El problema de existencia y brecha de masa de Yang-Mills es un problema no resuelto en física matemática y matemáticas , y uno de los siete Problemas del Premio del Milenio definidos por el Clay Mathematics Institute , que ha ofrecido un premio de 1.000.000 de dólares estadounidenses por su solución.
El problema está redactado de la siguiente manera: [1]
En esta afirmación, una teoría cuántica de Yang-Mills es una teoría cuántica de campos no abeliana similar a la que subyace al modelo estándar de física de partículas ; es el 4 espacio euclidiano ; la brecha de masa Δ es la masa de la partícula menos masiva predicha por la teoría.
Por tanto, el ganador deberá acreditar que:
Por ejemplo, en el caso de G=SU(3) (la interacción nuclear fuerte), el ganador debe demostrar que las bolas de pegamento tienen un límite de masa inferior y, por tanto, no pueden ser arbitrariamente ligeras.
Se sabe que el problema general de determinar la presencia de una brecha espectral en un sistema es indecidible . [4] [5]
[...] todavía no tenemos un ejemplo matemáticamente completo de una teoría de calibre cuántico en el espacio-tiempo de cuatro dimensiones , ni siquiera una definición precisa de la teoría de calibre cuántico en cuatro dimensiones. ¿Cambiará esto en el siglo XXI? ¡Eso esperamos!
— De la descripción oficial del problema del Clay Institute realizada por Arthur Jaffe y Edward Witten .
El problema requiere la construcción de una QFT que satisfaga los axiomas de Wightman y muestre la existencia de una brecha de masa. Ambos temas se describen en las secciones siguientes.
El problema del Milenio requiere que la teoría de Yang-Mills propuesta satisfaga los axiomas de Wightman o axiomas igualmente estrictos. [1] Hay cuatro axiomas:
La mecánica cuántica se describe según von Neumann ; en particular, los estados puros están dados por los rayos, es decir, los subespacios unidimensionales, de algún espacio de Hilbert complejo separable .
Los axiomas de Wightman requieren que el grupo de Poincaré actúe unitariamente en el espacio de Hilbert. En otras palabras, tienen operadores dependientes de la posición llamados campos cuánticos que forman representaciones covariantes del grupo de Poincaré .
El grupo de traslaciones espacio-temporales es conmutativo , por lo que los operadores pueden diagonalizarse simultáneamente. Los generadores de estos grupos nos dan cuatro operadores autoadjuntos , que se transforman bajo el grupo homogéneo como un cuatro vectores , llamado cuatro vectores de energía-momento .
La segunda parte del axioma cero de Wightman es que la representación U ( a , A ) cumple la condición espectral: que el espectro simultáneo de energía-momento esté contenido en el cono delantero:
La tercera parte del axioma es que existe un estado único, representado por un rayo en el espacio de Hilbert, que es invariante bajo la acción del grupo de Poincaré. Se llama vacío.
Para cada función de prueba f , existe un conjunto de operadores que, junto con sus adjuntos, se definen en un subconjunto denso del espacio de estados de Hilbert, que contiene el vacío. Los campos A son distribuciones templadas valoradas por el operador . El espacio de estados de Hilbert está abarcado por los polinomios de campo que actúan sobre el vacío (condición de ciclicidad).
Los campos son covariantes bajo la acción del grupo de Poincaré , y se transforman según alguna representación S del grupo de Lorentz , o SL(2, C ) si el espín no es entero:
Si los soportes de dos campos están separados como un espacio , entonces los campos conmutan o anticonmutan.
La ciclicidad del vacío y la unicidad del vacío a veces se consideran por separado. Además, existe la propiedad de completitud asintótica: que el espacio de estados de Hilbert está abarcado por los espacios asintóticos y , que aparecen en la matriz S de colisión . La otra propiedad importante de la teoría de campos es la brecha de masa que los axiomas no exigen: que el espectro de energía-momento tiene una brecha entre cero y algún número positivo.
En la teoría cuántica de campos , la brecha de masa es la diferencia de energía entre el vacío y el siguiente estado de energía más bajo . La energía del vacío es cero por definición, y suponiendo que todos los estados de energía puedan considerarse como partículas en ondas planas, la brecha de masa es la masa de la partícula más ligera.
Para un campo real dado , podemos decir que la teoría tiene una brecha de masa si la función de dos puntos tiene la propiedad
siendo el valor energético más bajo en el espectro del hamiltoniano y, por tanto, la brecha de masa. Esta cantidad, fácil de generalizar a otros campos, es la que generalmente se mide en los cálculos reticulares. De esta manera se demostró que la teoría de Yang-Mills desarrolla una brecha de masa en una red. [6] [7]
La mayoría de las teorías cuánticas de campos conocidas y no triviales (es decir, que interactúan) en 4 dimensiones son teorías de campos efectivas con una escala de corte . Dado que la función beta es positiva para la mayoría de los modelos, parece que la mayoría de estos modelos tienen un polo Landau, ya que no está del todo claro si tienen puntos fijos UV no triviales . Esto significa que si dicha QFT está bien definida en todas las escalas, como debe estarlo para satisfacer los axiomas de la teoría cuántica de campos axiomática , tendría que ser trivial (es decir, una teoría de campo libre ).
La teoría cuántica de Yang-Mills con un grupo de calibre no abeliano y sin quarks es una excepción, porque la libertad asintótica caracteriza esta teoría, lo que significa que tiene un punto fijo UV trivial . Por lo tanto, es el QFT constructivo no trivial más simple en 4 dimensiones. ( QCD es una teoría más complicada porque involucra quarks ).
En el nivel de rigor de la física teórica , está bien establecido que la teoría cuántica de Yang-Mills para un grupo de Lie no abeliano exhibe una propiedad conocida como confinamiento ; aunque la física matemática adecuada tiene requisitos más exigentes para la demostración. Una consecuencia de esta propiedad es que por encima de la escala de confinamiento , las cargas de color están conectadas por tubos de flujo cromodinámico que conducen a un potencial lineal entre las cargas. Por tanto, no pueden existir cargas de color aisladas ni gluones aislados. En ausencia de confinamiento, esperaríamos ver gluones sin masa, pero como están confinados, todo lo que veríamos son estados unidos de gluones de color neutro, llamados bolas de pegamento . Si existen bolas de pegamento, son masivas, por lo que se espera una brecha de masa.
