Tangente

En matemáticas, línea recta que toca una curva plana sin cruzarla.

Tangente a una curva. La línea roja es tangencial a la curva en el punto marcado por un punto rojo.

Plano tangente a una esfera.

En geometría , la recta tangente (o simplemente tangente ) a una curva plana en un punto dado es, intuitivamente, la recta que "apenas toca" la curva en ese punto. Leibniz la definió como la línea que pasa por un par de puntos infinitamente cercanos en la curva. ^{[1] [2]} Más precisamente, una línea recta es tangente a la curva y = f ( x ) en un punto x = c si la línea pasa por el punto ( c , f ( c )) de la curva y tiene pendiente f ' ( c ) , donde f ' es la derivada de f . Una definición similar se aplica a las curvas espaciales y a las curvas en el espacio euclidiano de n dimensiones .

El punto donde se encuentran o intersectan la recta tangente y la curva se llama punto de tangencia . Se dice que la línea tangente "va en la misma dirección" que la curva y, por lo tanto, es la mejor aproximación en línea recta a la curva en ese punto. La recta tangente a un punto en una curva diferenciable también se puede considerar como una aproximación de recta tangente , la gráfica de la función afín que mejor se aproxima a la función original en el punto dado. ^[3]

De manera similar, el plano tangente a una superficie en un punto dado es el plano que "justo toca" la superficie en ese punto. El concepto de tangente es una de las nociones más fundamentales en geometría diferencial y se ha generalizado ampliamente; ver Espacio tangente .

La palabra "tangente" proviene del latín tangere , "tocar".

Historia

Euclides hace varias referencias a la tangente ( ἐφαπτομένη ephaptoménē ) a un círculo en el libro III de los Elementos (c. 300 a. C.). ^[4] En la obra Cónicas de Apolonio (c. 225 a. C.) define una tangente como una línea tal que ninguna otra línea recta podría interponerse entre ella y la curva . ^[5]

Arquímedes (c. 287 – c. 212 a. C.) encontró la tangente a una espiral de Arquímedes considerando la trayectoria de un punto que se mueve a lo largo de la curva. ^[5]

En la década de 1630, Fermat desarrolló la técnica de la adecuación para calcular tangentes y otros problemas de análisis y la utilizó para calcular tangentes a la parábola. La técnica de la desigualdad es similar a tomar la diferencia entre y y dividir por una potencia de . De forma independiente, Descartes utilizó su método de las normales basado en la observación de que el radio de un círculo siempre es normal al círculo mismo. ^[6] ${\displaystyle f(x+h)}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle h}$

Estos métodos llevaron al desarrollo del cálculo diferencial en el siglo XVII. Mucha gente contribuyó. Roberval descubrió un método general para trazar tangentes, considerando una curva descrita por un punto en movimiento cuyo movimiento es el resultado de varios movimientos más simples. ^[7] René-François de Sluse y Johannes Hudde encontraron algoritmos algebraicos para encontrar tangentes. ^[8] Otros desarrollos incluyeron los de John Wallis e Isaac Barrow , que llevaron a la teoría de Isaac Newton y Gottfried Leibniz .

Una definición de tangente de 1828 era "una línea recta que toca una curva, pero que cuando se produce, no la corta". ^[9] Esta antigua definición impide que los puntos de inflexión tengan tangentes. Ha sido descartada y las definiciones modernas son equivalentes a las de Leibniz , quien definió la recta tangente como la recta que pasa por un par de puntos infinitamente cercanos en la curva.

Línea tangente a una curva plana.

Una tangente, una cuerda y una secante a una circunferencia.

La noción intuitiva de que una recta tangente "toca" una curva puede hacerse más explícita considerando la secuencia de rectas ( líneas secantes ) que pasan por dos puntos, A y B , los que se encuentran en la curva función. La tangente en A es el límite cuando el punto B se aproxima o tiende a A. La existencia y unicidad de la recta tangente depende de un cierto tipo de suavidad matemática, conocida como "diferenciabilidad". Por ejemplo, si dos arcos circulares se encuentran en un punto agudo (un vértice), entonces no hay una tangente definida de forma única en el vértice porque el límite de la progresión de las rectas secantes depende de la dirección en la que el "punto B " se acerca al vértice.

