instantáneo

Solitones en el espacio-tiempo euclidiano

El coeficiente dx ¹ ⊗σ ₃ de un instante BPST en la porción (x ¹ ,x ² ) de R ⁴ donde σ ₃ es la tercera matriz de Pauli (arriba a la izquierda). El coeficiente dx ² ⊗σ ₃ (arriba a la derecha). Estos coeficientes determinan la restricción del instante BPST A con g=2,ρ=1,z=0 a este segmento. La intensidad de campo correspondiente se centró alrededor de z=0 (abajo a la izquierda). Una representación visual de la intensidad de campo de un instantón BPST con centro z en la compactación S ⁴ de R ⁴ (abajo a la derecha). El instanton BPST es una solución instanton clásica de las ecuaciones de Yang-Mills en R ⁴ .

Un instantón (o pseudopartícula ^{[1] [2] [3]} ) es una noción que aparece en la física teórica y matemática . Un instantón es una solución clásica a las ecuaciones de movimiento con una acción finita distinta de cero , ya sea en mecánica cuántica o en teoría cuántica de campos . Más precisamente, es una solución a las ecuaciones de movimiento de la teoría de campos clásica en un espaciotiempo euclidiano . ^[4]

En tales teorías cuánticas, las soluciones a las ecuaciones de movimiento pueden considerarse puntos críticos de la acción . Los puntos críticos de la acción pueden ser máximos locales de la acción, mínimos locales o puntos silla . Los instantáneos son importantes en la teoría cuántica de campos porque:

• aparecen en la integral de trayectoria como las principales correcciones cuánticas del comportamiento clásico de un sistema, y
• se pueden utilizar para estudiar el comportamiento de los túneles en varios sistemas, como la teoría de Yang-Mills .

Relevante para la dinámica , las familias de instantones permiten que los instantones, es decir, diferentes puntos críticos de la ecuación de movimiento, se relacionen entre sí. En física, los instantones son particularmente importantes porque se cree que la condensación de instantones (y anti-instantones inducidos por ruido) es la explicación de la fase caótica inducida por ruido conocida como criticidad autoorganizada .

Matemáticas

Matemáticamente, un instantón de Yang-Mills es una conexión auto-dual o anti-auto-dual en un paquete principal sobre una variedad de Riemann de cuatro dimensiones que desempeña el papel del espacio-tiempo físico en la teoría del calibre no abeliano . Los instantáneos son soluciones topológicamente no triviales de las ecuaciones de Yang-Mills que minimizan absolutamente la energía funcional dentro de su tipo topológico. ^[5] Las primeras soluciones de este tipo se descubrieron en el caso del espacio euclidiano de cuatro dimensiones compactado en una esfera de cuatro dimensiones , y resultaron estar localizadas en el espacio-tiempo, lo que dio lugar a los nombres de pseudopartícula e instantón .

Los instantones de Yang-Mills se han construido explícitamente en muchos casos mediante la teoría de twistores , que los relaciona con haces de vectores algebraicos en superficies algebraicas , y mediante la construcción ADHM , o reducción de hiperkähler (ver variedad de hiperkähler ), un procedimiento de teoría geométrica invariante. El innovador trabajo de Simon Donaldson , por el que más tarde recibió la medalla Fields , utilizó el espacio de módulos de instantones sobre una variedad diferenciable de cuatro dimensiones dada como un nuevo invariante de la variedad que depende de su estructura diferenciable y lo aplicó a la construcción. de cuatro variedades homeomorfas pero no difeomorfas . Muchos métodos desarrollados en el estudio de instantones también se han aplicado a los monopolos . Esto se debe a que los monopolos magnéticos surgen como soluciones de una reducción dimensional de las ecuaciones de Yang-Mills. ^[6]

Mecánica cuántica

Se puede utilizar un instanten para calcular la probabilidad de transición de una partícula de mecánica cuántica que atraviesa una barrera de potencial. Un ejemplo de un sistema con efecto instantáneo es una partícula en un potencial de doble pozo . A diferencia de una partícula clásica, existe una probabilidad constante de que atraviese una región de energía potencial superior a su propia energía. ^[4]

Motivación de considerar instantes.

Considere la mecánica cuántica del movimiento de una sola partícula dentro del potencial de doble pozo. La energía potencial toma su valor mínimo en , y estos se llaman mínimos clásicos porque la partícula tiende a ubicarse en uno de ellos en la mecánica clásica. Hay dos estados de energía más bajos en la mecánica clásica. ${\displaystyle V(x)={1 \over 4}(x^{2}-1)^{2}.}$ ${\displaystyle x=\pm 1}$

En mecánica cuántica resolvemos la ecuación de Schrödinger

${\displaystyle -{\hbar ^{2} \over 2m}{\partial ^{2} \over \partial x^{2}}\psi (x)+V(x)\psi (x)=E\psi (x),}$

Identificar los estados propios de energía. Si hacemos esto, encontraremos sólo el único estado de menor energía en lugar de dos estados. La función de onda del estado fundamental se localiza en ambos mínimos clásicos en lugar de solo en uno de ellos debido a la interferencia cuántica o al túnel cuántico. ${\displaystyle x=\pm 1}$

Los instantáneos son la herramienta para comprender por qué sucede esto dentro de la aproximación semiclásica de la formulación de trayectoria integral en el tiempo euclidiano. Primero veremos esto usando la aproximación WKB que calcula aproximadamente la función de onda en sí, y pasaremos a introducir instantenes usando la formulación de integral de trayectoria.

