Potencial vectorial magnético

Integral del campo magnético

En el electromagnetismo clásico , el potencial vectorial magnético (a menudo llamado A ) es la cantidad vectorial definida de manera que su curvatura es igual al campo magnético : . Junto con el potencial eléctrico φ , el potencial vectorial magnético también se puede utilizar para especificar el campo eléctrico E. Por lo tanto, muchas ecuaciones de electromagnetismo pueden escribirse en términos de los campos E y B , o de manera equivalente en términos de los potenciales φ y A. En teorías más avanzadas como la mecánica cuántica , la mayoría de las ecuaciones utilizan potenciales en lugar de campos. ${\textstyle \nabla \times \mathbf {A} =\mathbf {B} }$

El potencial vectorial magnético fue introducido por primera vez por Franz Ernst Neumann y Wilhelm Eduard Weber en 1845 y 1846, respectivamente. William Thomson también introdujo el potencial vectorial en 1847, junto con la fórmula que lo relaciona con el campo magnético. ^{[1] [2]}

Potencial vectorial magnético

El potencial vectorial magnético A es un campo vectorial , definido junto con el potencial eléctrico ϕ (un campo escalar ) mediante las ecuaciones: ^[3]

$${\displaystyle \mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {A} \,,\quad \mathbf {E} =-\nabla \phi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}\,,}$$

Bcampo magnéticoEcampo eléctricomagnetostáticauna distribución de cargala electrodinámicapotencial vectorialpotencial escalarpotencial vectorial magnéticopotencial eléctricoel potencial vectorialel potencial escalar

Si los campos eléctricos y magnéticos se definen como arriba a partir de potenciales, automáticamente satisfacen dos de las ecuaciones de Maxwell : la ley de Gauss para el magnetismo y la ley de Faraday . Por ejemplo, si A es continuo y está bien definido en todas partes, entonces se garantiza que no dará lugar a monopolos magnéticos . (En la teoría matemática de los monopolos magnéticos, se permite que A sea indefinido o tenga valores múltiples en algunos lugares; consulte monopolo magnético para obtener más detalles).

Comenzando con las definiciones anteriores y recordando que la divergencia del rizo es cero y el rizo del gradiente es el vector cero:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \cdot \mathbf {B} &=\nabla \cdot \left(\nabla \times \mathbf {A} \right)=0\\\nabla \times \mathbf {E} &=\nabla \times \left(-\nabla \phi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}\right)=-{\frac {\partial }{\partial t}}\left(\nabla \times \mathbf {A} \right)=-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}.\end{aligned}}}$$

Alternativamente, la existencia de A y ϕ está garantizada a partir de estas dos leyes utilizando el teorema de Helmholtz . Por ejemplo, dado que el campo magnético no tiene divergencia (ley de Gauss para el magnetismo; es decir, ∇ ⋅ B = 0 ), siempre existe A que satisface la definición anterior.

El potencial vectorial A se utiliza al estudiar el lagrangiano en mecánica clásica y en mecánica cuántica (ver ecuación de Schrödinger para partículas cargadas , ecuación de Dirac , efecto Aharonov-Bohm ).

En el sistema SI , las unidades de A son V · s · m ⁻¹ y son las mismas que las del momento por unidad de carga o la fuerza por unidad de corriente . En el acoplamiento mínimo , q A se llama momento potencial, y forma parte del momento canónico .

La integral de línea de A sobre un circuito cerrado, Γ, es igual al flujo magnético , Φ _B , a través de una superficie, S , que encierra:

$${\displaystyle \oint _{\Gamma }\mathbf {A} \,\cdot \,d{\mathbf {\Gamma } }=\iint _{S}\nabla \times \mathbf {A} \,\cdot \,d\mathbf {S} =\Phi _{\mathbf {B} }.}$$

Por lo tanto, las unidades de A también equivalen a Weber por metro . La ecuación anterior es útil en la cuantificación de flujo de bucles superconductores .

Aunque el campo magnético B es un pseudovector (también llamado vector axial ), el vector de potencial A es un vector polar . ^[4] Esto significa que si la regla de la mano derecha para los productos cruzados fuera reemplazada por una regla de la mano izquierda, pero sin cambiar ninguna otra ecuación o definición, entonces B cambiaría de signo, pero A no cambiaría. Este es un ejemplo de teorema general: la curvatura de un vector polar es un pseudovector y viceversa. ^[4]

Opciones de calibre

La definición anterior no define el potencial del vector magnético de forma única porque, por definición, podemos agregar arbitrariamente componentes libres de curvatura al potencial magnético sin cambiar el campo magnético observado. Por tanto, existe un grado de libertad disponible al elegir A. Esta condición se conoce como invariancia de calibre .

