Teoría de campos escalares

Teoría de campos de campos escalares.

En física teórica , la teoría de campos escalares puede referirse a una teoría clásica o cuántica relativistamente invariante de campos escalares . Un campo escalar es invariante bajo cualquier transformación de Lorentz . ^[1]

El único campo cuántico escalar fundamental que se ha observado en la naturaleza es el campo de Higgs . Sin embargo, los campos cuánticos escalares aparecen en las descripciones efectivas de la teoría de campos de muchos fenómenos físicos. Un ejemplo es el pion , que en realidad es un pseudoescalar . ^[2]

Dado que no implican complicaciones de polarización , los campos escalares suelen ser los más fáciles de apreciar mediante la segunda cuantificación . Por esta razón, las teorías de campos escalares se utilizan a menudo con el fin de introducir conceptos y técnicas novedosos. ^[3]

La firma de la métrica empleada a continuación es (+, −, −, −) .

Teoría clásica de campos escalares

Una referencia general para esta sección es Ramond, Pierre (21 de diciembre de 2001). Teoría de campo: una introducción moderna (segunda edición). Estados Unidos: Westview Press. ISBN  0-201-30450-3 , capítulo 1.

Teoría lineal (libre)

La teoría de campos escalares más básica es la teoría lineal . A través de la descomposición de Fourier de los campos, representa los modos normales de una infinidad de osciladores acoplados donde el límite continuo del índice del oscilador i ahora se denota por x . La acción para la teoría de campos escalares relativista libre es entonces

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {S}}&=\int \mathrm {d} ^{D-1}x\mathrm {d} t{\mathcal {L}}\\&=\int \mathrm {d} ^{D-1}x\mathrm {d} t\left[{\frac {1}{2}}\eta ^{\mu \nu }\partial _{\mu }\phi \partial _{\nu }\phi -{\frac {1}{2}}m^{2}\phi ^{2}\right]\\[6pt]&=\int \mathrm {d} ^{D-1}x\mathrm {d} t\left[{\frac {1}{2}}(\partial _{t}\phi )^{2}-{\frac {1}{2}}\delta ^{ij}\partial _{i}\phi \partial _{j}\phi -{\frac {1}{2}}m^{2}\phi ^{2}\right],\end{aligned}}}$

donde se conoce como densidad lagrangiana ; d ⁴⁻¹ x ≡ dx ⋅ dy ⋅ dz ≡ dx ¹ ⋅ dx ² ⋅ dx ³ para las tres coordenadas espaciales; δ ^ij es la función delta de Kronecker ; y ∂ _ρ = ∂ / ∂x ^ρ para la ρ -ésima coordenada x ^ρ . ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$

Este es un ejemplo de acción cuadrática, ya que cada uno de los términos es cuadrático en el campo, φ . El término proporcional a m ² se conoce a veces como término de masa, debido a su interpretación posterior, en la versión cuantificada de esta teoría, en términos de masa de partícula.

La ecuación de movimiento para esta teoría se obtiene extremando la acción anterior. Toma la siguiente forma, lineal en φ ,

${\displaystyle \eta ^{\mu \nu }\partial _{\mu }\partial _{\nu }\phi +m^{2}\phi =\partial _{t}^{2}\phi -\nabla ^{2}\phi +m^{2}\phi =0~,}$

donde ∇ ² es el operador de Laplace . Esta es la ecuación de Klein-Gordon , interpretada como una ecuación de campo clásica, en lugar de una ecuación de onda mecánico-cuántica.

Teoría no lineal (interactuante)

La generalización más común de la teoría lineal anterior es agregar un potencial escalar al lagrangiano , donde típicamente, además de un término de masa , el potencial es un polinomio en . A veces se dice que tal teoría interactúa, porque la ecuación de Euler-Lagrange ahora es no lineal, lo que implica una autointeracción . La acción para la teoría más general de este tipo es ${\displaystyle V(\phi )}$ ${\displaystyle m^{2}\phi ^{2}/2}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {S}}&=\int \mathrm {d} ^{D-1}x\,\mathrm {d} t{\mathcal {L}}\\[3pt]&=\int \mathrm {d} ^{D-1}x\mathrm {d} t\left[{\frac {1}{2}}\eta ^{\mu \nu }\partial _{\mu }\phi \partial _{\nu }\phi -V(\phi )\right]\\[3pt]&=\int \mathrm {d} ^{D-1}x\,\mathrm {d} t\left[{\frac {1}{2}}(\partial _{t}\phi )^{2}-{\frac {1}{2}}\delta ^{ij}\partial _{i}\phi \partial _{j}\phi -{\frac {1}{2}}m^{2}\phi ^{2}-\sum _{n=3}^{\infty }{\frac {1}{n!}}g_{n}\phi ^{n}\right]\end{aligned}}}$