En la mayoría de los puntos, la tangente toca la curva sin cruzarla (aunque, cuando continúa, puede cruzar la curva en otros lugares alejados del punto de la tangente). Un punto donde la tangente (en este punto) cruza la curva se llama punto de inflexión . Los círculos , parábolas , hipérbolas y elipses no tienen ningún punto de inflexión, pero las curvas más complicadas sí los tienen, como la gráfica de una función cúbica , que tiene exactamente un punto de inflexión, o una sinusoide, que tiene dos puntos de inflexión por cada período de la seno .

A la inversa, puede suceder que la curva esté enteramente a un lado de una recta que pasa por un punto de ella y, sin embargo, esta recta no sea tangente. Este es el caso, por ejemplo, de una línea que pasa por el vértice de un triángulo y no lo corta de otro modo, donde la línea tangente no existe por las razones explicadas anteriormente. En geometría convexa , estas líneas se denominan líneas de apoyo .

Aproximación analítica

En cada punto, la línea en movimiento es siempre tangente a la curva . Su pendiente es la derivada ; el verde marca la derivada positiva, el rojo la derivada negativa y el negro la derivada cero. El punto (x,y) = (0,1) donde la tangente intersecta la curva, no es un máximo ni un mínimo, sino que es un punto de inflexión . (Nota: la figura contiene el etiquetado incorrecto de 0,0 que debería ser 0,1)

La idea geométrica de la recta tangente como límite de las rectas secantes sirve de motivación para los métodos analíticos que se utilizan para encontrar rectas tangentes explícitamente. La cuestión de encontrar la recta tangente a una gráfica, o el problema de la recta tangente, fue una de las cuestiones centrales que llevaron al desarrollo del cálculo en el siglo XVII. En el segundo libro de su Geometría , René Descartes ^[10] dijo sobre el problema de construir la tangente a una curva: "Y me atrevo a decir que este no es sólo el problema más útil y más general de geometría que conozco, sino incluso que alguna vez he deseado saber". ^[11]

Descripción intuitiva

Supongamos que se da una curva como gráfica de una función , y = f ( x ). Para encontrar la recta tangente en el punto p = ( a , f ( a ) ), considere otro punto cercano q = ( a + h , f ( a + h )) en la curva. La pendiente de la recta secante que pasa por p y q es igual al cociente de diferencias

${\displaystyle {\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}.}$

A medida que el punto q se acerca a p , lo que corresponde a hacer h cada vez más pequeño, el cociente de diferencias debe acercarse a un cierto valor límite k , que es la pendiente de la recta tangente en el punto p . Si se conoce k , la ecuación de la recta tangente se puede encontrar en la forma punto-pendiente:

${\displaystyle y-f(a)=k(x-a).\,}$

Descripción más rigurosa

Para que el razonamiento anterior sea riguroso, es necesario explicar qué se entiende por cociente de diferencias que se aproxima a un cierto valor límite k . La formulación matemática precisa fue dada por Cauchy en el siglo XIX y se basa en la noción de límite . Supongamos que la gráfica no tiene una ruptura o un borde afilado en p y no está vertical ni demasiado ondulada cerca de p . Entonces hay un valor único de k tal que, a medida que h se acerca a 0, el cociente de diferencias se acerca cada vez más a k , y la distancia entre ellos se vuelve insignificante en comparación con el tamaño de h , si h es lo suficientemente pequeño. Esto lleva a la definición de la pendiente de la recta tangente a la gráfica como el límite de los cocientes de diferencias para la función f . Este límite es la derivada de la función f en x = a , denotada f  ′( a ). Usando derivadas, la ecuación de la recta tangente se puede expresar de la siguiente manera:

${\displaystyle y=f(a)+f'(a)(x-a).\,}$

El cálculo proporciona reglas para calcular las derivadas de funciones dadas por fórmulas, como la función potencia , funciones trigonométricas , función exponencial , logaritmo y sus diversas combinaciones. Por tanto, las ecuaciones de las tangentes a las gráficas de todas estas funciones, así como de muchas otras, se pueden encontrar mediante métodos de cálculo.

