Integral de línea

Integral definida de un campo escalar o vectorial a lo largo de una trayectoria

En matemáticas , una integral de línea es una integral donde la función a integrar se evalúa a lo largo de una curva . ^[1] También se utilizan los términos integral de trayectoria , integral de curva e integral curvilínea ; También se utiliza la integral de contorno , aunque normalmente se reserva para integrales de línea en el plano complejo.

La función a integrar puede ser un campo escalar o un campo vectorial . El valor de la integral de línea es la suma de los valores del campo en todos los puntos de la curva, ponderados por alguna función escalar en la curva (comúnmente longitud de arco o, para un campo vectorial, el producto escalar del campo vectorial con un diferencial vector en la curva). Esta ponderación distingue la integral de línea de integrales más simples definidas en intervalos . Muchas fórmulas simples en física, como la definición de trabajo como , tienen análogos continuos naturales en términos de integrales de línea, en este caso , que calcula el trabajo realizado sobre un objeto que se mueve a través de un campo eléctrico o gravitacional F a lo largo de una trayectoria . ${\displaystyle W=\mathbf {F} \cdot \mathbf {s} }$ ${\textstyle W=\int _{L}\mathbf {F} (\mathbf {s} )\cdot d\mathbf {s} }$ ${\displaystyle L}$

Cálculo vectorial

En términos cualitativos, una integral de línea en cálculo vectorial puede considerarse como una medida del efecto total de un campo tensorial determinado a lo largo de una curva determinada. Por ejemplo, la integral de línea sobre un campo escalar (tensor de rango 0) se puede interpretar como el área bajo el campo tallada por una curva particular. Esto se puede visualizar como la superficie creada por z = f ( x , y ) y una curva C en el plano xy . La integral de línea de f sería el área de la "cortina" creada, cuando se tallan los puntos de la superficie que están directamente sobre C.

Integral de línea de un campo escalar

La integral de línea sobre un campo escalar f puede considerarse como el área bajo la curva C a lo largo de una superficie z = f ( x , y ) , descrita por el campo.

Definición

Para algún campo escalar donde , la integral de línea a lo largo de una curva suave por tramos se define como ${\displaystyle f\colon U\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle U\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}\subset U}$

$${\displaystyle \int _{\mathcal {C}}f(\mathbf {r} )\,ds=\int _{a}^{b}f\left(\mathbf {r} (t)\right)\left|\mathbf {r} '(t)\right|\,dt,}$$

parametrización biyectivar ( a )r ( b )a < bnorma estándar (euclidiana) ${\displaystyle \mathbf {r} \colon [a,b]\to {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

La función f se llama integrando, la curva es el dominio de integración y el símbolo ds puede interpretarse intuitivamente como una longitud de arco elemental de la curva (es decir, una longitud diferencial de ). Las integrales de línea de campos escalares sobre una curva no dependen de la parametrización elegida r de . ^[2] ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

Geométricamente, cuando el campo escalar f se define sobre un plano ( n = 2) , su gráfica es una superficie z = f ( x , y ) en el espacio, y la integral de línea da el área de la sección transversal (con signo) delimitada por el curva y la gráfica de f . Vea la animación a la derecha. ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

Derivación

Para una integral de línea sobre un campo escalar, la integral se puede construir a partir de una suma de Riemann utilizando las definiciones anteriores de f , C y una parametrización r de C. Esto se puede hacer dividiendo el intervalo [ a , b ] en n subintervalos [ t _{i −1} , t _i ] de longitud Δ t = ( b − a )/ n , entonces r ( t _i ) denota algún punto, llámelo punto de muestra, en la curva C. Podemos usar el conjunto de puntos muestrales { r ( t _i ): 1 ≤ i ≤ n } para aproximar la curva C como una trayectoria poligonal introduciendo el trozo de línea recta entre cada uno de los puntos muestrales r ( t _{i −1} ) y r ( ti ₎ .​ (La aproximación de una curva a una trayectoria poligonal se llama rectificación de una curva; consulte aquí para obtener más detalles). Luego etiquetamos la distancia del segmento de línea entre puntos de muestra adyacentes en la curva como Δ s _i . El producto de f ( r ( t _i ) ) y Δ s _i se puede asociar con el área con signo de un rectángulo con una altura y ancho de f ( r ( t _i ) ) y Δ s _i , respectivamente. Tomando el límite de la suma de los términos cuando la longitud de las particiones se acerca a cero nos da

$${\displaystyle I=\lim _{\Delta s_{i}\to 0}\sum _{i=1}^{n}f(\mathbf {r} (t_{i}))\,\Delta s_{i}.}$$