aproximación WKB

Una forma de calcular esta probabilidad es mediante la aproximación semiclásica WKB , que requiere que el valor de sea pequeño. La ecuación de Schrödinger independiente del tiempo para la partícula dice ${\displaystyle \hbar }$

${\displaystyle {\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}={\frac {2m(V(x)-E)}{\hbar ^{2}}}\psi .}$

Si el potencial fuera constante, la solución sería una onda plana, hasta un factor de proporcionalidad,

${\displaystyle \psi =\exp(-\mathrm {i} kx)\,}$

con

${\displaystyle k={\frac {\sqrt {2m(E-V)}}{\hbar }}.}$

Esto significa que si la energía de la partícula es menor que la energía potencial, se obtiene una función exponencialmente decreciente. La amplitud del túnel asociada es proporcional a

${\displaystyle e^{-{\frac {1}{\hbar }}\int _{a}^{b}{\sqrt {2m(V(x)-E)}}\,dx},}$

donde a y b son el inicio y el final de la trayectoria del túnel.

Interpretación integral de camino a través de instantones.

Alternativamente, el uso de integrales de trayectoria permite una interpretación instantánea y se puede obtener el mismo resultado con este enfoque. En la formulación de integral de trayectoria, la amplitud de transición se puede expresar como

${\displaystyle K(a,b;t)=\langle x=a|e^{-{\frac {i\mathbb {H} t}{\hbar }}}|x=b\rangle =\int d[x(t)]e^{\frac {iS[x(t)]}{\hbar }}.}$

Siguiendo el proceso de rotación de Wick (continuación analítica) al espacio-tiempo euclidiano ( ), se obtiene ${\displaystyle it\rightarrow \tau }$

${\displaystyle K_{E}(a,b;\tau )=\langle x=a|e^{-{\frac {\mathbb {H} \tau }{\hbar }}}|x=b\rangle =\int d[x(\tau )]e^{-{\frac {S_{E}[x(\tau )]}{\hbar }}},}$

con la acción euclidiana

${\displaystyle S_{E}=\int _{\tau _{a}}^{\tau _{b}}\left({\frac {1}{2}}m\left({\frac {dx}{d\tau }}\right)^{2}+V(x)\right)d\tau .}$

La energía potencial cambia de signo bajo la rotación de Wick y los mínimos se transforman en máximos, exhibiendo así dos "colinas" de energía máxima. ${\displaystyle V(x)\rightarrow -V(x)}$ ${\displaystyle V(x)}$

Consideremos ahora el mínimo local de la acción euclidiana con el potencial de doble pozo , y lo establecemos sólo para simplificar el cálculo. Como queremos saber cómo se conectan los dos estados de energía clásicamente más bajos, establezcamos y . Para y , podemos reescribir la acción euclidiana como ${\displaystyle S_{E}}$ ${\displaystyle V(x)={1 \over 4}(x^{2}-1)^{2}}$ ${\displaystyle m=1}$ ${\displaystyle x=\pm 1}$ ${\displaystyle a=-1}$ ${\displaystyle b=1}$ ${\displaystyle a=-1}$ ${\displaystyle b=1}$

${\displaystyle S_{E}=\int _{\tau _{a}}^{\tau _{b}}d\tau {1 \over 2}\left({dx \over d\tau }-{\sqrt {2V(x)}}\right)^{2}+{\sqrt {2}}\int _{\tau _{a}}^{\tau _{b}}d\tau {dx \over d\tau }{\sqrt {V(x)}}}$

${\displaystyle \quad =\int _{\tau _{a}}^{\tau _{b}}d\tau {1 \over 2}\left({dx \over d\tau }-{\sqrt {2V(x)}}\right)^{2}+\int _{-1}^{1}dx{1 \over {\sqrt {2}}}(1-x^{2}).}$

${\displaystyle \quad \geq {2{\sqrt {2}} \over 3}.}$

La desigualdad anterior está saturada por la solución de con la condición y . Tales soluciones existen y la solución toma la forma simple cuando y . La fórmula explícita para la solución instanton viene dada por ${\displaystyle {dx \over d\tau }={\sqrt {2V(x)}}}$ ${\displaystyle x(\tau _{a})=-1}$ ${\displaystyle x(\tau _{b})=1}$ ${\displaystyle \tau _{a}=-\infty }$ ${\displaystyle \tau _{b}=\infty }$

${\displaystyle x(\tau )=\tanh \left({1 \over {\sqrt {2}}}(\tau -\tau _{0})\right).}$

Aquí hay una constante arbitraria. Dado que esta solución salta instantáneamente de un vacío clásico a otro vacío clásico alrededor de , se llama instantón. ${\displaystyle \tau _{0}}$ ${\displaystyle x=-1}$ ${\displaystyle x=1}$ ${\displaystyle \tau =\tau _{0}}$

Fórmula explícita para el potencial de doble pozo

La fórmula explícita para las energías propias de la ecuación de Schrödinger con potencial de doble pozo ha sido dada por Müller-Kirsten ^[7] con derivación mediante un método de perturbación (más condiciones de contorno) aplicado a la ecuación de Schrödinger y derivación explícita de la integral de trayectoria. (y WKB). El resultado es el siguiente. Definición de parámetros de la ecuación de Schrödinger y el potencial mediante las ecuaciones.

