Teoría de Yang-Mills

Teoría física que unifica las interacciones electromagnéticas, débiles y fuertes.

Problema no resuelto en física :

Teoría de Yang-Mills en el régimen no perturbativo : las ecuaciones de Yang-Mills siguen sin resolverse en escalas de energía relevantes para describir los núcleos atómicos . ¿Cómo da lugar la teoría de Yang-Mills a la física de los núcleos y sus constituyentes ?

(más problemas sin resolver en física)

La frase teoría de Yang-Mills significa tanto una teoría cuántica de campos para la unión nuclear ideada por Chen Ning Yang y Robert Mills en 1953 como una clase de teorías similares. En física matemática, la teoría de Yang-Mills es una teoría de calibre basada en un grupo unitario especial SU( n ) , o más generalmente cualquier grupo de Lie compacto . Una teoría de Yang-Mills busca describir el comportamiento de las partículas elementales utilizando estos grupos de Lie no abelianos y es el núcleo de la unificación de la fuerza electromagnética y las fuerzas débiles (es decir, U(1) × SU(2) ), así como Cromodinámica cuántica , la teoría de la fuerza fuerte (basada en SU(3) ). Por tanto, constituye la base de nuestra comprensión del modelo estándar de física de partículas.

Historia y descripción cualitativa.

Teoría de calibre en electrodinámica.

Todas las interacciones fundamentales conocidas pueden describirse en términos de teorías de calibre, pero resolver esto llevó décadas. ^[1] Hermann Weyl hizo el primer gran progreso en ese proyecto entre 1915 cuando su colega Amalie Emmy Noether demostró que cada cantidad física conservada tiene una simetría correspondiente, y 1928 cuando publicó su libro aplicando la teoría geométrica de la simetría ( teoría de grupos ). a la mecánica cuántica. ^{[2] : 194} Weyl nombró a las simetrías útiles en el teorema de Noether "simetría de calibre", pensando en ese momento que estaban relacionadas con la estandarización de distancias similar al ancho de vía del ferrocarril.

Erwin Schrodinger en 1922, tres años antes de trabajar en su famosa ecuación, relacionó el concepto de grupo de Weyl con la carga del electrón. Schrodinger demostró que el grupo producía un cambio de fase en los campos electromagnéticos que coincidía con la conservación de la carga eléctrica. ^{[2] : 198} A medida que se desarrolló la teoría de la electrodinámica cuántica en las décadas de 1930 y 1940, las transformaciones de grupo desempeñaron un papel central. Muchos físicos pensaron que debía existir un análogo de la dinámica de los nucleones. Chen Ning Yang en particular estaba obsesionado con esta posibilidad. ${\displaystyle U(1)}$ ${\displaystyle e^{i\theta }}$ ${\displaystyle U(1)}$

Yang y Mills encuentran la teoría del indicador de fuerza nuclear

La idea central de Yang era buscar una cantidad conservada en física nuclear comparable a la carga eléctrica y utilizarla para desarrollar una teoría de calibre correspondiente comparable a la electrodinámica. Se decidió por la conservación del isospin , un número cuántico que distingue un neutrón de un protón, pero no avanzó en ninguna teoría. ^{[2] : 200} Tomando un descanso de Princeton en el verano de 1953, Yang conoció a un colaborador que podría ayudar: Robert Mills . Como describe el propio Mills:

"Durante el año académico 1953-1954, Yang visitó el Laboratorio Nacional de Brookhaven ... Yo también estuve en Brookhaven... y fui asignado a la misma oficina que Yang. Yang, quien ha demostrado en varias ocasiones su generosidad a los físicos que comienzan sus carreras, me habló de su idea de generalizar la invariancia de calibre y la discutimos con cierto detalle... Pude contribuir algo a las discusiones, especialmente con respecto a los procedimientos de cuantificación, y en pequeña medida en el trabajo. "El formalismo; sin embargo, las ideas clave fueron las de Yang." ^[3]