Según el teorema del valor medio , la distancia entre puntos subsiguientes de la curva es

$${\displaystyle \Delta s_{i}=\left|\mathbf {r} (t_{i}+\Delta t)-\mathbf {r} (t_{i})\right|\approx \left|\mathbf {r} '(t_{i})\Delta t\right|}$$

Sustituyendo esto en la suma de Riemann anterior se obtiene

$${\displaystyle I=\lim _{\Delta t\to 0}\sum _{i=1}^{n}f(\mathbf {r} (t_{i}))\left|\mathbf {r} '(t_{i})\right|\Delta t}$$

$${\displaystyle I=\int _{a}^{b}f(\mathbf {r} (t))\left|\mathbf {r} '(t)\right|dt.}$$

Integral de línea de un campo vectorial

Definición

Para un campo vectorial F : U ⊆ R ⁿ → R ⁿ , la integral de línea a lo largo de una curva suave por tramos C ⊂ U , en la dirección de r , se define como

$${\displaystyle \int _{C}\mathbf {F} (\mathbf {r} )\cdot d\mathbf {r} =\int _{a}^{b}\mathbf {F} (\mathbf {r} (t))\cdot \mathbf {r} '(t)\,dt}$$

·producto escalarr : [ a , b ] → Cparametrización biyectivaC( a ) y( b ) danC.

Una integral de línea de un campo escalar es, por tanto, una integral de línea de un campo vectorial, donde los vectores son siempre tangenciales a la línea de integración.

Las integrales de línea de campos vectoriales son independientes de la parametrización r en valor absoluto , pero sí dependen de su orientación . Específicamente, una inversión en la orientación de la parametrización cambia el signo de la integral de línea. ^[2]

Desde el punto de vista de la geometría diferencial , la integral de línea de un campo vectorial a lo largo de una curva es la integral de la forma 1 correspondiente bajo el isomorfismo musical (que lleva el campo vectorial al campo covector correspondiente ), sobre la curva considerada como inmersa. 1-colector.

Derivación

La trayectoria de una partícula (en rojo) a lo largo de una curva dentro de un campo vectorial. A partir de a , la partícula traza el camino C a lo largo del campo vectorial F . El producto escalar (línea verde) de su vector tangente (flecha roja) y el vector de campo (flecha azul) define un área bajo una curva, que es equivalente a la integral de línea de la trayectoria. (Haga clic en la imagen para obtener una descripción detallada).

La integral de línea de un campo vectorial se puede derivar de una manera muy similar al caso de un campo escalar, pero esta vez con la inclusión de un producto escalar. Nuevamente usando las definiciones anteriores de F , C y su parametrización r ( t ) , construimos la integral a partir de una suma de Riemann . Dividimos el intervalo [ a , b ] (que es el rango de los valores del parámetro t ) en n intervalos de longitud Δ t = ( b − a )/ n . Dejando que t _i sea el iésimo punto en [ a , b ] , entonces r ( t _i ) nos da la posición del iésimo punto en la curva. Sin embargo, en lugar de calcular las distancias entre puntos posteriores, necesitamos calcular sus vectores de desplazamiento , Δ r _i . Como antes, evaluar F en todos los puntos de la curva y tomar el producto escalar con cada vector de desplazamiento nos da la contribución infinitesimal de cada partición de F en C. Dejando que el tamaño de las particiones llegue a cero nos da una suma

$${\displaystyle I=\lim _{\Delta t\to 0}\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} (\mathbf {r} (t_{i}))\cdot \Delta \mathbf {r} _{i}}$$

Por el teorema del valor medio , vemos que el vector de desplazamiento entre puntos adyacentes en la curva es

$${\displaystyle \Delta \mathbf {r} _{i}=\mathbf {r} (t_{i}+\Delta t)-\mathbf {r} (t_{i})\approx \mathbf {r} '(t_{i})\,\Delta t.}$$

Sustituyendo esto en la suma de Riemann anterior se obtiene

$${\displaystyle I=\lim _{\Delta t\to 0}\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} (\mathbf {r} (t_{i}))\cdot \mathbf {r} '(t_{i})\,\Delta t,}$$

que es la suma de Riemann para la integral definida anteriormente.

