ecuación de pauli

Ecuación mecánica cuántica del movimiento de partículas cargadas en un campo magnético.

En mecánica cuántica , la ecuación de Pauli o ecuación de Schrödinger-Pauli es la formulación de la ecuación de Schrödinger para partículas de espín-½ , que tiene en cuenta la interacción del espín de la partícula con un campo electromagnético externo . Es el límite no relativista de la ecuación de Dirac y puede usarse cuando las partículas se mueven a velocidades mucho menores que la velocidad de la luz , de modo que los efectos relativistas pueden despreciarse. Fue formulada por Wolfgang Pauli en 1927. ^[1] En su forma linealizada se la conoce como ecuación de Lévy-Leblond .

Ecuación

Para una partícula de masa y carga eléctrica , en un campo electromagnético descrito por el potencial vectorial magnético y el potencial escalar eléctrico , la ecuación de Pauli dice: ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle \phi }$

Ecuación de Pauli (general)

${\displaystyle \left[{\frac {1}{2m}}({\boldsymbol {\sigma }}\cdot (\mathbf {\hat {p}} -q\mathbf {A} ))^{2}+q\phi \right]|\psi \rangle =i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}|\psi \rangle }$

Aquí están los operadores de Pauli reunidos en un vector por conveniencia, y es el operador de impulso en la representación de posición. El estado del sistema (escrito en notación de Dirac ), puede considerarse como una función de onda de espinor de dos componentes , o un vector columna (después de elegir la base): ${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=(\sigma _{x},\sigma _{y},\sigma _{z})}$ ${\displaystyle \mathbf {\hat {p}} =-i\hbar \nabla }$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$

${\displaystyle |\psi \rangle =\psi _{+}|{\mathord {\uparrow }}\rangle +\psi _{-}|{\mathord {\downarrow }}\rangle \,{\stackrel {\cdot }{=}}\,{\begin{bmatrix}\psi _{+}\\\psi _{-}\end{bmatrix}}}$.

El operador hamiltoniano es una matriz de 2 × 2 debido a los operadores de Pauli .

${\displaystyle {\hat {H}}={\frac {1}{2m}}\left[{\boldsymbol {\sigma }}\cdot (\mathbf {\hat {p}} -q\mathbf {A} )\right]^{2}+q\phi }$

La sustitución en la ecuación de Schrödinger da la ecuación de Pauli. Este hamiltoniano es similar al hamiltoniano clásico para una partícula cargada que interactúa con un campo electromagnético. Consulte la fuerza de Lorentz para obtener detalles de este caso clásico. El término de energía cinética para una partícula libre en ausencia de un campo electromagnético es simplemente donde está el momento cinético , mientras que en presencia de un campo electromagnético implica el acoplamiento mínimo , donde ahora está el momento cinético y es el momento canónico . ${\displaystyle {\frac {\mathbf {p} ^{2}}{2m}}}$ ${\displaystyle \mathbf {p} }$ ${\displaystyle \mathbf {\Pi } =\mathbf {p} -q\mathbf {A} }$ ${\displaystyle \mathbf {\Pi } }$ ${\displaystyle \mathbf {p} }$

Los operadores de Pauli se pueden eliminar del término de energía cinética utilizando la identidad del vector de Pauli :

${\displaystyle ({\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {a} )({\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {b} )=\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} +i{\boldsymbol {\sigma }}\cdot \left(\mathbf {a} \times \mathbf {b} \right)}$

Tenga en cuenta que, a diferencia de un vector, el operador diferencial tiene un producto cruzado distinto de cero consigo mismo. Esto se puede ver considerando el producto cruzado aplicado a una función escalar : ${\displaystyle \mathbf {\hat {p}} -q\mathbf {A} =-i\hbar \nabla -q\mathbf {A} }$ ${\displaystyle \psi }$

${\displaystyle \left[\left(\mathbf {\hat {p}} -q\mathbf {A} \right)\times \left(\mathbf {\hat {p}} -q\mathbf {A} \right)\right]\psi =-q\left[\mathbf {\hat {p}} \times \left(\mathbf {A} \psi \right)+\mathbf {A} \times \left(\mathbf {\hat {p}} \psi \right)\right]=iq\hbar \left[\nabla \times \left(\mathbf {A} \psi \right)+\mathbf {A} \times \left(\nabla \psi \right)\right]=iq\hbar \left[\psi \left(\nabla \times \mathbf {A} \right)-\mathbf {A} \times \left(\nabla \psi \right)+\mathbf {A} \times \left(\nabla \psi \right)\right]=iq\hbar \mathbf {B} \psi }$