En el verano de 1953, Yang y Mills ampliaron el concepto de teoría de calibre para grupos abelianos , por ejemplo, electrodinámica cuántica , a grupos no abelianos, seleccionando el grupo para proporcionar una explicación para la conservación del isospín en colisiones que involucran interacciones fuertes. La presentación de Yang del trabajo en Princeton en febrero de 1954 fue cuestionada por Pauli, preguntando sobre la masa en el campo desarrollado con la idea de invariancia de calibre. ^{[2] : 202} Pauli sabía que esto podría ser un problema ya que había trabajado en la aplicación de la invariancia de calibre, pero decidió no publicarlo, considerando que las excitaciones sin masa de la teoría eran "partículas de sombra" no físicas. ^{[1] : 13} Yang y Mills publicado en octubre de 1954; Cerca del final del artículo, admiten: ${\displaystyle SU(2)}$

Llegamos ahora a la cuestión de la masa del cuanto, para la que no tenemos una respuesta satisfactoria. ^[4] ${\displaystyle b}$

Este problema de excitación no física y sin masa bloqueó el progreso. ^[2]

La idea se dejó de lado hasta 1960, cuando el concepto de que las partículas adquirían masa a través de la ruptura de la simetría en teorías sin masa fue propuesto, inicialmente por Jeffrey Goldstone , Yoichiro Nambu y Giovanni Jona-Lasinio . Esto provocó un reinicio significativo de los estudios de la teoría de Yang-Mills que resultaron exitosos en la formulación tanto de la unificación electrodébil como de la cromodinámica cuántica (QCD). La interacción electrodébil se describe mediante el grupo de calibre SU(2) × U(1) , mientras que QCD es una teoría SU(3) de Yang-Mills. Los bosones calibre sin masa del SU(2) × U(1) electrodébil se mezclan después de una ruptura espontánea de la simetría para producir los 3 bosones débiles masivos (
W.⁺
,
W.⁻
, y
z⁰
) así como el campo de fotones aún sin masa . La dinámica del campo de fotones y sus interacciones con la materia se rigen, a su vez, por la teoría de calibre U(1) de la electrodinámica cuántica. El Modelo Estándar combina la interacción fuerte con la interacción electrodébil unificada (unificando la interacción débil y electromagnética ) a través del grupo de simetría SU(3) × SU(2) × U(1) . En la época actual, la interacción fuerte no está unificada con la interacción electrodébil, pero a partir del funcionamiento observado de las constantes de acoplamiento se cree ^{[ cita necesaria ]} todas convergen a un valor único a energías muy altas.

La fenomenología a energías más bajas en la cromodinámica cuántica no se comprende completamente debido a las dificultades de gestionar una teoría de este tipo con un fuerte acoplamiento. Esta puede ser la razón por la que el confinamiento no ha sido probado teóricamente, aunque es una observación experimental consistente. Esto muestra por qué el confinamiento de QCD a baja energía es un problema matemático de gran relevancia, y por qué el problema de existencia y brecha de masa de Yang-Mills es un problema del Premio del Milenio .

Trabajo paralelo sobre teorías de calibre no abelianas

En 1953, en una correspondencia privada, Wolfgang Pauli formuló una teoría hexadimensional de las ecuaciones de campo de la relatividad general de Einstein , extendiendo la teoría pentadimensional de Kaluza, Klein , Fock y otros a un espacio interno de dimensiones superiores. ^[5] Sin embargo, no hay evidencia de que Pauli haya desarrollado el Lagrangiano de un campo de calibre o la cuantificación del mismo. Debido a que Pauli descubrió que su teoría "conduce a algunas partículas de sombra bastante no físicas", se abstuvo de publicar sus resultados formalmente. ^[5] Aunque Pauli no publicó su teoría de las seis dimensiones, dio dos seminarios sobre ella en Zurich en noviembre de 1953. ^[5]

En enero de 1954, Ronald Shaw, un estudiante de posgrado de la Universidad de Cambridge, también desarrolló una teoría del calibre no abeliano para las fuerzas nucleares. ^[6] Sin embargo, la teoría necesitaba partículas sin masa para mantener la invariancia de calibre . Dado que en ese momento no se conocían partículas sin masa, Shaw y su supervisor Abdus Salam optaron por no publicar su trabajo. ^[6] Poco después de que Yang y Mills publicaran su artículo en octubre de 1954, Salam animó a Shaw a publicar su trabajo para conmemorar su contribución. Shaw se negó y, en cambio, solo forma un capítulo de su tesis doctoral publicada en 1956. ^{[7] [8]}