${\displaystyle {\frac {d^{2}y(z)}{dz^{2}}}+[E-V(z)]y(z)=0,}$

y

${\displaystyle V(z)=-{\frac {1}{4}}z^{2}h^{4}+{\frac {1}{2}}c^{2}z^{4},\;\;\;c^{2}>0,\;h^{4}>0,}$

Se encuentra que los valores propios de son: ${\displaystyle q_{0}=1,3,5,...}$

${\displaystyle E_{\pm }(q_{0},h^{2})=-{\frac {h^{8}}{2^{5}c^{2}}}+{\frac {1}{\sqrt {2}}}q_{0}h^{2}-{\frac {c^{2}(3q_{0}^{2}+1)}{2h^{4}}}-{\frac {{\sqrt {2}}c^{4}q_{0}}{8h^{10}}}(17q_{0}^{2}+19)+O({\frac {1}{h^{16}}})}$

${\displaystyle \mp {\frac {2^{q_{0}+1}h^{2}(h^{6}/2c^{2})^{q_{0}/2}}{{\sqrt {\pi }}2^{q_{0}/4}[(q_{0}-1)/2]!}}e^{-h^{6}/6{\sqrt {2}}c^{2}}.}$

Claramente estos valores propios son asintóticamente ( ) degenerados como se esperaba como consecuencia de la parte armónica del potencial. ${\displaystyle h^{2}\rightarrow \infty }$

Resultados

Los resultados obtenidos de la integral de trayectoria euclidiana matemáticamente bien definida se pueden girar hacia atrás en Wick y dar los mismos resultados físicos que se obtendrían mediante el tratamiento apropiado de la integral de trayectoria de Minkowski (potencialmente divergente). Como se puede ver en este ejemplo, calcular la probabilidad de transición de la partícula para atravesar una región clásicamente prohibida ( ) con la integral de trayectoria de Minkowski corresponde a calcular la probabilidad de transición para atravesar una región clásicamente permitida (con potencial − V ( X ) ) en la integral de trayectoria euclidiana (en términos pictóricos, en la imagen euclidiana, esta transición corresponde a una partícula que rueda desde una colina de un potencial de doble pozo que se encuentra boca arriba hasta la otra colina). Esta solución clásica de las ecuaciones euclidianas de movimiento a menudo se denomina "solución de torcedura" y es un ejemplo de instanton . En este ejemplo, los dos "vacíos" (es decir, estados fundamentales) del potencial del doble pozo se convierten en colinas en la versión euclidiana del problema. ${\displaystyle V(x)}$

Así, la solución de campo instantáneo de la teoría de campo (euclidiana, es decir, con tiempo imaginario) (1 + 1) dimensional –primera descripción mecánica cuántica cuantificada– permite ser interpretada como un efecto túnel entre los dos vacíos (estados fundamentales – superior los estados requieren instantes periódicos) del sistema físico (espacio unidimensional + tiempo real) de Minkowski. En el caso del potencial de doble pozo escrito

${\displaystyle V(\phi )={\frac {m^{4}}{2g^{2}}}\left(1-{\frac {g^{2}\phi ^{2}}{m^{2}}}\right)^{2}}$

el instanton, es decir, la solución de

${\displaystyle {\frac {d^{2}\phi }{d\tau ^{2}}}=V'(\phi ),}$

(es decir, con energía ), es ${\displaystyle E_{cl}=0}$

${\displaystyle \phi _{c}(\tau )={\frac {m}{g}}\tanh \left[m(\tau -\tau _{0})\right],}$

¿Dónde está el tiempo euclidiano? ${\displaystyle \tau =it}$

Tenga en cuenta que una teoría ingenua de la perturbación en torno a una de esas dos vacuas solas (de la descripción de Minkowski) nunca mostraría este efecto túnel no perturbativo , cambiando drásticamente la imagen de la estructura del vacío de este sistema mecánico cuántico. De hecho, la ingenua teoría de la perturbación debe complementarse con condiciones de contorno, y éstas proporcionan el efecto no perturbativo, como se desprende de la fórmula explícita anterior y de cálculos análogos para otros potenciales, como el potencial coseno (cf. función de Mathieu ) u otros potenciales periódicos. (cf. p. ej. función de Lamé y función de onda esferoidal ) e independientemente de si se utiliza la ecuación de Schrödinger o la integral de trayectoria . ^[8]

Por lo tanto, es posible que el enfoque perturbativo no describa completamente la estructura de vacío de un sistema físico. Esto puede tener consecuencias importantes, por ejemplo, en la teoría de los "axiones", donde los efectos de vacío QCD no triviales (como los instantones ) arruinan explícitamente la simetría de Peccei-Quinn y transforman los bosones de Nambu-Goldstone sin masa en pseudo-Nambu-Goldstone masivos. unos .

Instantones periódicos

En la teoría de campos unidimensional o en la mecánica cuántica, se define como "instanton" una configuración de campo que es una solución de la ecuación de movimiento clásica (tipo Newton) con tiempo euclidiano y acción euclidiana finita. En el contexto de la teoría de solitones, la solución correspondiente se conoce como torcedura . En vista de su analogía con el comportamiento de las partículas clásicas, tales configuraciones o soluciones, así como otras, se conocen colectivamente como pseudopartículas o configuraciones pseudoclásicas. La solución "instanton" (kink) va acompañada de otra solución conocida como "anti-instanton" (anti-kink), e instanton y anti-instanton se distinguen por "cargas topológicas" +1 y −1 respectivamente, pero tienen la misma Acción euclidiana.

