\\V&\mapsto V-{\frac {\partial f}{\partial t}}\end{aligned}}}$

donde f es cualquier función dos veces continuamente diferenciable que depende de la posición y el tiempo. Los campos electromagnéticos siguen siendo los mismos bajo la transformación de calibre.

Un ejemplo: teoría del calibre escalar O( n )

El resto de esta sección requiere cierta familiaridad con la teoría de campos clásica o cuántica y el uso de los lagrangianos .

Definiciones en esta sección: grupo de calibre , campo de calibre , interacción lagrangiana , bosón de calibre .

A continuación se ilustra cómo se puede "motivar" heurísticamente la invariancia de calibre local a partir de propiedades de simetría global y cómo conduce a una interacción entre campos que originalmente no interactuaban.

Considere un conjunto de campos escalares reales que no interactúan , con masas iguales m . Este sistema se describe mediante una acción que es la suma de la acción (habitual) para cada campo escalar. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \varphi _{i}}$

${\displaystyle {\mathcal {S}}=\int \,\mathrm {d} ^{4}x\sum _{i=1}^{n}\left[{\frac {1}{2}}\partial _{\mu }\varphi _{i}\partial ^{\mu }\varphi _{i}-{\frac {1}{2}}m^{2}\varphi _{i}^{2}\right]}$

El lagrangiano (densidad) se puede escribir de forma compacta como

${\displaystyle \ {\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}(\partial _{\mu }\Phi )^{\mathsf {T}}\partial ^{\mu }\Phi -{\frac {1}{2}}m^{2}\Phi ^{\mathsf {T}}\Phi }$

introduciendo un vector de campos

${\displaystyle \ \Phi ^{\mathsf {T}}=(\varphi _{1},\varphi _{2},\ldots ,\varphi _{n})}$

El término es la derivada parcial de dimensión larga . ${\displaystyle \partial _{\mu }\Phi }$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \mu }$

Ahora es transparente que el lagrangiano es invariante bajo la transformación

${\displaystyle \ \Phi \mapsto \Phi '=G\Phi }$

siempre que G sea una matriz constante que pertenezca al grupo ortogonal n -por- n O ( n ). Se considera que esto preserva el lagrangiano, ya que la derivada de transforma de manera idéntica y ambas cantidades aparecen dentro de productos escalares en el lagrangiano (las transformaciones ortogonales preservan el producto escalar). ${\displaystyle \Phi '}$ ${\displaystyle \Phi }$

${\displaystyle \ (\partial _{\mu }\Phi )\mapsto (\partial _{\mu }\Phi )'=G\partial _{\mu }\Phi }$

Esto caracteriza la simetría global de este lagrangiano particular, y el grupo de simetría a menudo se denomina grupo de calibre ; el término matemático es grupo de estructura , especialmente en la teoría de estructuras G. Por cierto, el teorema de Noether implica que la invariancia bajo este grupo de transformaciones conduce a la conservación de las corrientes .

${\displaystyle \ J_{\mu }^{a}=i\partial _{\mu }\Phi ^{\mathsf {T}}T^{a}\Phi }$

donde las matrices T ^a son generadoras del grupo SO( n ). Hay una corriente conservada para cada generador.

Ahora bien, exigir que este Lagrangiano tenga invariancia O( n ) local requiere que se permita que las matrices G (que antes eran constantes) se conviertan en funciones de las coordenadas espacio-temporales x .

En este caso, las matrices G no "pasan por" las derivadas, cuando G = G ( x ),

${\displaystyle \ \partial _{\mu }(G\Phi )\neq G(\partial _{\mu }\Phi )}$

El hecho de que la derivada no conmute con "G" introduce un término adicional (de acuerdo con la regla del producto), que arruina la invariancia del lagrangiano. Para rectificar esto definimos un nuevo operador derivativo tal que la derivada de nuevamente se transforme idénticamente con ${\displaystyle \Phi '}$ ${\displaystyle \Phi }$

${\displaystyle \ (D_{\mu }\Phi )'=GD_{\mu }\Phi }$

Esta nueva "derivada" se llama derivada covariante (de calibre) y toma la forma

${\displaystyle \ D_{\mu }=\partial _{\mu }-igA_{\mu }}$

donde g se llama constante de acoplamiento; una cantidad que define la fuerza de una interacción. Después de un simple cálculo podemos ver que el campo de calibre A ( x ) debe transformarse de la siguiente manera

