Estado del calibre Lorenz

Fijación del calibre del potencial electromagnético

En electromagnetismo , la condición de calibre de Lorenz o calibre de Lorenz (en honor a Ludwig Lorenz ) es una fijación parcial del calibre del potencial vectorial electromagnético al requerir El nombre se confunde frecuentemente con Hendrik Lorentz , quien ha dado su nombre a muchos conceptos en este campo. ^[1] La condición es invariante de Lorentz . La condición de calibre de Lorenz no determina completamente el calibre: todavía se puede hacer una transformación de calibre donde es el cuatro-gradiente y es cualquier función escalar armónica : es decir, una función escalar que obedece la ecuación de un campo escalar sin masa . ${\displaystyle \partial _{\mu }A^{\mu }=0.}$ ${\displaystyle A^{\mu }\mapsto A^{\mu }+\partial ^{\mu }f,}$ ${\displaystyle \partial ^{\mu }}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \partial _{\mu }\partial ^{\mu }f=0,}$

La condición de calibre de Lorenz se utiliza para eliminar el componente redundante de espín 0 en las ecuaciones de Maxwell cuando estas se utilizan para describir un campo cuántico de espín 1 sin masa. También se utiliza para campos de espín 1 masivos en los que el concepto de transformaciones de calibre no se aplica en absoluto.

Descripción

En electromagnetismo , la condición de Lorenz se utiliza generalmente en cálculos de campos electromagnéticos dependientes del tiempo a través de potenciales retardados . ^[2] La condición es donde es el potencial cuatrienal , la coma denota una diferenciación parcial y el índice repetido indica que se está utilizando la convención de suma de Einstein . La condición tiene la ventaja de ser invariante de Lorentz . Aún deja grados de libertad de calibre sustanciales. $${\displaystyle \partial _{\mu }A^{\mu }\equiv A^{\mu }{}_{,\mu }=0,}$$ ${\displaystyle A^{\mu }}$

En la notación vectorial ordinaria y en unidades SI , la condición es donde es el potencial vectorial magnético y es el potencial eléctrico ; ^{[3] [4]} véase también fijación del calibre . $${\displaystyle \nabla \cdot {\mathbf {A} }+{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial t}}=0,}$$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle \varphi }$

En unidades gaussianas la condición es ^{[5] [6]} $${\displaystyle \nabla \cdot {\mathbf {A} }+{\frac {1}{c}}{\frac {\partial \varphi }{\partial t}}=0.}$$

Una rápida justificación del calibre de Lorenz se puede encontrar utilizando las ecuaciones de Maxwell y la relación entre el potencial vectorial magnético y el campo magnético: $${\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}=-{\frac {\partial (\nabla \times \mathbf {A} )}{\partial t}}}$$

Por lo tanto, $${\displaystyle \nabla \times \left(\mathbf {E} +{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}\right)=0.}$$

Como el rizo es cero, eso significa que hay una función escalar tal que ${\displaystyle \varphi }$ $${\displaystyle -\nabla \varphi =\mathbf {E} +{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}.}$$

Esto da una ecuación bien conocida para el campo eléctrico: $${\displaystyle \mathbf {E} =-\nabla \varphi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}.}$$

Este resultado se puede introducir en la ecuación de Ampère-Maxwell , $${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \times \mathbf {B} &=\mu _{0}\mathbf {J} +{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\\\nabla \times \left(\nabla \times \mathbf {A} \right)&=\\\Rightarrow \nabla \left(\nabla \cdot \mathbf {A} \right)-\nabla ^{2}\mathbf {A} &=\mu _{0}\mathbf {J} -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial (\nabla \varphi )}{\partial t}}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {A} }{\partial t^{2}}}.\\\end{aligned}}}$$

Esto deja $${\displaystyle \nabla \left(\nabla \cdot \mathbf {A} +{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial t}}\right)=\mu _{0}\mathbf {J} -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {A} }{\partial t^{2}}}+\nabla ^{2}\mathbf {A} .}$$

Para tener invariancia de Lorenz, las derivadas temporales y espaciales deben tratarse por igual (es decir, del mismo orden). Por lo tanto, es conveniente elegir la condición de calibre de Lorenz, que hace que el lado izquierdo sea cero y da el resultado $${\displaystyle \Box \mathbf {A} =\left[{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}\right]\mathbf {A} =\mu _{0}\mathbf {J} .}$$

Un procedimiento similar con un enfoque en el potencial escalar eléctrico y haciendo la misma elección de calibre dará como resultado $${\displaystyle \Box \varphi =\left[{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}\right]\varphi ={\frac {1}{\varepsilon _{0}}}\rho .}$$

Éstas son formas más simples y simétricas de las ecuaciones de Maxwell no homogéneas .