Los factores de la expansión se introducen porque son útiles en la expansión del diagrama de Feynman de la teoría cuántica, como se describe a continuación. ${\displaystyle n!}$

La correspondiente ecuación de movimiento de Euler-Lagrange es ahora

${\displaystyle \eta ^{\mu \nu }\partial _{\mu }\partial _{\nu }\phi +V'(\phi )=\partial _{t}^{2}\phi -\nabla ^{2}\phi +V'(\phi )=0.}$

Análisis dimensional y escalado.

Las cantidades físicas en estas teorías de campos escalares pueden tener dimensiones de longitud, tiempo o masa, o alguna combinación de las tres.

Sin embargo, en una teoría relativista, cualquier cantidad t , con dimensiones de tiempo, puede convertirse fácilmente en una longitud , l = ct , utilizando la velocidad de la luz , c . De manera similar, cualquier longitud l es equivalente a una masa inversa, ħ = lmc , usando la constante de Planck , ħ . En las unidades naturales, se piensa en el tiempo como una longitud, o en el tiempo o la longitud como una masa inversa.

En resumen, se puede pensar que las dimensiones de cualquier cantidad física se definen en términos de una sola dimensión independiente, en lugar de en términos de las tres. A esto se le suele denominar dimensión de masa de la cantidad. Conocer las dimensiones de cada cantidad permite restaurar de manera única las dimensiones convencionales a partir de una expresión de unidades naturales en términos de esta dimensión de masa, simplemente reinsertando las potencias requeridas de ħ y c requeridas para la consistencia dimensional.

Una objeción concebible es que esta teoría es clásica y, por lo tanto, no es obvio cómo la constante de Planck debería ser parte de la teoría. Si se desea, se podría reformular la teoría sin ninguna dimensión de masa: sin embargo, esto sería a expensas de oscurecer ligeramente la conexión con el campo escalar cuántico. Dado que uno tiene dimensiones de masa, la constante de Planck se considera aquí como una cantidad de acción de referencia fija esencialmente arbitraria (no necesariamente conectada a la cuantificación), por lo tanto, con dimensiones apropiadas para convertir entre masa y longitud inversa .

Dimensión de escala

La dimensión de escala clásica , o dimensión de masa, Δ , de φ describe la transformación del campo bajo un cambio de escala de coordenadas:

${\displaystyle x\rightarrow \lambda x}$

${\displaystyle \phi \rightarrow \lambda ^{-\Delta }\phi ~.}$

Las unidades de acción son las mismas que las unidades de ħ , por lo que la acción en sí tiene una dimensión de masa cero. Esto fija la dimensión de escala del campo φ para que sea

${\displaystyle \Delta ={\frac {D-2}{2}}.}$

Invariancia de escala

Hay un sentido específico en el que algunas teorías de campos escalares son invariantes de escala . Si bien todas las acciones anteriores están construidas para tener una dimensión de masa cero, no todas las acciones son invariantes bajo la transformación de escala.

${\displaystyle x\rightarrow \lambda x}$

${\displaystyle \phi \rightarrow \lambda ^{-\Delta }\phi ~.}$

La razón por la que no todas las acciones son invariantes es que normalmente se piensa en los parámetros _{my g n} como cantidades fijas , que no se reescalan con la transformación anterior. La condición para que una teoría de campos escalares sea invariante de escala es entonces bastante obvia: todos los parámetros que aparecen en la acción deben ser cantidades adimensionales. En otras palabras, una teoría invariante de escala es aquella que no tiene ninguna escala de longitud fija (o equivalentemente, escala de masa) en la teoría.

Para una teoría de campos escalares con D dimensiones de espacio-tiempo, el único parámetro adimensional g _n satisface n = 2 D ⁄ ( D − 2) . Por ejemplo, en D = 4, sólo g ₄ es clásicamente adimensional, por lo que la única teoría de campos escalares clásicamente invariante de escala en D = 4 es la teoría φ 4 sin masa .

Sin embargo, la invariancia de escala clásica normalmente no implica invariancia de escala cuántica, debido al grupo de renormalización involucrado; consulte la discusión de la función beta a continuación.