${\displaystyle \ A'_{\mu }=GA_{\mu }G^{-1}-{\frac {i}{g}}(\partial _{\mu }G)G^{-1}}$

El campo de calibre es un elemento del álgebra de Lie y, por lo tanto, se puede expandir como

${\displaystyle \ A_{\mu }=\sum _{a}A_{\mu }^{a}T^{a}}$

Por tanto, hay tantos campos de calibre como generadores del álgebra de Lie.

Finalmente, ahora tenemos un lagrangiano invariante de calibre local.

${\displaystyle \ {\mathcal {L}}_{\mathrm {loc} }={\frac {1}{2}}(D_{\mu }\Phi )^{\mathsf {T}}D^{\mu }\Phi -{\frac {1}{2}}m^{2}\Phi ^{\mathsf {T}}\Phi }$

Pauli utiliza el término transformación de calibre del primer tipo para referirse a la transformación de , mientras que la transformación de compensación en se denomina transformación de calibre del segundo tipo . ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle A}$

Diagrama de Feynman de bosones escalares que interactúan a través de un bosón de calibre

La diferencia entre este Lagrangiano y el Lagrangiano original globalmente invariante de calibre se considera la interacción Lagrangiano

${\displaystyle \ {\mathcal {L}}_{\mathrm {int} }=i{\frac {g}{2}}\Phi ^{\mathsf {T}}A_{\mu }^{\mathsf {T}}\partial ^{\mu }\Phi +i{\frac {g}{2}}(\partial _{\mu }\Phi )^{\mathsf {T}}A^{\mu }\Phi -{\frac {g^{2}}{2}}(A_{\mu }\Phi )^{\mathsf {T}}A^{\mu }\Phi }$

Este término introduce interacciones entre los n campos escalares como consecuencia de la demanda de invariancia de calibre local. Sin embargo, para que esta interacción sea física y no completamente arbitraria, el mediador A ( x ) necesita propagarse en el espacio. Esto se trata en la siguiente sección añadiendo otro término, , al lagrangiano. En la versión cuantificada de la teoría de campos clásica obtenida , los cuantos del campo de calibre A ( x ) se denominan bosones de calibre . La interpretación de la interacción lagrangiana en la teoría cuántica de campos es la de bosones escalares que interactúan mediante el intercambio de estos bosones de calibre. ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\mathrm {gf} }}$

El lagrangiano de Yang-Mills para el campo de calibre

La imagen de una teoría de calibre clásica desarrollada en la sección anterior es casi completa, excepto por el hecho de que para definir las derivadas covariantes D , es necesario conocer el valor del campo de calibre en todos los puntos del espacio-tiempo. En lugar de especificar manualmente los valores de este campo, se puede proporcionar como solución a una ecuación de campo. Requiriendo además que el lagrangiano que genera esta ecuación de campo también sea localmente invariante de calibre, una forma posible para el lagrangiano de campo de calibre es ${\displaystyle A(x)}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\text{gf}}=-{\frac {1}{2}}\operatorname {tr} \left(F^{\mu \nu }F_{\mu \nu }\right)=-{\frac {1}{4}}F^{a\mu \nu }F_{\mu \nu }^{a}}$

donde los se obtienen a partir de potenciales , siendo los componentes de , por ${\displaystyle F_{\mu \nu }^{a}}$ ${\displaystyle A_{\mu }^{a}}$ ${\displaystyle A(x)}$

${\displaystyle F_{\mu \nu }^{a}=\partial _{\mu }A_{\nu }^{a}-\partial _{\nu }A_{\mu }^{a}+g\sum _{b,c}f^{abc}A_{\mu }^{b}A_{\nu }^{c}}$

y son las constantes de estructura del álgebra de Lie de los generadores del grupo calibre. Esta formulación del lagrangiano se denomina acción de Yang-Mills . También existen otras acciones invariantes de calibre (p. ej., electrodinámica no lineal , acción de Born-Infeld , modelo de Chern-Simons , término theta , etc.). ${\displaystyle f^{abc}}$