Independencia del camino

Si un campo vectorial F es el gradiente de un campo escalar G (es decir, si F es conservador ), es decir,

$${\displaystyle \mathbf {F} =\nabla G,}$$

regla de la cadena multivariablederivadacomposiciónGr ( t )

$${\displaystyle {\frac {dG(\mathbf {r} (t))}{dt}}=\nabla G(\mathbf {r} (t))\cdot \mathbf {r} '(t)=\mathbf {F} (\mathbf {r} (t))\cdot \mathbf {r} '(t)}$$

Fr ( t )C

$${\displaystyle \int _{C}\mathbf {F} (\mathbf {r} )\cdot d\mathbf {r} =\int _{a}^{b}\mathbf {F} (\mathbf {r} (t))\cdot \mathbf {r} '(t)\,dt=\int _{a}^{b}{\frac {dG(\mathbf {r} (t))}{dt}}\,dt=G(\mathbf {r} (b))-G(\mathbf {r} (a)).}$$

En otras palabras, la integral de F sobre C depende únicamente de los valores de G en los puntos r ( b ) y r ( a ) y, por tanto, es independiente del camino entre ellos. Por esta razón, una integral de línea de un campo vectorial conservador se llama independiente de trayectoria .

Aplicaciones

La integral de línea tiene muchos usos en física. Por ejemplo, el trabajo realizado sobre una partícula que viaja sobre una curva C dentro de un campo de fuerza representado como un campo vectorial F es la integral de línea de F sobre C. ^[3]

Fluir a través de una curva

Para un campo vectorial , F ( x , y ) = ( P ( x , y ), Q ( x , y )) , la integral de línea a través de una curva C ⊂ U , también llamada integral de flujo , se define en términos de a parametrización suave por partes r : [ a , b ] → C , r ( t ) = ( x ( t ), y ( t )) , como: ${\displaystyle \mathbf {F} \colon U\subseteq \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}}$

$${\displaystyle \int _{C}\mathbf {F} (\mathbf {r} )\cdot d\mathbf {r} ^{\perp }=\int _{a}^{b}{\begin{bmatrix}P{\big (}x(t),y(t){\big )}\\Q{\big (}x(t),y(t){\big )}\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}y'(t)\\-x'(t)\end{bmatrix}}~dt=\int _{a}^{b}\left(-Q~dx+P~dy\right).}$$

Aquí ⋅ es el producto escalar y es la perpendicular en el sentido de las agujas del reloj del vector velocidad . ${\displaystyle \mathbf {r} '(t)^{\perp }=(y'(t),-x'(t))}$ ${\displaystyle \mathbf {r} '(t)=(x'(t),y'(t))}$

El flujo se calcula en un sentido orientado: la curva C tiene una dirección directa especificada desde r ( a ) hasta r ( b ) y el flujo se cuenta como positivo cuando F ( r ( t ) ) está en el lado horario de la curva. vector de velocidad de avance r' ( t ) .

Integral de línea compleja

En análisis complejo , la integral de línea se define en términos de multiplicación y suma de números complejos. Supongamos que U es un subconjunto abierto del plano complejo C , f  : U → C es una función, y es una curva de longitud finita, parametrizada por γ : [ a , b ] → L , donde γ ( t ) = x ( t ) + iy ( t ) . La integral de línea ${\displaystyle L\subset U}$

$${\displaystyle \int _{L}f(z)\,dz}$$

intervaloaba = t ₀ < t ₁ < ... < t _n = b

$${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}f(\gamma (t_{k}))\,[\gamma (t_{k})-\gamma (t_{k-1})]=\sum _{k=1}^{n}f(\gamma _{k})\,\Delta \gamma _{k}.}$$

La integral es entonces el límite de esta suma de Riemann cuando las longitudes de los intervalos de subdivisión se acercan a cero.

Si la parametrización γ es continuamente diferenciable , la integral de línea se puede evaluar como una integral de una función de una variable real:

$${\displaystyle \int _{L}f(z)\,dz=\int _{a}^{b}f(\gamma (t))\gamma '(t)\,dt.}$$

Cuando L es una curva cerrada (los puntos inicial y final coinciden), la integral de línea a menudo se denomina a veces en ingeniería como integral cíclica . ${\textstyle \oint _{L}f(z)\,dz,}$

La integral de línea con respecto al diferencial complejo conjugado se define ^[4] como ${\displaystyle {\overline {dz}}}$

$${\displaystyle \int _{L}f(z){\overline {dz}}:={\overline {\int _{L}{\overline {f(z)}}\,dz}}=\int _{a}^{b}f(\gamma (t)){\overline {\gamma '(t)}}\,dt.}$$

Las integrales de línea de funciones complejas se pueden evaluar utilizando varias técnicas. La más directa es dividir en partes reales e imaginarias, reduciendo el problema a evaluar dos integrales de línea con valores reales. El teorema de la integral de Cauchy se puede utilizar para equiparar la integral de línea de una función analítica con la misma integral sobre una curva más conveniente. También implica que sobre una curva cerrada que encierra una región donde f ( z ) es analítica sin singularidades , el valor de la integral es simplemente cero, o en caso de que la región incluya singularidades, el teorema del residuo calcula la integral en términos de las singularidades. Esto también implica la independencia de la trayectoria de la integral de línea compleja para funciones analíticas.