Los "instantáneos periódicos" son una generalización de los instantáneos. ^[9] En forma explícita, se pueden expresar en términos de funciones elípticas jacobianas que son funciones periódicas (efectivamente, generalizaciones de funciones trigonométricas). En el límite de un período infinito, estos instantes periódicos, frecuentemente conocidos como "rebotes", "burbujas" o similares, se reducen a instantes.

La estabilidad de estas configuraciones pseudoclásicas se puede investigar ampliando el lagrangiano definiendo la teoría en torno a la configuración de pseudopartículas y luego investigando la ecuación de pequeñas fluctuaciones a su alrededor. Para todas las versiones de potenciales cuárticos (doble pozo, doble pozo invertido) y potenciales periódicos (Mathieu), se descubrió que estas ecuaciones eran ecuaciones de Lamé, consulte Función de Lamé . ^[10] Los valores propios de estas ecuaciones son conocidos y permiten, en caso de inestabilidad, calcular las tasas de desintegración mediante la evaluación de la integral de trayectoria. ^[9]

Instantones en la teoría de la velocidad de reacción.

En el contexto de la teoría de la velocidad de reacción, los instantes periódicos se utilizan para calcular la velocidad de formación de túneles de los átomos en reacciones químicas. El progreso de una reacción química se puede describir como el movimiento de una pseudopartícula sobre una superficie de energía potencial (PES) de alta dimensión. La constante de velocidad térmica se puede entonces relacionar con la parte imaginaria de la energía libre mediante ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle F}$

${\displaystyle k(\beta )=-{\frac {2}{\hbar }}{\text{Im}}\mathrm {F} ={\frac {2}{\beta \hbar }}{\text{Im}}\ {\text{ln}}(Z_{k})\approx {\frac {2}{\hbar \beta }}{\frac {{\text{Im}}Z_{k}}{{\text{Re}}Z_{k}}},\ \ {\text{Re}}Z_{k}\gg {\text{Im}}Z_{k}}$

donde es la función de partición canónica que se calcula tomando la traza del operador de Boltzmann en la representación de posición. ${\displaystyle Z_{k}}$

${\displaystyle Z_{k}={\text{Tr}}(e^{-\beta {\hat {H}}})=\int d\mathbf {x} \left\langle \mathbf {x} \left|e^{-\beta {\hat {H}}}\right|\mathbf {x} \right\rangle }$

Usando una rotación de mecha e identificando el tiempo euclidiano con uno se obtiene una representación integral de trayectoria para la función de partición en coordenadas ponderadas en masa. ${\displaystyle \hbar \beta =1/(k_{b}T)}$

${\displaystyle Z_{k}=\oint {\mathcal {D}}\mathbf {x} (\tau )e^{-S_{E}[\mathbf {x} (\tau )]/\hbar },\ \ \ S_{E}=\int _{0}^{\beta \hbar }\left({\frac {\dot {\mathbf {x} }}{2}}^{2}+V(\mathbf {x} (\tau ))\right)d\tau }$

Luego, la integral de trayectoria se aproxima mediante una integración descendente más pronunciada que solo tiene en cuenta las contribuciones de las soluciones clásicas y las fluctuaciones cuadráticas a su alrededor. Esto produce la expresión de la constante de velocidad en coordenadas ponderadas en masa.

${\displaystyle k(\beta )={\frac {2}{\beta \hbar }}\left({\frac {{\text{det}}\left[-{\frac {\partial ^{2}}{\partial \tau ^{2}}}+\mathbf {V} ''(x_{\text{RS}}(\tau ))\right]}{{\text{det}}\left[-{\frac {\partial ^{2}}{\partial \tau ^{2}}}+\mathbf {V} ''(x_{\text{Inst}}(\tau ))\right]}}\right)^{\frac {1}{2}}{\exp \left({\frac {-S_{E}[x_{\text{inst}}(\tau )+S_{E}[x_{\text{RS}}(\tau )]}{\hbar }}\right)}}$

donde es un instantón periódico y es la solución trivial de la pseudopartícula en reposo que representa la configuración del estado reactivo. ${\displaystyle \mathbf {x} _{\text{Inst}}}$ ${\displaystyle \mathbf {x} _{\text{RS}}}$

Fórmula de doble pocillo invertida

En cuanto al potencial de doble pozo, se pueden derivar los valores propios del potencial de doble pozo invertido. En este caso, sin embargo, los valores propios son complejos. Definición de parámetros mediante las ecuaciones.

