Teorema del área (aplicación conforme)

En la teoría matemática de las aplicaciones conformes , el teorema del área da una desigualdad satisfecha por los coeficientes de las series de potencias de ciertas aplicaciones conformes. El teorema recibe ese nombre no por sus implicaciones, sino porque la prueba utiliza la noción de área .

Declaración

Supongamos que es analítico e inyectivo en el disco unitario abierto perforado y tiene la representación en serie de potencias ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mathbb {D} \setminus \{0\}}$

${\displaystyle f(z)={\frac {1}{z}}+\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n},\qquad z\in \mathbb {D} \setminus \{0\},}$

entonces los coeficientes satisfacen ${\displaystyle a_{n}}$

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }n|a_{n}|^{2}\leq 1.}$

Prueba

La idea de la prueba es mirar el área descubierta por la imagen de . Definir para ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle r\in (0,1)}$

${\displaystyle \gamma _{r}(\theta ):=f(r\,e^{-i\theta }),\qquad \theta \in [0,2\pi ].}$

Entonces es una curva cerrada simple en el plano. Sea α el único componente acotado y conexo de . La existencia y unicidad de α se deduce del teorema de la curva de Jordan α . ${\displaystyle \gamma _{r}}$ ${\displaystyle D_{r}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} \setminus \gamma _{r}([0,2\pi ])}$ ${\displaystyle D_{r}}$

Si es un dominio en el plano cuyo límite es una curva cerrada simple y suave , entonces ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \gamma }$

${\displaystyle \mathrm {area} (D)=\int _{\gamma }x\,dy=-\int _{\gamma }y\,dx\,,}$

siempre que esté orientada positivamente alrededor de . Esto se deduce fácilmente, por ejemplo, del teorema de Green . Como veremos pronto, está orientada positivamente alrededor de (y esa es la razón del signo menos en la definición de ). Después de aplicar la regla de la cadena y la fórmula para , las expresiones anteriores para el área dan ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \gamma _{r}}$ ${\displaystyle D_{r}}$ ${\displaystyle \gamma _{r}}$ ${\displaystyle \gamma _{r}}$

${\displaystyle \mathrm {area} (D_{r})=\int _{0}^{2\pi }\Re {\bigl (}f(re^{-i\theta }){\bigr )}\,\Im {\bigl (}-i\,r\,e^{-i\theta }\,f'(re^{-i\theta }){\bigr )}\,d\theta =-\int _{0}^{2\pi }\Im {\bigl (}f(re^{-i\theta }){\bigr )}\,\Re {\bigl (}-i\,r\,e^{-i\theta }\,f'(re^{-i\theta }){\bigr )}d\theta .}$

Por lo tanto, el área de también es igual al promedio de las dos expresiones del lado derecho. Después de la simplificación, esto da como resultado ${\displaystyle D_{r}}$

${\displaystyle \mathrm {area} (D_{r})=-{\frac {1}{2}}\,\Re \int _{0}^{2\pi }f(r\,e^{-i\theta })\,{\overline {r\,e^{-i\theta }\,f'(r\,e^{-i\theta })}}\,d\theta ,}$

donde denota conjugación compleja . Establecemos y usamos la expansión en serie de potencias para , para obtener ${\displaystyle {\overline {z}}}$ ${\displaystyle a_{-1}=1}$ ${\displaystyle f}$

${\displaystyle \mathrm {area} (D_{r})=-{\frac {1}{2}}\,\Re \int _{0}^{2\pi }\sum _{n=-1}^{\infty }\sum _{m=-1}^{\infty }m\,r^{n+m}\,a_{n}\,{\overline {a_{m}}}\,e^{i\,(m-n)\,\theta }\,d\theta \,.}$

(Dado que la reorganización de los términos está justificada). Ahora observe que es si y es cero en caso contrario. Por lo tanto, obtenemos ${\displaystyle \int _{0}^{2\pi }\sum _{n=-1}^{\infty }\sum _{m=-1}^{\infty }m\,r^{n+m}\,|a_{n}|\,|a_{m}|\,d\theta <\infty \,,}$ ${\displaystyle \int _{0}^{2\pi }e^{i\,(m-n)\,\theta }\,d\theta }$ ${\displaystyle 2\pi }$ ${\displaystyle n=m}$

${\displaystyle \mathrm {area} (D_{r})=-\pi \sum _{n=-1}^{\infty }n\,r^{2n}\,|a_{n}|^{2}.}$

El área de es claramente positiva. Por lo tanto, el lado derecho es positivo. Como , al hacer , se deduce ahora el teorema. ${\displaystyle D_{r}}$ ${\displaystyle a_{-1}=1}$ ${\displaystyle r\to 1}$

Solo queda justificar la afirmación de que está orientado positivamente alrededor de . Sea que satisfaga , y establezca , digamos. Para , muy pequeño , podemos escribir la expresión para el número de vueltas de alrededor de , y verificar que es igual a . Como , no pasa por cuando (ya que es inyectiva), la invariancia del número de vueltas bajo homotopía en el complemento de implica que el número de vueltas de alrededor es también . Esto implica que y que está orientado positivamente alrededor de , como se requiere. ${\displaystyle \gamma _{r}}$ ${\displaystyle D_{r}}$ ${\displaystyle r'}$ ${\displaystyle r<r'<1}$ ${\displaystyle z_{0}=f(r')}$ ${\displaystyle s>0}$ ${\displaystyle \gamma _{s}}$ ${\displaystyle z_{0}}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \gamma _{t}}$ ${\displaystyle z_{0}}$ ${\displaystyle t\neq r'}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle z_{0}}$ ${\displaystyle \gamma _{r}}$ ${\displaystyle z_{0}}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle z_{0}\in D_{r}}$ ${\displaystyle \gamma _{r}}$ ${\displaystyle D_{r}}$

Usos

Las desigualdades satisfechas por los coeficientes de las series de potencias de las aplicaciones conformes fueron de considerable interés para los matemáticos antes de la solución de la conjetura de Bieberbach . El teorema del área es una herramienta central en este contexto. Además, el teorema del área se utiliza a menudo para demostrar el teorema de Koebe 1/4 , que es muy útil en el estudio de la geometría de las aplicaciones conformes.

Referencias

• Rudin, Walter (1987), Análisis real y complejo (3.ª ed.), Nueva York: McGraw-Hill Book Co., ISBN 978-0-07-054234-1, MR  0924157, OCLC  13093736