¿Dónde está el campo magnético? ${\displaystyle \mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {A} }$

Para la ecuación de Pauli completa, se obtiene ^[2]

Ecuación de Pauli (forma estándar)

${\displaystyle {\hat {H}}|\psi \rangle =\left[{\frac {1}{2m}}\left[\left(\mathbf {\hat {p}} -q\mathbf {A} \right)^{2}-q\hbar {\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {B} \right]+q\phi \right]|\psi \rangle =i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}|\psi \rangle }$

de los cuales sólo se conocen algunos resultados analíticos, por ejemplo en el contexto de la cuantificación de Landau con campos magnéticos homogéneos o para un campo magnético no homogéneo, idealizado, tipo Coulomb. ^[3]

Campos magnéticos débiles

Para el caso en el que el campo magnético es constante y homogéneo, se puede expandir usando el calibre simétrico , donde es el operador de posición y A ahora es un operador. Obtenemos ${\textstyle (\mathbf {\hat {p}} -q\mathbf {A} )^{2}}$ ${\textstyle \mathbf {\hat {A}} ={\frac {1}{2}}\mathbf {B} \times \mathbf {\hat {r}} }$ ${\textstyle \mathbf {r} }$

${\displaystyle (\mathbf {\hat {p}} -q\mathbf {\hat {A}} )^{2}=|\mathbf {\hat {p}} |^{2}-q(\mathbf {\hat {r}} \times \mathbf {\hat {p}} )\cdot \mathbf {B} +{\frac {1}{4}}q^{2}\left(|\mathbf {B} |^{2}|\mathbf {\hat {r}} |^{2}-|\mathbf {B} \cdot \mathbf {\hat {r}} |^{2}\right)\approx \mathbf {\hat {p}} ^{2}-q\mathbf {\hat {L}} \cdot \mathbf {B} \,,}$

¿Dónde está el operador del momento angular de la partícula y despreciamos los términos en el campo magnético al cuadrado ? Por lo tanto, obtenemos ${\textstyle \mathbf {\hat {L}} }$ ${\textstyle B^{2}}$

Ecuación de Pauli (campos magnéticos débiles)

${\displaystyle \left[{\frac {1}{2m}}\left[|\mathbf {\hat {p}} |^{2}-q(\mathbf {\hat {L}} +2\mathbf {\hat {S}} )\cdot \mathbf {B} \right]+q\phi \right]|\psi \rangle =i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}|\psi \rangle }$

¿Dónde está el espín de la partícula? El factor 2 delante del giro se conoce como factor g de Dirac . El término en , es de la forma que es la interacción habitual entre un momento magnético y un campo magnético, como en el efecto Zeeman . ${\textstyle \mathbf {S} =\hbar {\boldsymbol {\sigma }}/2}$ ${\textstyle \mathbf {B} }$ ${\textstyle -{\boldsymbol {\mu }}\cdot \mathbf {B} }$ ${\textstyle {\boldsymbol {\mu }}}$

Para un electrón de carga en un campo magnético constante isotrópico, se puede reducir aún más la ecuación utilizando el momento angular total y el teorema de Wigner-Eckart . Así encontramos ${\textstyle -e}$ ${\textstyle \mathbf {J} =\mathbf {L} +\mathbf {S} }$

${\displaystyle \left[{\frac {|\mathbf {p} |^{2}}{2m}}+\mu _{\rm {B}}g_{J}m_{j}|\mathbf {B} |-e\phi \right]|\psi \rangle =i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}|\psi \rangle }$

donde está el magnetón de Bohr y es el número cuántico magnético relacionado con . El término se conoce como factor g de Landé y viene dado aquí por ${\textstyle \mu _{\rm {B}}={\frac {e\hbar }{2m}}}$ ${\textstyle m_{j}}$ ${\textstyle \mathbf {J} }$ ${\textstyle g_{J}}$