Aquí se muestra la velocidad de la luz en el vacío, y es el operador d'Alembertiano con la signatura métrica (+ − − −) . Estas ecuaciones no solo son válidas en condiciones de vacío, sino también en medios polarizados, ^[7] si y son la densidad de la fuente y la densidad de circulación, respectivamente, de los campos de inducción electromagnética y se calculan como de costumbre a partir de y mediante las ecuaciones $${\displaystyle c={\frac {1}{\sqrt {\varepsilon _{0}\mu _{0}}}}}$$ ${\displaystyle \Box }$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle {\vec {J}}}$ ${\displaystyle {\vec {E}}}$ ${\displaystyle {\vec {B}}}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle {\vec {A}}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {E} &=-\nabla \varphi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}\\\mathbf {B} &=\nabla \times \mathbf {A} \end{aligned}}}$$

Las soluciones explícitas para y –únicas, si todas las cantidades se desvanecen suficientemente rápido en el infinito– se conocen como potenciales retardados . ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$

Historia

Cuando se publicó originalmente en 1867, el trabajo de Lorenz no fue bien recibido por James Clerk Maxwell . Maxwell había eliminado la fuerza electrostática de Coulomb de su derivación de la ecuación de onda electromagnética , ya que estaba trabajando en lo que hoy se denominaría el calibre de Coulomb . Por lo tanto, el calibre de Lorenz contradecía la derivación original de Maxwell de la ecuación de onda EM al introducir un efecto de retardo en la fuerza de Coulomb y llevarlo dentro de la ecuación de onda EM junto con el campo eléctrico variable en el tiempo , que se introdujo en el artículo de Lorenz "Sobre la identidad de las vibraciones de la luz con las corrientes eléctricas". El trabajo de Lorenz fue el primer uso de la simetría para simplificar las ecuaciones de Maxwell después de que el propio Maxwell publicara su artículo de 1865. En 1888, los potenciales retardados comenzaron a usarse de forma general después de los experimentos de Heinrich Rudolf Hertz sobre ondas electromagnéticas . En 1895, la teoría de los potenciales retardados recibió un nuevo impulso tras la interpretación de los datos de los electrones por parte de J. J. Thomson (después de lo cual la investigación de los fenómenos eléctricos cambió de distribuciones de carga eléctrica y corriente eléctrica dependientes del tiempo a cargas puntuales en movimiento ). ^[2]

Véase también

• Fijación del calibre

Referencias

1. Jackson, JD ; Okun, LB (2001), "Raíces históricas de la invariancia de calibre", Reviews of Modern Physics , 73 (3): 663–680, arXiv : hep-ph/0012061 , Bibcode :2001RvMP...73..663J, doi :10.1103/RevModPhys.73.663, S2CID  8285663
2. McDonald, Kirk T. (1997), "La relación entre las expresiones para campos electromagnéticos dependientes del tiempo dadas por Jefimenko y por Panofsky y Phillips" (PDF) , American Journal of Physics , 65 (11): 1074–1076, Bibcode :1997AmJPh..65.1074M, CiteSeerX 10.1.1.299.9838 , doi :10.1119/1.18723, S2CID  13703110, archivado desde el original (PDF) el 2022-05-19 
3. Jackson, John David (1999). Electrodinámica clásica (3.ª ed.). John Wiley & Sons. pág. 240. ISBN 978-0-471-30932-1.
4. Keller, Ole (2 de febrero de 2012). Teoría cuántica de la electrodinámica de campo cercano. Springer Science & Business Media. pág. 19. Código bibliográfico : 2011qtnf.book.....K. ISBN 9783642174100.
5. Gbur, Gregory J. (2011). Métodos matemáticos para la física óptica y la ingeniería . Cambridge University Press. p. 59. Bibcode :2011mmop.book.....G. ISBN 978-0-521-51610-5.
6. Heitler, Walter (1954). La teoría cuántica de la radiación. Courier Corporation. pág. 3. ISBN 9780486645582.
7. Por ejemplo, véase Cheremisin, MV; Okun, LB (2003). "Representación de Riemann-Silberstein del conjunto completo de ecuaciones de Maxwell". arXiv : hep-th/0310036 .

Enlaces externos y lectura adicional

General

• Weisstein, EW "Lorenz Gauge". Investigación Wolfram .

Lectura adicional

• Lorenz, L. (1867). "Sobre la identidad de las vibraciones de la luz con las corrientes eléctricas". Philosophical Magazine . Serie 4. 34 (230): 287–301.
• van Bladel, J. (1991). "¿Lorenz o Lorentz?". Revista IEEE Antenas y Propagación . 33 (2): 69. doi :10.1109/MAP.1991.5672647. S2CID  21922455.
  • Véase también Bladel, J. (1991). "Lorenz or Lorentz? [Addendum]". IEEE Antennas and Propagation Magazine . 33 (4): 56. Bibcode :1991IAPM...33...56B. doi :10.1109/MAP.1991.5672657.
• Becker, R. (1982). Campos electromagnéticos e interacciones . Dover Publications . Capítulo 3.
• O'Rahilly, A. (1938). Electromagnetismo . Longmans, Green and Co. Capítulo 6.

Historia

• Nevels, R.; Shin, Chang-Seok (2001). "Lorenz, Lorentz y el calibre". Revista IEEE Antennas and Propagation . 43 (3): 70–71. Código Bibliográfico :2001IAPM...43...70N. doi :10.1109/74.934904.
• Whittaker, ET (1989). Una historia de las teorías del éter y la electricidad . Vol. 1–2. Dover Publications . pág. 268.