${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dz^{2}}}+[E-V(z)]y(z)=0,\;\;\;V(z)={\frac {1}{4}}h^{4}z^{2}-{\frac {1}{2}}c^{2}z^{4},}$

los valores propios dados por Müller-Kirsten son, por ejemplo ${\displaystyle q_{0}=1,3,5,...,}$

${\displaystyle E={\frac {1}{2}}q_{0}h^{2}-{\frac {3c^{2}}{4h^{4}}}(q_{0}^{2}+1)-{\frac {q_{0}c^{4}}{h^{10}}}(4q_{0}^{2}+29)+O({\frac {1}{h^{16}}})\pm i{\frac {2^{q_{0}}h^{2}(h^{6}/2c^{2})^{q_{0}/2}}{(2\pi )^{1/2}[(q_{0}-1)/2]!}}e^{-h^{6}/6c^{2}}.}$

La parte imaginaria de esta expresión concuerda con el conocido resultado de Bender y Wu. ^[11] En su notación ${\displaystyle \hbar =1,q_{0}=2K+1,h^{6}/2c^{2}=\epsilon .}$

Teoría cuántica de campos

Al estudiar la teoría cuántica de campos (QFT), la estructura de vacío de una teoría puede llamar la atención sobre los instantes. Tal como lo ilustra un sistema mecánico cuántico de doble pozo, un vacío ingenuo puede no ser el verdadero vacío de una teoría de campos. Además, el verdadero vacío de una teoría de campos puede ser una "superposición" de varios sectores topológicamente desiguales, el llamado " vacío topológico ".

Un ejemplo ilustrativo y bien comprendido de un instantón y su interpretación se puede encontrar en el contexto de una QFT con un grupo de calibre no abeliano , ^{[nota 2]} una teoría de Yang-Mills . Para una teoría de Yang-Mills, estos sectores desiguales pueden clasificarse (en un calibre apropiado) por el tercer grupo de homotopía de SU(2) (cuyo grupo múltiple es el de 3 esferas ). Un cierto vacío topológico (un "sector" del vacío verdadero) está etiquetado por una transformada inalterada , el índice de Pontryagin . Como se ha descubierto que el tercer grupo de homotopía es el conjunto de números enteros , ${\displaystyle S^{3}}$ ${\displaystyle S^{3}}$

${\displaystyle \pi _{3}}$ ${\displaystyle (S^{3})=}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} \,}$

hay infinitas vacuas topológicamente desiguales, denotadas por , donde está su correspondiente índice de Pontryagin. Un instantón es una configuración de campo que cumple las ecuaciones clásicas de movimiento en el espacio-tiempo euclidiano, lo que se interpreta como un efecto túnel entre estos diferentes vacíos topológicos. De nuevo está etiquetado por un número entero, su índice de Pontryagin . Uno puede imaginar un instante con índice para cuantificar el túnel entre vacío topológico y . Si Q = 1, la configuración se denomina BPST instanton en honor a sus descubridores Alexander Belavin , Alexander Polyakov , Albert S. Schwarz y Yu. S. Tyupkin. El verdadero vacío de la teoría está etiquetado por un "ángulo" theta y es una superposición de los sectores topológicos: ${\displaystyle |N\rangle }$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle |N\rangle }$ ${\displaystyle |N+Q\rangle }$

${\displaystyle |\theta \rangle =\sum _{N=-\infty }^{N=+\infty }e^{i\theta N}|N\rangle .}$

Gerard 't Hooft realizó por primera vez el cálculo teórico de campo de los efectos del instantón BPST en una teoría acoplada a fermiones en [1]. Demostró que los modos cero de la ecuación de Dirac en el fondo instantáneo conducen a una interacción multifermión no perturbativa en la acción efectiva de baja energía.

Teoría de Yang-Mills

La acción clásica de Yang-Mills sobre un paquete principal con grupo estructural G , base M , conexión A y curvatura (tensor de campo de Yang-Mills) F es

${\displaystyle S_{YM}=\int _{M}\left|F\right|^{2}d\mathrm {vol} _{M},}$

¿Dónde está la forma del volumen ? Si el producto interno de , cuyo álgebra de Lie toma valores, está dado por la forma Killing de , entonces esto se puede denotar como , ya que ${\displaystyle d\mathrm {vol} _{M}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \int _{M}\mathrm {Tr} (F\wedge *F)}$

${\displaystyle F\wedge *F=\langle F,F\rangle d\mathrm {vol} _{M}.}$

Por ejemplo, en el caso del grupo calibre U(1) , F será el tensor del campo electromagnético . Del principio de acción estacionaria se derivan las ecuaciones de Yang-Mills. Ellos son

${\displaystyle \mathrm {d} F=0,\quad \mathrm {d} {*F}=0.}$

La primera de ellas es una identidad, porque d F = d ² A = 0, pero la segunda es una ecuación diferencial parcial de segundo orden para la conexión A , y si el vector de corriente de Minkowski no desaparece, el cero en el lado derecho. de la segunda ecuación se reemplaza por . Pero observe cuán similares son estas ecuaciones; se diferencian por una estrella de Hodge . Por lo tanto, una solución a la ecuación más simple de primer orden (no lineal) ${\displaystyle \mathbf {J} }$

${\displaystyle {*F}=\pm F\,}$

es automáticamente también una solución de la ecuación de Yang-Mills. Esta simplificación ocurre en 4 variedades con: de modo que en 2 formas. Estas soluciones suelen existir, aunque su carácter preciso depende de la dimensión y topología del espacio base M, el haz principal P y el grupo de calibre G. ${\displaystyle s=1}$ ${\displaystyle *^{2}=+1}$

En teorías nobelianas de Yang-Mills, y donde D es la derivada covariante exterior . Además, la identidad Bianchi ${\displaystyle DF=0}$ ${\displaystyle D*F=0}$

${\displaystyle DF=dF+A\wedge F-F\wedge A=d(dA+A\wedge A)+A\wedge (dA+A\wedge A)-(dA+A\wedge A)\wedge A=0}$

Está satisfecho.