Descripción matemática

El coeficiente d x ¹ ⊗ σ ₃ de un instante BPST en la porción ( x ¹ , x ² ) de ℝ ⁴ donde σ ₃ es la tercera matriz de Pauli (arriba a la izquierda). El coeficiente d x ² ⊗ σ ₃ (arriba a la derecha). Estos coeficientes determinan la restricción del instante BPST A con g =2, ρ =1, z =0 a este segmento. La intensidad de campo correspondiente se centró alrededor de z =0 (abajo a la izquierda). Una representación visual de la intensidad de campo de un instantón BPST con centro z en la compactación S ⁴ de ℝ ⁴ (abajo a la derecha). El instanton BPST es una solución instanton clásica de las ecuaciones de Yang-Mills en ℝ ⁴ .

Las teorías de Yang-Mills son ejemplos especiales de teorías de calibre con un grupo de simetría no abeliano dado por el lagrangiano.

${\displaystyle \ {\mathcal {L}}_{\mathrm {gf} }=-{\tfrac {1}{2}}\operatorname {tr} (F^{2})=-{\tfrac {1}{4}}F^{a\mu \nu }F_{\mu \nu }^{a}\ }$

con los generadores del álgebra de Lie , indexados por a , correspondientes a las cantidades F (la curvatura o forma de intensidad de campo) que satisfacen ${\displaystyle \ T^{a}\ }$

${\displaystyle \ \operatorname {tr} \left(T^{a}\ T^{b}\right)={\tfrac {1}{2}}\delta ^{ab}\ ,\qquad \left[T^{a},\ T^{b}\right]=i\ f^{abc}\ T^{c}~.}$

Aquí, las f  ^abc son constantes de estructura del álgebra de Lie (totalmente antisimétricas si los generadores del álgebra de Lie están normalizados de manera que sea proporcional a ), la derivada covariante se define como ${\displaystyle \ \operatorname {tr} (T^{a}\ T^{b})\ }$ ${\displaystyle \ \delta ^{ab}\ }$

${\displaystyle \ D_{\mu }=I\ \partial _{\mu }-i\ g\ T^{a}\ A_{\mu }^{a}\ ,}$

I es la matriz identidad (que coincide con el tamaño de los generadores), es el potencial vectorial y g es la constante de acoplamiento . En cuatro dimensiones, la constante de acoplamiento g es un número puro y para un grupo SU( n ) se tiene ${\displaystyle \ A_{\mu }^{a}\ }$ ${\displaystyle \ a,b,c=1\ldots n^{2}-1~.}$

La relación

${\displaystyle \ F_{\mu \nu }^{a}=\partial _{\mu }A_{\nu }^{a}-\partial _{\nu }A_{\mu }^{a}+g\ f^{abc}\ A_{\mu }^{b}\ A_{\nu }^{c}\ }$

puede ser derivado por el conmutador

${\displaystyle \ \left[D_{\mu },D_{\nu }\right]=-i\ g\ T^{a}\ F_{\mu \nu }^{a}~.}$

El campo tiene la propiedad de interactuar consigo mismo y las ecuaciones de movimiento que se obtienen se dicen que son semilineales, ya que las no linealidades son con y sin derivadas. Esto significa que esta teoría sólo se puede gestionar mediante la teoría de perturbaciones con pequeñas no linealidades. ^{[ cita necesaria ]}

Tenga en cuenta que la transición entre los componentes vectoriales o tensoriales "superiores" ("contravariantes") e "inferiores" ("covariantes") es trivial para índices a (p. ej. ) , mientras que para μ y ν no es trivial y corresponde, por ejemplo, al método de Lorentz habitual. firma, ${\displaystyle \ f^{abc}=f_{abc}\ }$ ${\displaystyle \ \eta _{\mu \nu }={\rm {diag}}(+---)~.}$

Del Lagrangiano dado se pueden derivar las ecuaciones de movimiento dadas por

${\displaystyle \ \partial ^{\mu }F_{\mu \nu }^{a}+g\ f^{abc}\ A^{\mu b}\ F_{\mu \nu }^{c}=0~.}$

Poner estos se puede reescribir como ${\displaystyle \ F_{\mu \nu }=T^{a}F_{\mu \nu }^{a}\ ,}$