Invariancia conforme

Una transformación

${\displaystyle x\rightarrow {\tilde {x}}(x)}$

se dice que es conforme si la transformación satisface

${\displaystyle {\frac {\partial {\tilde {x^{\mu }}}}{\partial x^{\rho }}}{\frac {\partial {\tilde {x^{\nu }}}}{\partial x^{\sigma }}}\eta _{\mu \nu }=\lambda ^{2}(x)\eta _{\rho \sigma }}$

para alguna función λ ( x ) .

El grupo conforme contiene como subgrupos las isometrías de la métrica (el grupo de Poincaré ) y también las transformaciones de escala (o dilataciones ) consideradas anteriormente. De hecho, las teorías invariantes de escala de la sección anterior también son conformemente invariantes. ${\displaystyle \eta _{\mu \nu }}$

teoría φ 4

La teoría masiva de φ ⁴ ilustra una serie de fenómenos interesantes en la teoría de campos escalares.

La densidad lagrangiana es

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}(\partial _{t}\phi )^{2}-{\frac {1}{2}}\delta ^{ij}\partial _{i}\phi \partial _{j}\phi -{\frac {1}{2}}m^{2}\phi ^{2}-{\frac {g}{4!}}\phi ^{4}.}$

Ruptura espontánea de simetría

Este lagrangiano tiene una simetría bajo la transformación φ → − φ . Este es un ejemplo de simetría interna , en contraste con una simetría espacio-temporal . ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$

Si m ² es positivo, el potencial

${\displaystyle V(\phi )={\frac {1}{2}}m^{2}\phi ^{2}+{\frac {g}{4!}}\phi ^{4}}$

tiene un mínimo único, en el origen. La solución φ =0 es claramente invariante bajo la simetría. ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$

Por el contrario, si m ² es negativo, entonces se puede ver fácilmente que el potencial

${\displaystyle \,V(\phi )={\frac {1}{2}}m^{2}\phi ^{2}+{\frac {g}{4!}}\phi ^{4}\!}$

tiene dos mínimos. Esto se conoce como potencial de doble pozo , y los estados de energía más bajos (conocidos como vacíos, en el lenguaje teórico de campos cuánticos) en dicha teoría no son invariantes bajo la simetría de la acción (de hecho, mapea cada uno de los dos vacíos en el otro). En este caso se dice que la simetría se rompe espontáneamente . ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$

Soluciones torcidas

La teoría φ ^{4 con un} m ² negativo también tiene una solución de torsión, que es un ejemplo canónico de solitón . Tal solución es de la forma

${\displaystyle \phi ({\vec {x}},t)=\pm {\frac {m}{2{\sqrt {\frac {g}{4!}}}}}\tanh \left[{\frac {m(x-x_{0})}{\sqrt {2}}}\right]}$

donde x es una de las variables espaciales ( φ se considera independiente de t y de las variables espaciales restantes). La solución interpola entre los dos vacíos diferentes del potencial de doble pozo. No es posible deformar el pliegue hasta convertirlo en una solución constante sin pasar por una solución de energía infinita y por esta razón se dice que el pliegue es estable. Para D >2 (es decir, teorías con más de una dimensión espacial), esta solución se denomina muro de dominio .

Otro ejemplo bien conocido de teoría de campos escalares con soluciones de torsión es la teoría del seno-Gordon .

Teoría de campos escalares complejos

En una teoría de campos escalares complejos, el campo escalar toma valores en los números complejos, en lugar de los números reales. El campo escalar complejo representa partículas de espín 0 y antipartículas con carga. La acción considerada normalmente toma la forma

${\displaystyle {\mathcal {S}}=\int \mathrm {d} ^{D-1}x\,\mathrm {d} t{\mathcal {L}}=\int \mathrm {d} ^{D-1}x\,\mathrm {d} t\left[\eta ^{\mu \nu }\partial _{\mu }\phi ^{*}\partial _{\nu }\phi -V(|\phi |^{2})\right]}$

Esto tiene una simetría U(1) , equivalente a O(2), cuya acción sobre el espacio de campos gira , para algún ángulo de fase real α . ${\displaystyle \phi \rightarrow e^{i\alpha }\phi }$

En cuanto al campo escalar real, la ruptura espontánea de simetría se produce si m ² es negativo. Esto da lugar al potencial del sombrero mexicano de Goldstone , que es una rotación del potencial de doble pozo de un campo escalar real a través de 2π radianes alrededor del eje V. La ruptura de la simetría se produce en una dimensión superior, es decir, la elección del vacío rompe una simetría U (1) continua en lugar de una discreta. Los dos componentes del campo escalar se reconfiguran como un modo masivo y un bosón de Goldstone sin masa . ${\displaystyle (\phi )}$

Teoría O ( N )

Se puede expresar la teoría de campos escalares complejos en términos de dos campos reales, φ ¹ = Re φ y φ ² = Im φ , que se transforman en la representación vectorial de la simetría interna U (1) = O (2). Aunque tales campos se transforman como un vector bajo la simetría interna , siguen siendo escalares de Lorentz.