En la teoría cuántica de campos , un instantón es una configuración de campo topológicamente no trivial en el espacio euclidiano de cuatro dimensiones (considerado como la rotación de Wick del espacio-tiempo de Minkowski ). Específicamente, se refiere a un campo de calibre A de Yang-Mills que se acerca al calibre puro en el infinito espacial . Esto significa que la intensidad del campo

${\displaystyle \mathbf {F} =d\mathbf {A} +\mathbf {A} \wedge \mathbf {A} }$

desaparece en el infinito. El nombre instanton deriva del hecho de que estos campos están localizados en el espacio y el tiempo (euclidiano), es decir, en un instante específico.

El caso de los instantones en el espacio bidimensional puede ser más fácil de visualizar porque admite el caso más simple del grupo calibre , a saber, U(1), que es un grupo abeliano . En este caso, el campo A se puede visualizar simplemente como un campo vectorial . Un instanten es una configuración en la que, por ejemplo, las flechas apuntan en dirección opuesta a un punto central (es decir, un estado "erizo"). En las cuatro dimensiones euclidianas , los instantones abelianos son imposibles. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$

La configuración de campo de un instantón es muy diferente a la del vacío . Debido a esto, los instantones no se pueden estudiar mediante el uso de diagramas de Feynman , que solo incluyen efectos perturbativos . Los instantáneos son fundamentalmente no perturbativos .

La energía Yang-Mills está dada por

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\int _{\mathbb {R} ^{4}}\operatorname {Tr} [*\mathbf {F} \wedge \mathbf {F} ]}$

donde ∗ es el dual de Hodge . Si insistimos en que las soluciones de las ecuaciones de Yang-Mills tienen energía finita , entonces la curvatura de la solución en el infinito (tomada como límite ) tiene que ser cero. Esto significa que la invariante de Chern-Simons se puede definir en el límite de los tres espacios. Esto equivale, según el teorema de Stokes , a tomar la integral

${\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{4}}\operatorname {Tr} [\mathbf {F} \wedge \mathbf {F} ].}$

Este es un invariante de homotopía y nos dice a qué clase de homotopía pertenece el instantón.

Dado que la integral de un integrando no negativo siempre es no negativa,

${\displaystyle 0\leq {\frac {1}{2}}\int _{\mathbb {R} ^{4}}\operatorname {Tr} [(*\mathbf {F} +e^{-i\theta }\mathbf {F} )\wedge (\mathbf {F} +e^{i\theta }*\mathbf {F} )]=\int _{\mathbb {R} ^{4}}\operatorname {Tr} [*\mathbf {F} \wedge \mathbf {F} +\cos \theta \mathbf {F} \wedge \mathbf {F} ]}$

para todo θ real. Entonces, esto significa

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\int _{\mathbb {R} ^{4}}\operatorname {Tr} [*\mathbf {F} \wedge \mathbf {F} ]\geq {\frac {1}{2}}\left|\int _{\mathbb {R} ^{4}}\operatorname {Tr} [\mathbf {F} \wedge \mathbf {F} ]\right|.}$

Si este enlace está saturado, entonces la solución es un estado BPS . Para tales estados, ∗ F = F o ∗ F = − F dependiendo del signo del invariante de homotopía .

En el modelo estándar se espera que los instantones estén presentes tanto en el sector electrodébil como en el sector cromodinámico, sin embargo, su existencia aún no ha sido confirmada experimentalmente. ^[12] Los efectos instantáneos son importantes para comprender la formación de condensados ​​en el vacío de la cromodinámica cuántica (QCD) y para explicar la masa de la llamada 'partícula eta-prima', un bosón de Goldstone ^{[nota 3]} que ha adquirido masa a través de la anomalía de corriente axial de QCD. Tenga en cuenta que a veces también hay un solitón correspondiente en una teoría con una dimensión espacial adicional. Investigaciones recientes sobre instantones los vinculan con temas como las D-branas y los agujeros negros y, por supuesto, la estructura de vacío de QCD. Por ejemplo, en las teorías de cuerdas orientadas , una brana Dp es un instante de la teoría de calibre en la teoría de calibre U ( N ) de volumen mundial ( p  + 5) dimensional en una pila de N D ( p  + 4) -branas.

Varios números de dimensiones.

Los instantones juegan un papel central en la dinámica no perturbativa de las teorías de calibre. El tipo de excitación física que produce un instanten depende del número de dimensiones del espacio-tiempo, pero, sorprendentemente, el formalismo para tratar con estos instantes es relativamente independiente de las dimensiones.

En las teorías de calibre de 4 dimensiones, como se describe en la sección anterior, los instantones son paquetes de calibre con una clase característica de cuatro formas no trivial . Si la simetría de calibre es un grupo unitario o un grupo unitario especial , entonces esta clase característica es la segunda clase Chern , que desaparece en el caso del grupo de calibre U(1). Si la simetría de calibre es un grupo ortogonal, entonces esta clase es la primera clase de Pontrjagin .

En las teorías de calibre tridimensionales con campos de Higgs , los monopolos de 't Hooft-Polyakov desempeñan el papel de instantones. En su artículo de 1977 Quark Confinement and Topology of Gauge Groups, Alexander Polyakov demostró que los efectos instantáneos en QED tridimensional acoplados a un campo escalar conducen a una masa para el fotón .