${\displaystyle \ \left(D^{\mu }F_{\mu \nu }\right)^{a}=0~.}$

Se mantiene una identidad Bianchi

${\displaystyle \ \left(D_{\mu }\ F_{\nu \kappa }\right)^{a}+\left(D_{\kappa }\ F_{\mu \nu }\right)^{a}+\left(D_{\nu }\ F_{\kappa \mu }\right)^{a}=0\ }$

que es equivalente a la identidad de Jacobi

${\displaystyle \ \left[D_{\mu },\left[D_{\nu },D_{\kappa }\right]\right]+\left[D_{\kappa },\left[D_{\mu },D_{\nu }\right]\right]+\left[D_{\nu },\left[D_{\kappa },D_{\mu }\right]\right]=0\ }$

Dado que se define el tensor de fuerza dual , la identidad de Bianchi se puede reescribir como ${\displaystyle \ \left[D_{\mu },F_{\nu \kappa }^{a}\right]=D_{\mu }\ F_{\nu \kappa }^{a}~.}$ ${\displaystyle \ {\tilde {F}}^{\mu \nu }={\tfrac {1}{2}}\varepsilon ^{\mu \nu \rho \sigma }F_{\rho \sigma }\ ,}$

${\displaystyle \ D_{\mu }{\tilde {F}}^{\mu \nu }=0~.}$

Una fuente entra en las ecuaciones de movimiento como ${\displaystyle \ J_{\mu }^{a}\ }$

${\displaystyle \ \partial ^{\mu }F_{\mu \nu }^{a}+g\ f^{abc}\ A^{b\mu }\ F_{\mu \nu }^{c}=-J_{\nu }^{a}~.}$

Tenga en cuenta que las corrientes deben cambiar correctamente bajo las transformaciones del grupo de calibre.

Damos aquí algunos comentarios sobre las dimensiones físicas del acoplamiento. En dimensiones D , el campo escala a medida que el acoplamiento debe escalar. Esto implica que la teoría de Yang-Mills no es renormalizable para dimensiones mayores que cuatro. Además, para D = 4 , el acoplamiento es adimensional y tanto el campo como el cuadrado del acoplamiento tienen las mismas dimensiones del campo y del acoplamiento de una teoría de campos escalares cuárticos sin masa . Entonces, estas teorías comparten la invariancia de escala en el nivel clásico. ${\displaystyle \ \left[A\right]=\left[L^{\left({\tfrac {2-D}{2}}\right)}\right]\ }$ ${\displaystyle \ \left[g^{2}\right]=\left[L^{\left(D-4\right)}\right]~.}$

Cuantización

Un método para cuantificar la teoría de Yang-Mills es mediante métodos funcionales, es decir, integrales de trayectoria . Se introduce una función generadora para funciones de n puntos como

${\displaystyle \ Z[j]=\int [\mathrm {d} A]\ \exp \left[-{\tfrac {i}{2}}\int \mathrm {d} ^{4}x\ \operatorname {tr} \left(F^{\mu \nu }\ F_{\mu \nu }\right)+i\ \int \mathrm {d} ^{4}x\ j_{\mu }^{a}(x)\ A^{a\mu }(x)\right]\ ,}$

pero esta integral no tiene significado porque el vector potencial puede elegirse arbitrariamente debido a la libertad de calibre . Este problema ya era conocido en la electrodinámica cuántica, pero aquí se vuelve más grave debido a las propiedades no abelianas del grupo calibre. Ludvig Faddeev y Victor Popov han dado una salida con la introducción de un campo fantasma (ver Fantasma de Faddeev-Popov ) que tiene la propiedad de no ser físico ya que, aunque concuerda con las estadísticas de Fermi-Dirac , es un campo escalar complejo. , lo que viola el teorema de la estadística de espín . Entonces, podemos escribir el funcional generador como

${\displaystyle {\begin{aligned}Z[j,{\bar {\varepsilon }},\varepsilon ]&=\int [\mathrm {d} \ A][\mathrm {d} \ {\bar {c}}][\mathrm {d} \ c]\ \exp {\Bigl \{}i\ S_{F}\ \left[\partial A,A\right]+i\ S_{gf}\left[\partial A\right]+i\ S_{g}\left[\partial c,\partial {\bar {c}},c,{\bar {c}},A\right]{\Bigr \}}\\&\exp \left\{i\int \mathrm {d} ^{4}x\ j_{\mu }^{a}(x)A^{a\mu }(x)+i\int \mathrm {d} ^{4}x\ \left[{\bar {c}}^{a}(x)\ \varepsilon ^{a}(x)+{\bar {\varepsilon }}^{a}(x)\ c^{a}(x)\right]\right\}\end{aligned}}}$