Ecuaciones de Maxwell en términos de potencial vectorial

Usar la definición anterior de potenciales y aplicarla a las otras dos ecuaciones de Maxwell (las que no se satisfacen automáticamente) da como resultado una ecuación diferencial complicada que se puede simplificar usando el calibre de Lorenz donde se elige A para satisfacer: ^[3]

$${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {A} +{\frac {1}{c}}{\frac {\partial \phi }{\partial t}}=0}$$

Utilizando el calibre de Lorenz, las ecuaciones de Maxwell se pueden escribir de forma compacta en términos del potencial vectorial magnético A y el potencial escalar eléctrico ϕ : ^[3]

$${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla ^{2}\phi -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial t^{2}}}&=-{\frac {\rho }{\epsilon _{0}}}\\[2.734ex]\nabla ^{2}\mathbf {A} -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {A} }{\partial t^{2}}}&=-\mu _{0}\mathbf {J} \end{aligned}}}$$

En otros calibres , las ecuaciones son diferentes. A continuación se muestra una notación diferente para escribir estas mismas ecuaciones (usando cuatro vectores ).

Cálculo de potenciales a partir de distribuciones de fuentes.

Las soluciones de las ecuaciones de Maxwell en el calibre de Lorenz (ver Feynman ^[3] y Jackson ^[5] ) con la condición de frontera de que ambos potenciales llegan a cero lo suficientemente rápido a medida que se acercan al infinito se denominan potenciales retardados , que son el potencial vectorial magnético A. ( r , t ) y el potencial escalar eléctrico ϕ ( r , t ) debido a una distribución actual de densidad de corriente J ( r ′, t ′ ) , densidad de carga ρ ( r ′, t ′ ) y volumen Ω, dentro del cual ρ y J son distintos de cero al menos a veces y en algunos lugares):

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A} \left(\mathbf {r} ,t\right)&={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int _{\Omega }{\frac {\mathbf {J} \left(\mathbf {r} ',t'\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\,\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} '\\\phi \left(\mathbf {r} ,t\right)&={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int _{\Omega }{\frac {\rho \left(\mathbf {r} ',t'\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\,\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} '\end{aligned}}}$$

el vector de posición rtrtrttiempo retardado

$${\displaystyle t'=t-{\frac {\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}{c}}.}$$

Hay algunas cosas notables acerca de A y ϕ calculadas de esta manera:

• La condición del calibre de Lorenz : se cumple. ${\textstyle \nabla \cdot \mathbf {A} +{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial \phi }{\partial t}}=0}$
• La posición de r , el punto en el que se encuentran los valores de ϕ y A , solo entra en la ecuación como parte de la distancia escalar de r ′ a r . La dirección de r ′ a r no entra en la ecuación. Lo único que importa acerca de un punto fuente es qué tan lejos está.
• El integrando utiliza tiempo retardado , t ′. Esto simplemente refleja el hecho de que los cambios en las fuentes se propagan a la velocidad de la luz. Por lo tanto, las densidades de carga y corriente que afectan el potencial eléctrico y magnético en r y t , desde la ubicación remota r ′ también deben ser en algún momento anterior t ′.
• La ecuación para A es una ecuación vectorial. En coordenadas cartesianas, la ecuación se separa en tres ecuaciones escalares: ^[6]
  $${\displaystyle {\begin{aligned}A_{x}\left(\mathbf {r} ,t\right)&={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int _{\Omega }{\frac {J_{x}\left(\mathbf {r} ',t'\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\,\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} '\\[1ex]A_{y}\left(\mathbf {r} ,t\right)&={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int _{\Omega }{\frac {J_{y}\left(\mathbf {r} ',t'\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\,\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} '\\[1ex]A_{z}\left(\mathbf {r} ,t\right)&={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int _{\Omega }{\frac {J_{z}\left(\mathbf {r} ',t'\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\,\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} '\end{aligned}}}$$
  De esta forma es fácil ver que la componente de A en una dirección dada depende sólo de las componentes de J que están en la misma dirección. Si la corriente circula por un cable largo y recto, A apunta en la misma dirección que el cable.

En otros calibres, la fórmula para A y ϕ es diferente; por ejemplo, consulte el calibre de Coulomb para conocer otra posibilidad.