Cómo puede fallar el método

El cálculo también demuestra que hay funciones y puntos en sus gráficas para los cuales no existe el límite que determina la pendiente de la recta tangente. Para estos puntos la función f no es diferenciable . Hay dos posibles razones para que el método de encontrar las tangentes basado en los límites y las derivadas falle: o la tangente geométrica existe, pero es una línea vertical, que no se puede dar en la forma punto-pendiente ya que no tiene una pendiente, o la gráfica exhibe uno de tres comportamientos que excluyen una tangente geométrica.

La gráfica y = x ^1/3 ilustra la primera posibilidad: aquí el cociente de diferencias en a = 0 es igual a h ^1/3 / h = h ^−2/3 , que se vuelve muy grande a medida que h se aproxima a 0. Esta curva tiene una recta tangente al origen que es vertical.

La gráfica y = x ^2/3 ilustra otra posibilidad: esta gráfica tiene una cúspide en el origen. Esto significa que, cuando h tiende a 0, el cociente de diferencias en a = 0 se acerca a más o menos infinito dependiendo del signo de x . Así, ambas ramas de la curva están cerca de la media línea vertical para la cual y = 0, pero ninguna está cerca de la parte negativa de esta línea. Básicamente, en este caso no hay tangente en el origen, pero en algún contexto se puede considerar esta recta como una tangente, e incluso, en geometría algebraica , como una doble tangente .

La gráfica y = | x | de la función de valor absoluto consta de dos rectas de diferente pendiente unidas en el origen. Cuando un punto q se acerca al origen por la derecha, la recta secante siempre tiene pendiente 1. Cuando un punto q se acerca al origen por la izquierda, la recta secante siempre tiene pendiente −1. Por lo tanto, no existe una tangente única a la gráfica en el origen. Al tener dos pendientes diferentes (pero finitas) se le llama esquina .

Finalmente, dado que la diferenciabilidad implica continuidad, la discontinuidad de los estados contrapositivos implica no diferenciabilidad. Cualquier salto o discontinuidad de puntos no tendrá línea tangente. Esto incluye casos en los que una pendiente se acerca al infinito positivo mientras que la otra se acerca al infinito negativo, lo que lleva a una discontinuidad de salto infinito.

Ecuaciones

Cuando la curva está dada por y = f ( x ), entonces la pendiente de la tangente es tal que según la fórmula punto-pendiente la ecuación de la recta tangente en ( X ,  Y ) es ${\displaystyle dy/dx,}$

${\displaystyle y-Y={\frac {dy}{dx}}(X)\cdot (x-X)}$

donde ( x ,  y ) son las coordenadas de cualquier punto de la recta tangente y donde la derivada se evalúa en . ^[12] ${\displaystyle x=X}$

Cuando la curva viene dada por y = f ( x ), la ecuación de la recta tangente también se puede encontrar ^[13] usando división polinómica para dividir por ; si el resto se denota por , entonces la ecuación de la recta tangente viene dada por ${\displaystyle f\,(x)}$ ${\displaystyle (x-X)^{2}}$ ${\displaystyle g(x)}$

${\displaystyle y=g(x).}$

Cuando la ecuación de la curva se da en la forma f ( x ,  y ) = 0 entonces el valor de la pendiente se puede encontrar mediante diferenciación implícita , dando

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=-{\frac {\partial f}{\partial x}}{\bigg /}{\frac {\partial f}{\partial y}}.}$

La ecuación de la recta tangente en un punto ( X , Y ) tal que f ( X , Y ) = 0 es entonces ^[12]

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}(X,Y)\cdot (x-X)+{\frac {\partial f}{\partial y}}(X,Y)\cdot (y-Y)=0.}$

Esta ecuación sigue siendo cierta si

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial y}}(X,Y)=0,\quad {\frac {\partial f}{\partial x}}(X,Y)\neq 0,}$

en cuyo caso la pendiente de la tangente es infinita. Si acaso,

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial y}}(X,Y)={\frac {\partial f}{\partial x}}(X,Y)=0,}$

la recta tangente no está definida y el punto ( X , Y ) se dice que es singular .