ser

${\displaystyle S_{F}=-{\tfrac {1}{2}}\int \mathrm {d} ^{4}x\ \operatorname {tr} \left(F^{\mu \nu }\ F_{\mu \nu }\right)\ }$

para el campo,

${\displaystyle S_{gf}=-{\frac {1}{2\xi }}\int \mathrm {d} ^{4}x\ (\partial \cdot A)^{2}\ }$

para la fijación del calibre y

${\displaystyle \ S_{g}=-\int \mathrm {d} ^{4}x\ \left({\bar {c}}^{a}\ \partial _{\mu }\partial ^{\mu }c^{a}+g\ {\bar {c}}^{a}\ f^{abc}\ \partial _{\mu }\ A^{b\mu }\ c^{c}\right)\ }$

por el fantasma. Ésta es la expresión comúnmente utilizada para derivar las reglas de Feynman (ver diagrama de Feynman ). Aquí tenemos c ^a para el campo fantasma mientras que ξ fija la elección del indicador para la cuantificación. Las reglas de Feynman obtenidas de este funcional son las siguientes

Estas reglas para los diagramas de Feynman se pueden obtener cuando el funcional generador dado anteriormente se reescribe como

${\displaystyle {\begin{aligned}Z[j,{\bar {\varepsilon }},\varepsilon ]&=\exp \left(-i\ g\int \mathrm {d} ^{4}x\ {\frac {\delta }{i\ \delta \ {\bar {\varepsilon }}^{a}(x)}}\ f^{abc}\partial _{\mu }\ {\frac {i\ \delta }{\delta \ j_{\mu }^{b}(x)}}\ {\frac {i\ \delta }{\delta \ \varepsilon ^{c}(x)}}\right)\\&\qquad \times \exp \left(-i\ g\int \mathrm {d} ^{4}x\ f^{abc}\partial _{\mu }{\frac {i\ \delta }{\delta \ j_{\nu }^{a}(x)}}{\frac {i\ \delta }{\delta \ j_{\mu }^{b}(x)}}\ {\frac {i\ \delta }{\delta \ j^{c\nu }(x)}}\right)\\&\qquad \qquad \times \exp \left(-i\ {\frac {g^{2}}{4}}\int \mathrm {d} ^{4}x\ f^{abc}\ f^{ars}{\frac {i\ \delta }{\delta \ j_{\mu }^{b}(x)}}\ {\frac {i\ \delta }{\delta \ j_{\nu }^{c}(x)}}\ {\frac {\ i\delta }{\delta \ j^{r\mu }(x)}}{\frac {i\ \delta }{\delta \ j^{s\nu }(x)}}\right)\\&\qquad \qquad \qquad \times Z_{0}[j,{\bar {\varepsilon }},\varepsilon ]\end{aligned}}}$

con

${\displaystyle Z_{0}[j,{\bar {\varepsilon }},\varepsilon ]=\exp \left(-\int \mathrm {d} ^{4}x\ \mathrm {d} ^{4}y\ {\bar {\varepsilon }}^{a}(x)\ C^{ab}(x-y)\ \varepsilon ^{b}(y)\right)\exp \left({\tfrac {1}{2}}\int \mathrm {d} ^{4}x\ \mathrm {d} ^{4}y\ j_{\mu }^{a}(x)\ D^{ab\mu \nu }(x-y)\ j_{\nu }^{b}(y)\right)\ }$

siendo el funcional generador de la teoría libre. Desarrollando en g y calculando las derivadas funcionales , podemos obtener todas las funciones de n puntos con la teoría de perturbaciones. Usando la fórmula de reducción LSZ , obtenemos de las funciones de n puntos las amplitudes, secciones transversales y tasas de caída del proceso correspondientes . La teoría es renormalizable y las correcciones son finitas en cualquier orden de la teoría de perturbaciones.