Ejemplo

Considere la función f ( z ) = 1/ z , y sea el contorno L el círculo unitario en sentido antihorario alrededor de 0, parametrizado por z ( t ) = e ^it con t en [0, 2 π ] usando la exponencial compleja . Sustituyendo encontramos:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\oint _{L}{\frac {1}{z}}\,dz&=\int _{0}^{2\pi }{\frac {1}{e^{it}}}ie^{it}\,dt=i\int _{0}^{2\pi }e^{-it}e^{it}\,dt\\&=i\int _{0}^{2\pi }dt=i(2\pi -0)=2\pi i.\end{aligned}}}$$

Este es un resultado típico de la fórmula integral de Cauchy y el teorema del residuo .

Relación de integral de línea compleja e integral de línea de campo vectorial

Al ver los números complejos como vectores bidimensionales , la integral de línea de una función de valores complejos tiene partes reales y complejas iguales a la integral de línea y a la integral de flujo del campo vectorial correspondiente a la función conjugada . Específicamente, si parametriza L y corresponde a el campo vectorial entonces: ${\displaystyle f(z)}$ ${\displaystyle {\overline {f(z)}}.}$ ${\displaystyle \mathbf {r} (t)=(x(t),y(t))}$ ${\displaystyle f(z)=u(z)+iv(z)}$ ${\displaystyle \mathbf {F} (x,y)={\overline {f(x+iy)}}=(u(x+iy),-v(x+iy)),}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{L}f(z)\,dz&=\int _{L}(u+iv)(dx+i\,dy)\\&=\int _{L}(u,-v)\cdot (dx,dy)+i\int _{L}(u,-v)\cdot (dy,-dx)\\&=\int _{L}\mathbf {F} (\mathbf {r} )\cdot d\mathbf {r} +i\int _{L}\mathbf {F} (\mathbf {r} )\cdot d\mathbf {r} ^{\perp }.\end{aligned}}}$$

Según el teorema de Cauchy , la integral de la izquierda es cero cuando es analítica (satisfaciendo las ecuaciones de Cauchy-Riemann ) para cualquier curva cerrada suave L. En consecuencia, según el teorema de Green , las integrales de la derecha son cero cuando es irrotacional ( sin rizos ) e incompresible ( libre de divergencia ). De hecho, las ecuaciones de Cauchy-Riemann para son idénticas a la desaparición del rizo y la divergencia para F. ${\displaystyle f(z)}$ ${\displaystyle \mathbf {F} ={\overline {f(z)}}}$ ${\displaystyle f(z)}$

Según el teorema de Green , el área de una región encerrada por una curva suave, cerrada y orientada positivamente viene dada por la integral . Este hecho se utiliza, por ejemplo, en la demostración del teorema del área . ${\displaystyle L}$ ${\textstyle {\frac {1}{2i}}\int _{L}{\overline {z}}\,dz.}$

Mecánica cuántica

La formulación de integral de trayectoria de la mecánica cuántica en realidad no se refiere a integrales de trayectoria en este sentido sino a integrales funcionales , es decir, integrales sobre un espacio de trayectorias, de una función de una trayectoria posible. Sin embargo, las integrales de trayectoria en el sentido de este artículo son importantes en la mecánica cuántica; por ejemplo, la integración de contornos complejos se utiliza a menudo para evaluar amplitudes de probabilidad en la teoría de la dispersión cuántica .

Ver también

• Teorema de divergencia
• Teorema del gradiente
• Métodos de integración de contornos.
• teorema de nachbin
• Integral de superficie
• elemento de volumen
• Integral de volumen

Referencias

1. Kwong-Tin Tang (30 de noviembre de 2006). Métodos matemáticos para ingenieros y científicos 2: análisis vectorial, ecuaciones diferenciales ordinarias y transformadas de Laplace. Medios de ciencia y negocios de Springer. ISBN 978-3-540-30268-1.
2. Nykamp, ​​Duane. "Las integrales de línea son independientes de la parametrización". Perspectiva matemática . Consultado el 18 de septiembre de 2020 .
3. "16.2 Integrales de línea". www.whitman.edu . Consultado el 18 de septiembre de 2020 .
4. Ahlfors, Lars (1966). Análisis complejo (2ª ed.). Nueva York: McGraw-Hill. pag. 103.

enlaces externos

• "Integral sobre trayectorias", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Módulos de Khan Academy :
  • "Introducción a la Integral de Línea"
  • "Ejemplo 1 de integral de línea"
  • "Ejemplo de integral de línea 2 (parte 1)"
  • "Ejemplo de integral de línea 2 (parte 2)"
• Integral de trayectoria en PlanetMath .
• Integral de línea de un campo vectorial – Interactivo