Para curvas algebraicas , los cálculos se pueden simplificar un poco convirtiéndolos a coordenadas homogéneas . Específicamente, sea la ecuación homogénea de la curva g ( x ,  y ,  z ) = 0 donde g es una función homogénea de grado n . Entonces, si ( X ,  Y ,  Z ) está en la curva, el teorema de Euler implica

$${\displaystyle {\frac {\partial g}{\partial x}}\cdot X+{\frac {\partial g}{\partial y}}\cdot Y+{\frac {\partial g}{\partial z}}\cdot Z=ng(X,Y,Z)=0.}$$

${\displaystyle {\frac {\partial g}{\partial x}}(X,Y,Z)\cdot x+{\frac {\partial g}{\partial y}}(X,Y,Z)\cdot y+{\frac {\partial g}{\partial z}}(X,Y,Z)\cdot z=0.}$

La ecuación de la recta tangente en coordenadas cartesianas se puede encontrar estableciendo z =1 en esta ecuación. ^[14]

Para aplicar esto a curvas algebraicas, escriba f ( x ,  y ) como

${\displaystyle f=u_{n}+u_{n-1}+\dots +u_{1}+u_{0}\,}$

donde cada u _r es la suma de todos los términos de grado r . La ecuación homogénea de la curva es entonces

${\displaystyle g=u_{n}+u_{n-1}z+\dots +u_{1}z^{n-1}+u_{0}z^{n}=0.\,}$

Aplicando la ecuación anterior y estableciendo z =1 se produce

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}(X,Y)\cdot x+{\frac {\partial f}{\partial y}}(X,Y)\cdot y+{\frac {\partial g}{\partial z}}(X,Y,1)=0}$

como la ecuación de la recta tangente. ^[15] La ecuación en esta forma suele ser más sencilla de usar en la práctica, ya que no se necesita ninguna simplificación adicional después de su aplicación. ^[14]

Si la curva está dada paramétricamente por

${\displaystyle x=x(t),\quad y=y(t)}$

entonces la pendiente de la tangente es

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {dy}{dt}}{\bigg /}{\frac {dx}{dt}}}$

dando la ecuación para la recta tangente en [ ^16] ${\displaystyle \,t=T,\,X=x(T),\,Y=y(T)}$

${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}(T)\cdot (y-Y)={\frac {dy}{dt}}(T)\cdot (x-X).}$

Si

${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}(T)={\frac {dy}{dt}}(T)=0,}$

la recta tangente no está definida. Sin embargo, puede ocurrir que la recta tangente exista y pueda calcularse a partir de una ecuación implícita de la curva.

Línea normal a una curva.

La recta perpendicular a la recta tangente a una curva en el punto de tangencia se llama recta normal a la curva en ese punto. Las pendientes de las rectas perpendiculares tienen producto −1, por lo que si la ecuación de la curva es y = f ( x ) entonces la pendiente de la recta normal es

${\displaystyle -1{\bigg /}{\frac {dy}{dx}}}$

y se deduce que la ecuación de la recta normal en (X, Y) es

${\displaystyle (x-X)+{\frac {dy}{dx}}(y-Y)=0.}$

De manera similar, si la ecuación de la curva tiene la forma f ( x ,  y ) = 0 entonces la ecuación de la recta normal viene dada por ^[17]

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial y}}(x-X)-{\frac {\partial f}{\partial x}}(y-Y)=0.}$

Si la curva está dada paramétricamente por

${\displaystyle x=x(t),\quad y=y(t)}$

entonces la ecuación de la recta normal es ^[16]

${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}(x-X)+{\frac {dy}{dt}}(y-Y)=0.}$

Ángulo entre curvas

El ángulo entre dos curvas en un punto donde se cruzan se define como el ángulo entre sus rectas tangentes en ese punto. Más específicamente, se dice que dos curvas son tangentes en un punto si tienen la misma tangente en un punto, y ortogonales si sus rectas tangentes son ortogonales. ^[18]

Varias tangentes en un punto

El limaçon trisectrix: una curva con dos tangentes en el origen.

Las fórmulas anteriores fallan cuando el punto es un punto singular . En este caso puede haber dos o más ramas de la curva que pasan por el punto, teniendo cada rama su propia recta tangente. Cuando el punto es el origen, las ecuaciones de estas rectas se pueden encontrar para curvas algebraicas factorizando la ecuación formada eliminando todos los términos de la ecuación original, excepto los de menor grado. Dado que cualquier punto puede convertirse en origen mediante un cambio de variables (o trasladando la curva), esto proporciona un método para encontrar las rectas tangentes en cualquier punto singular.