${\displaystyle g_{J}={\frac {3}{2}}+{\frac {{\frac {3}{4}}-\ell (\ell +1)}{2j(j+1)}},}$^[a]

donde está el número cuántico orbital relacionado con y es el número cuántico orbital total relacionado con . ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle L^{2}}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle J^{2}}$

De la ecuación de Dirac

La ecuación de Pauli se puede inferir del límite no relativista de la ecuación de Dirac , que es la ecuación cuántica relativista de movimiento para partículas de espín-½. ^[4]

Derivación

La ecuación de Dirac se puede escribir como:

$${\displaystyle i\hbar \,\partial _{t}{\begin{pmatrix}\psi _{1}\\\psi _{2}\end{pmatrix}}=c\,{\begin{pmatrix}{\boldsymbol {\sigma }}\cdot {\boldsymbol {\Pi }}\,\psi _{2}\\{\boldsymbol {\sigma }}\cdot {\boldsymbol {\Pi }}\,\psi _{1}\end{pmatrix}}+q\,\phi \,{\begin{pmatrix}\psi _{1}\\\psi _{2}\end{pmatrix}}+mc^{2}\,{\begin{pmatrix}\psi _{1}\\-\psi _{2}\end{pmatrix}},}$$

donde y son espinor de dos componentes , formando un bispinor . ${\textstyle \partial _{t}={\frac {\partial }{\partial t}}}$ ${\displaystyle \psi _{1},\psi _{2}}$

Usando el siguiente ansatz:

$${\displaystyle {\begin{pmatrix}\psi _{1}\\\psi _{2}\end{pmatrix}}=e^{-i{\tfrac {mc^{2}t}{\hbar }}}{\begin{pmatrix}\psi \\\chi \end{pmatrix}},}$$

${\displaystyle \psi ,\chi }$

$${\displaystyle i\hbar \partial _{t}{\begin{pmatrix}\psi \\\chi \end{pmatrix}}=c\,{\begin{pmatrix}{\boldsymbol {\sigma }}\cdot {\boldsymbol {\Pi }}\,\chi \\{\boldsymbol {\sigma }}\cdot {\boldsymbol {\Pi }}\,\psi \end{pmatrix}}+q\,\phi \,{\begin{pmatrix}\psi \\\chi \end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0\\-2\,mc^{2}\,\chi \end{pmatrix}}.}$$

En el límite no relativista, las energías cinética y electrostática son pequeñas con respecto a la energía en reposo , lo que lleva a la ecuación de Lévy-Leblond . ^[5] Así ${\displaystyle \partial _{t}\chi }$ ${\displaystyle mc^{2}}$

$${\displaystyle \chi \approx {\frac {{\boldsymbol {\sigma }}\cdot {\boldsymbol {\Pi }}\,\psi }{2\,mc}}\,.}$$

Insertada en el componente superior de la ecuación de Dirac, encontramos la ecuación de Pauli (forma general):

$${\displaystyle i\hbar \,\partial _{t}\,\psi =\left[{\frac {({\boldsymbol {\sigma }}\cdot {\boldsymbol {\Pi }})^{2}}{2\,m}}+q\,\phi \right]\psi .}$$

De una transformación de Foldy-Wouthuysen

La derivación rigurosa de la ecuación de Pauli se deriva de la ecuación de Dirac en un campo externo y realizando una transformación de Foldy-Wouthuysen ^[4] considerando términos hasta el orden . De manera similar, se pueden determinar correcciones de orden superior a la ecuación de Pauli que dan lugar a términos de interacción espín-órbita y de Darwin , cuando en su lugar se expande hasta el orden . ^[6] ${\displaystyle {\mathcal {O}}(1/mc)}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(1/(mc)^{2})}$

acoplamiento pauli

La ecuación de Pauli se obtiene requiriendo un acoplamiento mínimo , lo que proporciona un factor g = 2. La mayoría de las partículas elementales tienen factores g anómalos , diferentes de 2. En el dominio de la teoría cuántica de campos relativista , se define un acoplamiento no mínimo, a veces llamado acoplamiento de Pauli, para agregar un factor anómalo.