En las teorías de calibre abeliano bidimensionales, los instantones de la lámina mundial son vórtices magnéticos . Son responsables de muchos efectos no perturbativos en la teoría de cuerdas y desempeñan un papel central en la simetría especular .

En la mecánica cuántica unidimensional , los instantones describen la formación de túneles , que es invisible en la teoría de la perturbación.

Teorías de calibre supersimétrico 4d

Las teorías de calibre supersimétricas a menudo obedecen a teoremas de no renormalización , que restringen los tipos de correcciones cuánticas permitidas. Muchos de estos teoremas sólo se aplican a correcciones calculables en la teoría de la perturbación y, por lo tanto, los instantes, que no se ven en la teoría de la perturbación, proporcionan las únicas correcciones a estas cantidades.

Las técnicas de teoría de campo para cálculos instantáneos en teorías supersimétricas fueron estudiadas extensamente en la década de 1980 por varios autores. Debido a que la supersimetría garantiza la cancelación de los modos fermiónicos versus bosónicos distintos de cero en el fondo del instanton, el cálculo de 't Hooft involucrado del punto de silla del instanton se reduce a una integración sobre modos cero.

En N  = 1 teorías de calibre supersimétricas, los instantes pueden modificar el superpotencial , a veces levantando todos los vacíos. En 1984, Ian Affleck , Michael Dine y Nathan Seiberg calcularon las correcciones instantónicas del superpotencial en su artículo Dynamical Supersymmetry Breaking in Supermetric QCD. Más precisamente, solo pudieron realizar el cálculo cuando la teoría contiene un sabor de materia quiral menos que el número de colores en el grupo de calibre unitario especial, porque en presencia de menos sabores una simetría de calibre no abeliano ininterrumpida conduce a una divergencia infrarroja. y en el caso de más sabores el aporte es igual a cero. Para esta elección especial de materia quiral, se pueden elegir los valores esperados de vacío de los campos escalares de materia para romper completamente la simetría de calibre en un acoplamiento débil, lo que permite realizar un cálculo semiclásico confiable del punto de silla. Luego, considerando perturbaciones por varios términos de masa, pudieron calcular el superpotencial en presencia de números arbitrarios de colores y sabores, válido incluso cuando la teoría ya no está débilmente acoplada.

En N  = 2 teorías de calibre supersimétricas, el superpotencial no recibe correcciones cuánticas. Sin embargo , en una serie de artículos se calculó la corrección a la métrica del espacio de módulos de vacío a partir de instantes. En primer lugar, Nathan Seiberg calculó la corrección de un instante en Supersimetría y funciones beta no perturbativas. Nathan Seiberg y Edward Witten calcularon el conjunto completo de correcciones para la teoría SU(2) de Yang-Mills en "Dualidad eléctrica-magnética, condensación monopolar y confinamiento en la teoría supersimétrica de Yang-Mills N=2", creando en el proceso una tema que hoy se conoce como teoría de Seiberg-Witten . Ampliaron su cálculo a teorías de calibre SU(2) con materia fundamental en monopolos, dualidad y simetría quiral rompiendo en N=2 QCD supersimétrica. Estos resultados se ampliaron posteriormente para varios grupos de calibres y contenidos de materia, y en la mayoría de los casos también se obtuvo la derivación directa de la teoría de calibres. Para las teorías de calibre con grupo de calibre U (N), la geometría de Seiberg-Witten se derivó de la teoría de calibre utilizando funciones de partición de Nekrasov en 2003 por Nikita Nekrasov y Andrei Okounkov e independientemente por Hiraku Nakajima y Kota Yoshioka.

En N  = 4 teorías de calibre supersimétricas, los instantones no conducen a correcciones cuánticas para la métrica en el espacio de módulos de vacío.

Soluciones explícitas en ℝ 4

Un ansatz proporcionado por Corrigan y Fairlie proporciona una solución a las ecuaciones duales anti-auto de Yang-Mills con grupo de calibre SU (2) de cualquier función armónica en . ^{[13] [14]} El ansatz proporciona expresiones explícitas para el campo de calibre y se puede utilizar para construir soluciones con un número instantáneo arbitrariamente grande. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$

Definir los objetos con valores antisimétricos como ${\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)}$ ${\displaystyle \sigma _{\mu \nu }}$

$${\displaystyle \sigma _{ij}=\epsilon _{ijk}T_{k}\,,\sigma _{i4}=-\sigma _{4i}=T_{i},}$$

${\displaystyle T_{i}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)}$ ${\displaystyle [T_{i},T_{j}]=-\epsilon _{ijk}T_{k}}$

$${\displaystyle A_{\mu }=\sigma _{\mu \nu }{\frac {\partial _{\nu }\rho }{\rho }}=\sigma _{\mu \nu }\partial _{\nu }\log(\rho )}$$

${\displaystyle \rho :\mathbb {R} ^{4}\rightarrow \mathbb {R} }$

En cuatro dimensiones, la solución fundamental de la ecuación de Laplace es para cualquier fijo . La superposición de estos da soluciones -soliton de la forma ${\displaystyle |x-y|^{-2}}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle N+1}$ ${\displaystyle N}$

$${\displaystyle \rho (x)=\sum _{p=1}^{N}{\frac {\lambda _{p}}{|x-x_{p}|^{2}}}.}$$

Ver también

• Fluido Instanton  : aproximación integral de trayectoria no perturbativa
• Caloron  – Instantón de temperatura finita
• Sidney Coleman  - físico estadounidense (1937-2007)
• Método Holstein-Herring  : medio eficaz para obtener las divisiones de energía de intercambio de estados energéticos asintóticamente degenerados en sistemas molecularesPages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Instantón gravitacional  : variedad de Riemann completa de cuatro dimensiones que satisface las ecuaciones de Einstein del vacío
• Teoría semiclásica del estado de transición  - Teoría de la velocidad de reacción química
• Ecuaciones de Yang-Mills  : ecuaciones diferenciales parciales cuyas soluciones son instantáneas
• Teoría de calibre (matemáticas)  : estudio de haces de vectores, haces principales y haces de fibras.