Por ejemplo, la ecuación de la trisectriz limaçon que se muestra a la derecha es

${\displaystyle (x^{2}+y^{2}-2ax)^{2}=a^{2}(x^{2}+y^{2}).\,}$

Ampliar esto y eliminar todos los términos excepto los de grado 2 da

${\displaystyle a^{2}(3x^{2}-y^{2})=0\,}$

que al factorizarse se convierte en

${\displaystyle y=\pm {\sqrt {3}}x.}$

Entonces estas son las ecuaciones de las dos rectas tangentes que pasan por el origen. ^[19]

Cuando la curva no se cruza por sí misma, es posible que la tangente en un punto de referencia aún no esté definida de manera única porque la curva no es diferenciable en ese punto, aunque sí lo es en otro lugar. En este caso, las derivadas izquierda y derecha se definen como los límites de la derivada cuando el punto en el que se evalúa se aproxima al punto de referencia desde la izquierda (valores más bajos) o la derecha (valores más altos), respectivamente. Por ejemplo, la curva y = | x | no es diferenciable en x = 0: sus derivadas izquierda y derecha tienen pendientes respectivas −1 y 1; las tangentes en ese punto con esas pendientes se llaman tangentes izquierda y derecha. ^[20]

A veces las pendientes de las rectas tangentes izquierda y derecha son iguales, por lo que las rectas tangentes coinciden. Esto es cierto, por ejemplo, para la curva y = x ^2/3 , para la cual tanto las derivadas izquierda como derecha en x = 0 son infinitas; Tanto la recta tangente izquierda como la derecha tienen ecuación x = 0.

Línea tangente a una curva espacial.

En matemáticas , un vector tangente es un vector que es tangente a una curva o superficie en un punto determinado. Los vectores tangentes se describen en la geometría diferencial de curvas en el contexto de curvas en R ⁿ . De manera más general, los vectores tangentes son elementos de un espacio tangente de una variedad diferenciable . Los vectores tangentes también pueden describirse en términos de gérmenes . Formalmente, un vector tangente en el punto es una derivación lineal del álgebra definida por el conjunto de gérmenes en . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$

Círculos tangentes

Dos pares de circunferencias tangentes. Por encima internamente y por debajo externamente tangente

Se dice que dos círculos distintos que se encuentran en el mismo plano son tangentes entre sí si se encuentran exactamente en un punto.

Si los puntos en el plano se describen usando coordenadas cartesianas , entonces dos círculos , con radios y centros , y son tangentes entre sí siempre que ${\displaystyle r_{1},r_{2}}$ ${\displaystyle (x_{1},y_{1})}$ ${\displaystyle (x_{2},y_{2})}$

${\displaystyle \left(x_{1}-x_{2}\right)^{2}+\left(y_{1}-y_{2}\right)^{2}=\left(r_{1}\pm r_{2}\right)^{2}.}$

Las dos circunferencias se llaman externamente tangentes si la distancia entre sus centros es igual a la suma de sus radios,

${\displaystyle \left(x_{1}-x_{2}\right)^{2}+\left(y_{1}-y_{2}\right)^{2}=\left(r_{1}+r_{2}\right)^{2}.}$

o tangente internamente si la distancia entre sus centros es igual a la diferencia entre sus radios: ^[21]

${\displaystyle \left(x_{1}-x_{2}\right)^{2}+\left(y_{1}-y_{2}\right)^{2}=\left(r_{1}-r_{2}\right)^{2}.}$

Plano tangente a una superficie.

El plano tangente a una superficie en un punto dado p se define de forma análoga a la recta tangente en el caso de las curvas. Es la mejor aproximación de la superficie por un plano en p , y se puede obtener como la posición límite de los planos que pasan por 3 puntos distintos en la superficie cerca de p cuando estos puntos convergen a p . Matemáticamente, si la superficie está dada por una función , la ecuación del plano tangente en el punto se puede expresar como: ${\displaystyle z=f(x,y)}$ ${\displaystyle (x_{0},y_{0},z_{0})}$

${\displaystyle z-z_{0}={\frac {\partial f}{\partial x}}(x_{0},y_{0})(x-x_{0})+{\frac {\partial f}{\partial y}}(x_{0},y_{0})(y-y_{0})}$.