${\displaystyle \gamma ^{\mu }p_{\mu }\to \gamma ^{\mu }p_{\mu }-q\gamma ^{\mu }A_{\mu }+a\sigma _{\mu \nu }F^{\mu \nu }}$

donde es el operador de cuatro momentos , es el cuatro potenciales electromagnético , es proporcional al momento dipolar magnético anómalo , es el tensor electromagnético , y son las matrices de espín lorentziano y el conmutador de las matrices gamma . ^{[7] [8]} En el contexto de la mecánica cuántica no relativista, en lugar de trabajar con la ecuación de Schrödinger, el acoplamiento de Pauli equivale a usar la ecuación de Pauli (o postular la energía de Zeeman ) para un factor g arbitrario . ${\displaystyle p_{\mu }}$ ${\displaystyle A_{\mu }}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle F^{\mu \nu }=\partial ^{\mu }A^{\nu }-\partial ^{\nu }A^{\mu }}$ ${\textstyle \sigma _{\mu \nu }={\frac {i}{2}}[\gamma _{\mu },\gamma _{\nu }]}$ ${\displaystyle \gamma ^{\mu }}$

Ver también

• Física semiclásica
• Física atómica, molecular y óptica.
• Contracción del grupo
• Descomposición de Gordon

Notas a pie de página

1. La fórmula utilizada aquí es para una partícula con espín ½, con factor g y factor g orbital . De manera más general, viene dado por: ¿ dónde está relacionado el número cuántico de espín ? ${\textstyle g_{S}=2}$ ${\textstyle g_{L}=1}$ ${\displaystyle g_{J}={\frac {3}{2}}+{\frac {m_{s}(m_{s}+1)-\ell (\ell +1)}{2j(j+1)}}.}$ ${\displaystyle m_{s}}$ ${\displaystyle {\hat {S}}}$

Referencias

1. Pauli, Wolfgang (1927). "Zur Quantenmechanik des magnetischen Elektrons". Zeitschrift für Physik (en alemán). 43 (9–10): 601–623. Código bibliográfico : 1927ZPhy...43..601P. doi :10.1007/BF01397326. ISSN  0044-3328. S2CID  128228729.
2. Bransden, BH; Joachain, CJ (1983). Física de átomos y moléculas (1ª ed.). Prentice Hall. pag. 638.ISBN​ 0-582-44401-2.
3. Sidler, Dominik; Rokaj, Vasil; Ruggenthaler, Michael; Rubio, Ángel (26-10-2022). "Clase de niveles de Landau distorsionados y fases de Hall en un gas de electrones bidimensional sujeto a un campo magnético no homogéneo". Investigación de revisión física . 4 (4): 043059. Código bibliográfico : 2022PhRvR...4d3059S. doi : 10.1103/PhysRevResearch.4.043059. hdl : 10810/58724 . ISSN  2643-1564. S2CID  253175195.
4. Greiner, Walter (6 de diciembre de 2012). Mecánica cuántica relativista: ecuaciones de ondas. Saltador. ISBN 978-3-642-88082-7.
5. Greiner, Walter (4 de octubre de 2000). Mecánica cuántica: una introducción. Medios de ciencia y negocios de Springer. ISBN 978-3-540-67458-0.
6. Fröhlich, Jürg; Studer, Urban M. (1 de julio de 1993). "Invariancia de calibre y álgebra actual en la teoría no relativista de muchos cuerpos". Reseñas de Física Moderna . 65 (3): 733–802. Código Bib : 1993RvMP...65..733F. doi :10.1103/RevModPhys.65.733. ISSN  0034-6861.
7. Das, Ashok (2008). Conferencias sobre teoría cuántica de campos. Científico mundial. ISBN 978-981-283-287-0.
8. Barut, AO; McEwan, J. (enero de 1986). "Los cuatro estados del neutrino sin masa con acoplamiento de pauli por invariancia Spin-Gauge". Letras en Física Matemática . 11 (1): 67–72. Código bibliográfico : 1986LMaPh..11...67B. doi :10.1007/BF00417466. ISSN  0377-9017. S2CID  120901078.

Libros

• Schwabl, Franz (2004). Mecánica cuántica I. Saltador. ISBN 978-3540431060.
• Schwabl, Franz (2005). Quantenmechanik für Fortgeschrittene . Saltador. ISBN 978-3540259046.
• Claude Cohen-Tannoudji; Bernardo Diu; Frank Laloé (2006). Mecánica Cuántica 2 . Wiley, J. ISBN 978-0471569527.