Referencias y notas

Notas

1. Debido a que esta proyección es conforme , las curvas se cruzan ortogonalmente (en los puntos amarillos) como en 4D. Todas las curvas son círculos: las curvas que se cruzan con <0,0,0,1> tienen un radio infinito (= línea recta).
2. Ver también: Teoría del calibre no abeliano
3. Ver también: bosón pseudo-Goldstone

Citas

1. Instantones en las teorías de calibre. Editado por Mikhail A. Shifman. Científico mundial, 1994.
2. Interacciones entre partículas cargadas en un campo magnético. Por Hrachya Nersisyan, Christian Toepffer, Günter Zwicknagel. Springer, 19 de abril de 2007. Página 23
3. Teoría del comportamiento de la perturbación de orden grande. Editado por JC Le Guillou, J. Zinn-Justin. Elsevier, 2 de diciembre de 2012. Pág. 170.
4. Vaĭnshteĭn, AI; Zakharov, Valentín I.; Novikov, Viktor A.; Shifman, Mikhail A. (30 de abril de 1982). "ABC de los instantes". Física soviética Uspekhi . 25 (4): 195. doi :10.1070/PU1982v025n04ABEH004533. ISSN  0038-5670.
5. "Instantónico de Yang-Mills en nLab". ncatlab.org . Consultado el 11 de abril de 2023 .
6. Véase, por ejemplo, el artículo de Nigel Hitchin "Ecuaciones de auto-dualidad en la superficie de Riemann".
7. HJW Müller-Kirsten, Introducción a la mecánica cuántica: ecuación de Schrödinger e integral de trayectoria, 2ª ed. (Científico mundial, 2012), ISBN 978-981-4397-73-5 ; fórmula (18.175b), pág. 525. 
8. HJW Müller-Kirsten, Introducción a la mecánica cuántica: ecuación de Schrödinger e integral de ruta, 2ª ed., World Scientific, 2012, ISBN 978-981-4397-73-5 . 
9. Harald JW Müller-Kirsten, Introducción a la mecánica cuántica: ecuación de Schrödinger e integral de ruta, 2ª ed., World Scientific (Singapur, 2012).
10. Liang, Jiu-Qing; Müller-Kirsten, HJW; Tchrakian, DH (1992). "Solitones, rebotes y esfalerones en círculo". Letras de Física B. 282 (1–2). Elsevier BV: 105-110. Código Bib : 1992PhLB..282..105L. doi :10.1016/0370-2693(92)90486-n. ISSN  0370-2693.
11. Bender, Carl M.; Wu, Tai Tsun (15 de marzo de 1973). "Oscilador anarmónico. II. Un estudio de la teoría de la perturbación en orden grande". Revisión física D. 7 (6). Sociedad Estadounidense de Física (APS): 1620–1636. Código bibliográfico : 1973PhRvD...7.1620B. doi :10.1103/physrevd.7.1620. ISSN  0556-2821.
12. Amoroso, Simone; Kar, Deepak; Schott, Matías (2021). "Cómo descubrir QCD Instantons en el LHC". La revista física europea C. 81 (7): 624. arXiv : 2012.09120 . Código Bib : 2021EPJC...81..624A. doi :10.1140/epjc/s10052-021-09412-1. S2CID  229220708.
13. Corrigan, E.; Fairlie, DB (marzo de 1977). "Teoría de campos escalares y soluciones exactas a una teoría clásica de calibre SU (2)". Letras de Física B. 67 (1): 69–71. doi :10.1016/0370-2693(77)90808-5.
14. Dunajski, Maciej (2010). Solitones, instantones y tornadores . Oxford: Prensa de la Universidad de Oxford. pag. 123.ISBN​ 9780198570639.

General

• Instantones en teorías de calibre , una recopilación de artículos sobre instantenes, editado por Mikhail A. Shifman , doi :10.1142/2281
• Solitones e instantáneos , R. Rajaraman (Ámsterdam: Holanda Septentrional, 1987), ISBN 0-444-87047-4 
• Los usos de los instantáneos , de Sidney Coleman en Proc. En t. Escuela de Física Subnuclear , (Erice, 1977); y en Aspectos de simetría p. 265, Sidney Coleman, Cambridge University Press, 1985, ISBN 0-521-31827-0 ; y en Instantones en Teorías de calibre 
• Solitones, Instantones y Twistores . M. Dunajski, Oxford University Press. ISBN 978-0-19-857063-9 . 
• La geometría de las cuatro variedades , SK Donaldson, PB Kronheimer, Oxford University Press, 1990, ISBN 0-19-853553-8 . 

enlaces externos

• La definición del diccionario de instanton en Wikcionario