Aquí, y son las derivadas parciales de la función con respecto a y respectivamente, evaluadas en el punto . En esencia, el plano tangente captura el comportamiento local de la superficie en el punto específico p . Es un concepto fundamental utilizado en cálculo y geometría diferencial, crucial para comprender cómo las funciones cambian localmente en las superficies. ${\textstyle {\frac {\partial f}{\partial x}}}$ ${\textstyle {\frac {\partial f}{\partial y}}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$

Colectores de dimensiones superiores

De manera más general, hay un espacio tangente de k -dimensional en cada punto de una variedad de k -dimensional en el espacio euclidiano de n -dimensional .

Ver también

• El método de Newton
• Normal (geometría)
• círculo osculador
• Curva osculante
• Plano osculador
• Perpendicular
• Subtangente
• Línea de soporte
• Cono tangente
• ángulo tangencial
• Componente tangencial
• rectas tangentes a circunferencias
• Vector tangente
• Multiplicidad (matemáticas)#Comportamiento de una función polinómica cerca de una raíz múltiple
• Curva algebraica#Tangente en un punto

Referencias

1. En " Nova Methodus pro Maximis et Minimis " ( Acta Eruditorum , octubre de 1684), Leibniz parece tener una noción de líneas tangentes fácilmente desde el principio, pero luego afirma: "modo teneatur in genere, tangentem invenire esse rectam ducere, quae duo curvae puncta distantiam infinito parvam habentia jungat, seu latus productum polygoni infinitanguli, quod nobis curvae aequivalet", es decir. define el método para dibujar tangentes a través de puntos infinitamente cercanos entre sí.
2. Thomas L. Hankins (1985). La ciencia y la Ilustración . Prensa de la Universidad de Cambridge. pag. 23.ISBN​ 9780521286190.
3. Dan Sloughter (2000). "Mejores aproximaciones afines"
4. Euclides. "Elementos de Euclides" . Consultado el 1 de junio de 2015 .
5. Shenk, Al. "e-CÁLCULO Sección 2.8" (PDF) . pag. 2.8 . Consultado el 1 de junio de 2015 .
6. Katz, Víctor J. (2008). Una historia de las matemáticas (3ª ed.). Addison Wesley. pag. 510.ISBN​ 978-0321387004.
7. Wolfson, Paul R. (2001). "Lo torcido enderezado: Roberval y Newton en tangentes". El Mensual Matemático Estadounidense . 108 (3): 206–216. doi :10.2307/2695381. JSTOR  2695381.
8. Katz, Víctor J. (2008). Una historia de las matemáticas (3ª ed.). Addison Wesley. págs. 512–514. ISBN 978-0321387004.
9. Noah Webster, Diccionario americano de la lengua inglesa (Nueva York: S. Converse, 1828), vol. 2, pág. 733, [1]
10. Descartes, René (1954) [1637]. La Geometría de René Descartes. Traducido por Smith, David Eugene ; Latham, Marcia L. Corte abierta. pag. 95.
11. RE Langer (octubre de 1937). "René Descartes". Mensual Matemático Estadounidense . 44 (8). Asociación Matemática de América: 495–512. doi :10.2307/2301226. JSTOR  2301226.
12. Edwards Arte. 191
13. Strickland-Constable, Charles, "Un método simple para encontrar tangentes a gráficas polinomiales", Mathematical Gazette , noviembre de 2005, 466–467.
14. Edwards Arte. 192
15. Arte de Edwards. 193
16. Edwards Arte. 196
17. Arte de Edwards. 194
18. Arte de Edwards. 195
19. Arte de Edwards. 197
20. Thomas, George B. Jr. y Finney, Ross L. (1979), Cálculo y geometría analítica , Addison Wesley Publ. Compañía: pág. 140.
21. "Círculos para dejar el certificado de matemáticas con honores por Thomas O'Sullivan 1997".

Fuentes

• J. Edwards (1892). Calculo diferencial. Londres: MacMillan and Co. págs. 143 y siguientes.

enlaces externos

• "Línea tangente", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Weisstein, Eric W. "Línea tangente". MundoMatemático .
• Tangente a una circunferencia Con animación interactiva
• Tangente y primera derivada: una simulación interactiva