Para la electrodinámica cuántica, el campo fantasma se desacopla porque el grupo calibre es abeliano. Esto se puede ver en el acoplamiento entre el campo calibre y el campo fantasma, es decir. Para el caso abeliano, todas las constantes de la estructura son cero y, por lo tanto, no hay acoplamiento. En el caso no abeliano, el campo fantasma aparece como una forma útil de reescribir la teoría cuántica de campos sin consecuencias físicas sobre los observables de la teoría, como secciones transversales o tasas de desintegración. ${\displaystyle \ {\bar {c}}^{a}\ f^{abc}\ \partial _{\mu }A^{b\mu }\ c^{c}~.}$ ${\displaystyle \ f^{abc}\ }$

Uno de los resultados más importantes obtenidos para la teoría de Yang-Mills es la libertad asintótica . Este resultado se puede obtener suponiendo que la constante de acoplamiento g es pequeña (no linealidades tan pequeñas), como para energías altas, y aplicando la teoría de la perturbación . La relevancia de este resultado se debe al hecho de que una teoría de Yang-Mills que describe una fuerte interacción y libertad asintótica permite un tratamiento adecuado de los resultados experimentales provenientes de una dispersión inelástica profunda .

Para obtener el comportamiento de la teoría de Yang-Mills a altas energías y así demostrar la libertad asintótica, se aplica la teoría de la perturbación suponiendo un acoplamiento pequeño. Esto se comprueba a posteriori en el límite ultravioleta . En el límite opuesto, el límite infrarrojo, la situación es la contraria, ya que el acoplamiento es demasiado grande para que la teoría de la perturbación sea confiable. La mayoría de las dificultades que enfrenta la investigación radican simplemente en gestionar la teoría a bajas energías. Ese es el caso interesante, inherente a la descripción de la materia hadrónica y, de manera más general, a todos los estados ligados observados de gluones y quarks y su confinamiento (ver hadrones ). El método más utilizado para estudiar la teoría en este límite es intentar resolverlo en ordenadores (ver teoría del calibre de celosía ). En este caso, se necesitan grandes recursos computacionales para garantizar que se obtenga el límite correcto de volumen infinito (espaciamiento de red más pequeño). Este es el límite con el que se deben comparar los resultados. Un espaciado menor y un acoplamiento mayor no son independientes entre sí y se necesitan mayores recursos computacionales para cada uno. A día de hoy, la situación parece bastante satisfactoria para el espectro hadrónico y el cálculo de los propagadores de gluones y fantasmas, pero los espectros de bolas de pegamento y de híbridos siguen siendo una cuestión cuestionable en vista de la observación experimental de estados tan exóticos. De hecho, la resonancia σ ^{[9] [10]} no se ve en ninguno de estos cálculos de red y se han propuesto interpretaciones contrastantes. Éste es un tema muy debatido.

Problemas abiertos

Las teorías de Yang-Mills tuvieron una aceptación general en la comunidad física después de que Gerard 't Hooft , en 1972, resolviera su renormalización, basándose en una formulación del problema elaborada por su asesor Martinus Veltman . ^[11] La renormalizabilidad se obtiene incluso si los bosones de calibre descritos por esta teoría son masivos, como en la teoría electrodébil, siempre que la masa sea sólo "adquirida", generada por el mecanismo de Higgs .

Las matemáticas de la teoría de Yang-Mills son un campo de investigación muy activo, que produce, por ejemplo, invariantes de estructuras diferenciables en variedades de cuatro dimensiones a través del trabajo de Simon Donaldson . Además, el campo de las teorías de Yang-Mills se incluyó en la lista de " Problemas del Premio del Milenio " del Clay Mathematics Institute . Aquí el problema principal consiste, sobre todo, en demostrar la conjetura de que las excitaciones más bajas de una teoría pura de Yang-Mills (es decir, sin campos de materia) tienen una brecha de masa finita con respecto al estado de vacío. Otro problema abierto relacionado con esta conjetura es la demostración de la propiedad de confinamiento en presencia de fermiones adicionales.

En física, el estudio de las teorías de Yang-Mills no suele comenzar con el análisis de perturbaciones o los métodos analíticos, sino más recientemente con la aplicación sistemática de métodos numéricos a las teorías de calibre de red .