En este término lagrangiano no hay ningún campo cuya transformación contrarreste la de . La invariancia de este término bajo transformaciones de calibre es un caso particular de simetría clásica (geométrica) a priori . Esta simetría debe restringirse para poder realizar la cuantificación, denominándose el procedimiento fijación de calibre , pero incluso después de la restricción, pueden ser posibles transformaciones de calibre. ^[12] ${\displaystyle A}$

El lagrangiano completo para la teoría de calibre ahora es

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\mathcal {L}}_{\text{loc}}+{\mathcal {L}}_{\text{gf}}={\mathcal {L}}_{\text{global}}+{\mathcal {L}}_{\text{int}}+{\mathcal {L}}_{\text{gf}}}$

Un ejemplo: electrodinámica

Como aplicación simple del formalismo desarrollado en las secciones anteriores, consideremos el caso de la electrodinámica , con sólo el campo de electrones . La acción básica que genera la ecuación de Dirac del campo de electrones es

${\displaystyle {\mathcal {S}}=\int {\bar {\psi }}\left(i\hbar c\,\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-mc^{2}\right)\psi \,\mathrm {d} ^{4}x}$

La simetría global de este sistema es

${\displaystyle \psi \mapsto e^{i\theta }\psi }$

El grupo de calibre aquí es U(1) , solo rotaciones del ángulo de fase del campo, con la rotación particular determinada por la constante θ .

"Localizar" esta simetría implica la sustitución de θ por θ ( x ) . Una derivada covariante apropiada es entonces

${\displaystyle D_{\mu }=\partial _{\mu }-i{\frac {e}{\hbar }}A_{\mu }}$

Identificar la "carga" e (que no debe confundirse con la constante matemática e en la descripción de simetría) con la carga eléctrica habitual (este es el origen del uso del término en las teorías de calibre) y el campo de calibre A ( x ) con el potencial de cuatro vectores del campo electromagnético da como resultado una interacción lagrangiana

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\text{int}}={\frac {e}{\hbar }}{\bar {\psi }}(x)\gamma ^{\mu }\psi (x)A_{\mu }(x)=J^{\mu }(x)A_{\mu }(x)}$

¿ Dónde está el cuatro vector de corriente eléctrica en el campo de Dirac ? Por lo tanto, se considera que el principio de calibre introduce de forma natural el llamado acoplamiento mínimo del campo electromagnético al campo de electrones. ${\displaystyle J^{\mu }(x)={\frac {e}{\hbar }}{\bar {\psi }}(x)\gamma ^{\mu }\psi (x)}$

Añadiendo un Lagrangiano para el campo de calibre en términos del tensor de intensidad de campo exactamente como en electrodinámica, se obtiene el Lagrangiano utilizado como punto de partida en electrodinámica cuántica . ${\displaystyle A_{\mu }(x)}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\text{QED}}={\bar {\psi }}\left(i\hbar c\,\gamma ^{\mu }D_{\mu }-mc^{2}\right)\psi -{\frac {1}{4\mu _{0}}}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }}$

Formalismo matemático

Las teorías de calibre generalmente se discuten en el lenguaje de la geometría diferencial . Matemáticamente, un calibre es simplemente una elección de una sección (local) de algún paquete principal . Una transformación de calibre es solo una transformación entre dos de esas secciones.

Aunque la teoría de calibres está dominada por el estudio de las conexiones (principalmente porque la estudian principalmente físicos de alta energía ), la idea de una conexión no es central para la teoría de calibres en general. De hecho, un resultado de la teoría general de calibre muestra que las representaciones afines (es decir, módulos afines ) de las transformaciones de calibre pueden clasificarse como secciones de un haz de chorros que satisfacen ciertas propiedades. Hay representaciones que se transforman covariantemente puntualmente (llamadas por los físicos transformaciones de calibre del primer tipo), representaciones que se transforman como una forma de conexión (llamadas por los físicos transformaciones de calibre del segundo tipo, una representación afín), y otras representaciones más generales, como El campo B en la teoría BF . Hay representaciones (realizaciones) no lineales más generales, pero son extremadamente complicadas. Aun así, los modelos sigma no lineales se transforman de forma no lineal, por lo que existen aplicaciones.