Representación del campo A

Representa los campos de potencial vectorial magnético A , densidad de flujo magnético B y densidad de corriente J alrededor de un inductor toroidal de sección transversal circular . Las líneas más gruesas indican líneas de campo de mayor intensidad promedio. Los círculos en la sección transversal del núcleo representan el campo B que sale de la imagen, y los signos representan el campo B que entra en la imagen. Se ha supuesto ∇ ⋅ A = 0 .

Véase Feynman ^[7] para ver la representación del campo A alrededor de un solenoide largo y delgado .

Desde

$${\displaystyle \nabla \times \mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {J} }$$

$${\displaystyle {\frac {\partial E}{\partial t}}\to 0\,\quad \nabla \times \mathbf {A} =\mathbf {B} \,,}$$

ABBJ.ABinductor toroidalB

La figura de la derecha es una representación artística del campo A. Las líneas más gruesas indican caminos de mayor intensidad promedio (los caminos más cortos tienen mayor intensidad, por lo que la integral de camino es la misma). Las líneas están dibujadas para impartir (estéticamente) el aspecto general del campo A.

El dibujo supone tácitamente ∇ ⋅ A = 0 , verdadero bajo uno de los siguientes supuestos:

• Se supone que el calibre de Coulomb
• Se supone el calibre de Lorenz y no hay distribución de carga, ρ = 0
• Se supone el ancho de Lorenz y la frecuencia cero.
• Se supone el ancho de Lorenz y se supone una frecuencia distinta de cero pero lo suficientemente baja como para descuidarla. ${\textstyle {\frac {1}{c}}{\frac {\partial \phi }{\partial t}}}$

Electromagnético de cuatro potenciales.

En el contexto de la relatividad especial , es natural unir el potencial del vector magnético junto con el potencial eléctrico (escalar) en el potencial electromagnético , también llamado de cuatro potenciales .

Una motivación para hacerlo es que el cuatro potencial es un cuatro vector matemático . Por lo tanto, utilizando reglas estándar de transformación de cuatro vectores, si los potenciales eléctrico y magnético se conocen en un sistema de referencia inercial, se pueden calcular simplemente en cualquier otro sistema de referencia inercial.

Otra motivación relacionada es que el contenido del electromagnetismo clásico se puede escribir de forma concisa y conveniente utilizando el cuatro potencial electromagnético, especialmente cuando se utiliza el calibre de Lorenz . En particular, en notación de índice abstracta , el conjunto de ecuaciones de Maxwell (en el calibre de Lorenz) puede escribirse (en unidades gaussianas ) de la siguiente manera:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\partial ^{\mu }A_{\mu }&=0\\\Box A_{\mu }&={\frac {4\pi }{c}}J_{\mu }\end{aligned}}}$$

d'alembertianoJcuatro corrientescondición del calibre de Lorenzla electrodinámica cuántica

Ver también

• Potencial escalar magnético
• Efecto Aharonov-Bohm
• campo de gluones

Notas

1. Neumann, Franz Ernst (1 de enero de 1846). "Allgemeine Gesetze Der Inducirten Elektrischen Ströme (Leyes generales de las corrientes eléctricas inducidas)". Annalen der Physik . 143 (11): 31–34. doi : 10.1002/andp.18461430103.
2. Yang, Chen Ning (2014). "Los orígenes conceptuales de las ecuaciones de Maxwell y la teoría de calibre". Física hoy . 67 (11): 45–51. Código Bib : 2014PhT....67k..45Y. doi :10.1063/PT.3.2585.
3. Feynman (1964, pág.15)
4. Tensores y pseudotensores, notas de conferencias de Richard Fitzpatrick
5. Jackson (1999, pág.246)
6. Kraus (1984, pág.189)
7. Feynman (1964, pág.11, capítulo 15)

Referencias

• Duffin, WJ (1990). Electricidad y Magnetismo, Cuarta Edición . McGraw-Hill.
• Feynman, Richard P; Leighton, Robert B; Arenas, Mateo (1964). Las conferencias Feynman sobre física volumen 2. Addison-Wesley. ISBN 0-201-02117-X.
• Jackson, John David (1999), Electrodinámica clásica (3.ª ed.), John Wiley & Sons , ISBN 0-471-30932-X
• Kraus, John D. (1984), Electromagnética (3.ª ed.), McGraw-Hill, ISBN 0-07-035423-5

enlaces externos

• Medios relacionados con el potencial del vector magnético en Wikimedia Commons