Ver también

• Efecto Aharonov-Bohm
• calibre de coulomb
• Ecuaciones deformadas de Hermitian Yang-Mills
• Derivada covariante de calibre
• Teoría del calibre (matemáticas)
• Ecuaciones hermitianas de Yang-Mills
• Teoría de Kaluza-Klein
• Teoría del calibre de celosía
• calibre de lorenz
• n = 4 teoría supersimétrica de Yang-Mills
• Propagador
• Teoría del calibre cuántico
• Formulación teórica de campo del modelo estándar.
• Simetría en física
• Teoría bidimensional de Yang-Mills
• calibre weyl
• Ecuaciones de Yang-Mills
• Existencia de Yang-Mills y brecha de masas
• Ecuaciones de Yang-Mills-Higgs

Referencias

1. O'Raifeartaigh, Lochlainn; Straumann, Norberto (1 de enero de 2000). "Teoría del calibre: orígenes históricos y algunos desarrollos modernos". Reseñas de Física Moderna . 72 (1): 1–23. doi :10.1103/RevModPhys.72.1. ISSN  0034-6861.
2. Baggott, JE (2013). El relato cuántico: una historia en 40 momentos (Impresión: 3 ed.). Oxford: Universidad de Oxford. Prensa. ISBN 978-0-19-956684-6.
3. Gris, Jeremy; Wilson, Robin (6 de diciembre de 2012). Conversaciones matemáticas: selecciones del Mathematical Intelligencer. Medios de ciencia y negocios de Springer. pag. 63.ISBN _ 9781461301950- a través de libros de Google.
4. Yang, CN ; Molinos, R. (1954). "Conservación del espín isotópico y la invariancia del calibre isotópico". Revisión física . 96 (1): 191-195. Código bibliográfico : 1954PhRv...96..191Y. doi : 10.1103/PhysRev.96.191 .
5. Straumann, N. (2000). "Sobre la invención de Pauli de la teoría no abeliana de Kaluza-Klein en 1953". arXiv : gr-qc/0012054 .
6. Atiyah, M. (2017). "Ronald Shaw 1929-2016 por Michael Atiyah (1954)". Registro anual del Trinity College (monumento). 2017 : 137-146.
7. Shaw, Ronald (septiembre de 1956). El problema de los tipos de partículas y otras contribuciones a la teoría de partículas elementales (tesis doctoral). Universidad de Cambridge . cap. 3, págs. 34–46.
8. Fraser, Gordon (2008). Ira cósmica: Abdus Salam, el primer científico musulmán que recibe el premio Nobel . Oxford, Reino Unido: Oxford University Press. pag. 117.ISBN _ 978-0199208463.
9. Caprini, yo; Colángelo, G.; Leutwyler, H. (2006). "Masa y ancho de la resonancia más baja en QCD". Cartas de revisión física . 96 (13): 132001. arXiv : hep-ph/0512364 . Código Bib : 2006PhRvL..96m2001C. doi : 10.1103/PhysRevLett.96.132001. PMID  16711979. S2CID  42504317.
10. Yndurain, FJ; García-Martín, R.; Peláez, JR (2007). "Estado experimental de la onda S isoescalar ππ a baja energía: polo f ₀ (600) y longitud de dispersión". Revisión física D. 76 (7): 074034. arXiv : hep-ph/0701025 . Código Bib : 2007PhRvD..76g4034G. doi : 10.1103/PhysRevD.76.074034. S2CID  119434312.
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Otras lecturas

Libros

• Frampton, P. (2008). Teorías del campo de calibre (3ª ed.). Wiley-VCH . ISBN 978-3-527-40835-1.
• Cheng, T.-P.; Li, L.-F. (1983). Teoría del calibre de la física de partículas elementales . Prensa de la Universidad de Oxford . ISBN 0-19-851961-3.
• 't Hooft, G. , ed. (2005). 50 años de la teoría de Yang-Mills . Singapur: Científico mundial . ISBN 981-238-934-2.

Artículos

• Svetlichny, George (1999). "Preparación para la teoría del calibre". arXiv : math-ph/9902027 .
• Bruto, D. (1992). "Teoría del calibre: pasado, presente y futuro" . Consultado el 5 de mayo de 2015 .

enlaces externos

• "Campo Yang-Mills", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• "Teoría de Yang-Mills". DispersivoWiki . Archivado desde el original el 3 de junio de 2021 . Consultado el 30 de agosto de 2018 .
• "Los problemas del Premio del Milenio". El Instituto de Matemáticas Clay . Archivado desde el original el 16 de enero de 2009 . Consultado el 24 de noviembre de 2008 .