Si hay un paquete principal P cuyo espacio base es el espacio o el espacio-tiempo y el grupo de estructura es un grupo de Lie, entonces las secciones de P forman un espacio principal homogéneo del grupo de transformaciones de calibre.

Las conexiones (conexión de calibre) definen este paquete principal, produciendo una derivada covariante ∇ en cada paquete de vectores asociado . Si se elige un marco local (una base local de secciones), entonces esta derivada covariante se representa mediante la forma de conexión A , una forma 1 valorada en álgebra de Lie , que en física se llama potencial de calibre . Evidentemente, ésta no es una cantidad intrínseca sino que depende del marco. La forma de curvatura F , una forma 2 valorada en álgebra de Lie que es una cantidad intrínseca, se construye a partir de una forma de conexión mediante

${\displaystyle \mathbf {F} =\mathrm {d} \mathbf {A} +\mathbf {A} \wedge \mathbf {A} }$

donde d representa la derivada exterior y representa el producto de cuña . ( es un elemento del espacio vectorial abarcado por los generadores , por lo que los componentes de no conmutan entre sí. Por lo tanto, el producto de cuña no desaparece). ${\displaystyle \wedge }$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle T^{a}}$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle \mathbf {A} \wedge \mathbf {A} }$

Las transformaciones de calibre infinitesimales forman un álgebra de Lie, que se caracteriza por un escalar suave valorado en álgebra de Lie , ε. Bajo una transformación de calibre tan infinitesimal ,

${\displaystyle \delta _{\varepsilon }\mathbf {A} =[\varepsilon ,\mathbf {A} ]-\mathrm {d} \varepsilon }$

¿ Dónde está el soporte de mentira? ${\displaystyle [\cdot ,\cdot ]}$

Una cosa buena es que si , entonces donde D es la derivada covariante ${\displaystyle \delta _{\varepsilon }X=\varepsilon X}$ ${\displaystyle \delta _{\varepsilon }DX=\varepsilon DX}$

${\displaystyle DX\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \mathrm {d} X+\mathbf {A} X}$

Además, lo que significa se transforma covariantemente. ${\displaystyle \delta _{\varepsilon }\mathbf {F} =[\varepsilon ,\mathbf {F} ]}$ ${\displaystyle \mathbf {F} }$

No todas las transformaciones de calibre pueden generarse mediante transformaciones de calibre infinitesimales en general. Un ejemplo es cuando la variedad base es una variedad compacta sin límite , de modo que la clase de homotopía de asignaciones de esa variedad al grupo de Lie no es trivial. Consulte Instanton para ver un ejemplo.

La acción de Yang-Mills ahora está dada por

${\displaystyle {\frac {1}{4g^{2}}}\int \operatorname {Tr} [*F\wedge F]}$

donde * representa el dual de Hodge y la integral se define como en geometría diferencial .

Una cantidad que es invariante de calibre (es decir, invariante bajo transformaciones de calibre) es el bucle de Wilson , que se define sobre cualquier camino cerrado, γ, de la siguiente manera:

${\displaystyle \chi ^{(\rho )}\left({\mathcal {P}}\left\{e^{\int _{\gamma }A}\right\}\right)}$

donde χ es el carácter de una representación compleja ρ y representa el operador ordenado por ruta. ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$

El formalismo de la teoría del calibre se traslada a un contexto general. Por ejemplo, basta con pedir que un paquete de vectores tenga una conexión métrica ; cuando se hace así, se encuentra que la conexión métrica satisface las ecuaciones de movimiento de Yang-Mills.

Cuantización de teorías de calibre.

Las teorías de calibre pueden cuantificarse mediante la especialización de métodos que sean aplicables a cualquier teoría cuántica de campos . Sin embargo, debido a las sutilezas impuestas por las restricciones de calibre (ver la sección sobre Formalismo matemático, más arriba), hay muchos problemas técnicos por resolver que no surgen en otras teorías de campo. Al mismo tiempo, la estructura más rica de las teorías de calibre permite la simplificación de algunos cálculos: por ejemplo, las identidades de Ward conectan diferentes constantes de renormalización .

Métodos y objetivos

La primera teoría de calibre cuantificada fue la electrodinámica cuántica (QED). Los primeros métodos desarrollados para esto implicaron fijar el calibre y luego aplicar la cuantificación canónica . También se desarrolló el método Gupta-Bleuler para solucionar este problema. Las teorías de calibre no abeliano ahora se manejan por diversos medios. Los métodos de cuantificación se tratan en el artículo sobre cuantificación .

El objetivo principal de la cuantificación es poder calcular amplitudes cuánticas para diversos procesos permitidos por la teoría. Técnicamente, se reducen a los cálculos de ciertas funciones de correlación en el estado de vacío . Esto implica una renormalización de la teoría.

Cuando el acoplamiento continuo de la teoría es lo suficientemente pequeño, entonces todas las cantidades requeridas pueden calcularse en la teoría de perturbaciones . Los esquemas de cuantificación destinados a simplificar dichos cálculos (como la cuantificación canónica ) pueden denominarse esquemas de cuantificación perturbativa . En la actualidad, algunos de estos métodos conducen a las pruebas experimentales más precisas de las teorías de calibre.

Sin embargo, en la mayoría de las teorías de calibre hay muchas preguntas interesantes que no son perturbativas. Los esquemas de cuantificación adecuados para estos problemas (como la teoría del calibre de red ) pueden denominarse esquemas de cuantificación no perturbativos . Los cálculos precisos en tales esquemas a menudo requieren supercomputación y, por lo tanto, actualmente están menos desarrollados que otros esquemas.

Anomalías

Se considera entonces que algunas de las simetrías de la teoría clásica no se cumplen en la teoría cuántica; un fenómeno llamado anomalía . Entre los más conocidos se encuentran:

• La anomalía de escala , que da lugar a una constante de acoplamiento en funcionamiento . En QED esto da lugar al fenómeno del polo de Landau . En cromodinámica cuántica (QCD), esto conduce a la libertad asintótica .
• La anomalía quiral en teorías de campos quirales o vectoriales con fermiones. Esto tiene una estrecha conexión con la topología a través de la noción de instantes . En QCD esta anomalía provoca la desintegración de un pión en dos fotones .
• La anomalía de calibre , que debe cancelarse en cualquier teoría física consistente. En la teoría electrodébil esta cancelación requiere un número igual de quarks y leptones .

Calibre puro

Un calibre puro es el conjunto de configuraciones de campo obtenidas mediante una transformación de calibre en la configuración de campo nulo, es decir, una transformada de calibre de cero. Por tanto, se trata de una "órbita de calibre" particular en el espacio de la configuración del campo.

Por lo tanto, en el caso abeliano, donde , el calibre puro es solo el conjunto de configuraciones de campo para todo f ( x ) . ${\displaystyle A_{\mu }(x)\rightarrow A'_{\mu }(x)=A_{\mu }(x)+\partial _{\mu }f(x)}$ ${\displaystyle A'_{\mu }(x)=\partial _{\mu }f(x)}$

Ver también

• Principio de calibre
• Efecto Aharonov-Bohm
• calibre de coulomb
• Teoría electrodébil
• Derivada covariante de calibre
• Fijación del calibre
• Teoría de la gravitación calibre
• Grupo calibre (matemáticas)
• Teoría de Kaluza-Klein
• calibre de lorenz
• Cromodinámica cuántica
• campo de gluones
• Tensor de intensidad de campo de gluones
• Electrodinámica cuántica
• Electromagnético de cuatro potenciales.
• tensor electromagnético
• Teoría cuántica de campos
• Modelo estandar
• Modelo Estándar (formulación matemática)
• Rompiendo la simetría
• Simetría en física
• Carga (física)
• Simetría en mecánica cuántica
• simetría de fock
• Identidades de barrio
• Teoría de Yang-Mills
• Existencia de Yang-Mills y brecha de masas
• 1964 PRL papeles rompiendo simetría
• Teoría del calibre (matemáticas)

Referencias

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Bibliografía

Lectores generales

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Textos

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Artículos

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• Svetlichny, George (1999). "Preparación para la teoría del calibre". arXiv : math-ph/9902027 .

enlaces externos

• "Transformación de calibre", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Ecuaciones de Yang-Mills en DispersiveWiki
• Teorías de calibre en Scholarpedia