Esto se puede generalizar a una teoría de N campos escalares que se transforman en la representación vectorial de la simetría O ( N ) . El lagrangiano para una teoría de campo escalar invariante O ( N ) suele tener la forma

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}\eta ^{\mu \nu }\partial _{\mu }\phi \cdot \partial _{\nu }\phi -V(\phi \cdot \phi )}$

utilizando un producto interno invariante O ( N ) apropiado . La teoría también se puede expresar para campos vectoriales complejos, es decir, para , en cuyo caso el grupo de simetría es el grupo de Lie SU(N) . ${\displaystyle \phi \in \mathbb {C} ^{n}}$

Acoplamientos de campo de calibre

Cuando la teoría del campo escalar se acopla de forma invariante de calibre a la acción de Yang-Mills , se obtiene la teoría de los superconductores de Ginzburg-Landau . Los solitones topológicos de esa teoría corresponden a vórtices en un superconductor ; el mínimo del potencial del sombrero mexicano corresponde al parámetro de orden del superconductor.

Teoría cuántica de campos escalares

Una referencia general para esta sección es Ramond, Pierre (21 de diciembre de 2001). Teoría de campo: una introducción moderna (segunda edición). Estados Unidos: Westview Press. ISBN 0-201-30450-3 , cap. 4  

En la teoría cuántica de campos , los campos y todos los observables construidos a partir de ellos son reemplazados por operadores cuánticos en un espacio de Hilbert . Este espacio de Hilbert está construido sobre un estado de vacío , y la dinámica está gobernada por un hamiltoniano cuántico , un operador definido positivo que aniquila el vacío. En el artículo sobre cuantificación canónica se detalla una construcción de una teoría cuántica de campos escalares , que se basa en relaciones de conmutación canónicas entre los campos. Esencialmente, la infinidad de osciladores clásicos reempaquetados en el campo escalar como sus modos normales (desacoplados), arriba, ahora están cuantificados de la manera estándar, por lo que el campo del operador cuántico respectivo describe una infinidad de osciladores armónicos cuánticos que actúan en un espacio de Fock respectivo .

En resumen, las variables básicas son el campo cuántico φ y su momento canónico π . Ambos campos valorados por el operador son hermitianos . En puntos espaciales x → , y → y en tiempos iguales, sus relaciones de conmutación canónicas están dadas por

${\displaystyle {\begin{aligned}\left[\phi \left({\vec {x}}\right),\phi \left({\vec {y}}\right)\right]=\left[\pi \left({\vec {x}}\right),\pi \left({\vec {y}}\right)\right]&=0,\\\left[\phi \left({\vec {x}}\right),\pi \left({\vec {y}}\right)\right]&=i\delta \left({\vec {x}}-{\vec {y}}\right),\end{aligned}}}$

mientras que el hamiltoniano libre es, de manera similar a lo anterior,

${\displaystyle H=\int d^{3}x\left[{1 \over 2}\pi ^{2}+{1 \over 2}(\nabla \phi )^{2}+{m^{2} \over 2}\phi ^{2}\right].}$

Una transformada espacial de Fourier conduce a campos espaciales de impulso

${\displaystyle {\begin{aligned}{\widetilde {\phi }}({\vec {k}})&=\int d^{3}xe^{-i{\vec {k}}\cdot {\vec {x}}}\phi ({\vec {x}}),\\{\widetilde {\pi }}({\vec {k}})&=\int d^{3}xe^{-i{\vec {k}}\cdot {\vec {x}}}\pi ({\vec {x}})\end{aligned}}}$

que se resuelven en operadores de aniquilación y creación.

${\displaystyle {\begin{aligned}a({\vec {k}})&=\left(E{\widetilde {\phi }}({\vec {k}})+i{\widetilde {\pi }}({\vec {k}})\right),\\a^{\dagger }({\vec {k}})&=\left(E{\widetilde {\phi }}({\vec {k}})-i{\widetilde {\pi }}({\vec {k}})\right),\end{aligned}}}$

dónde . ${\displaystyle E={\sqrt {k^{2}+m^{2}}}}$

Estos operadores satisfacen las relaciones de conmutación.

${\displaystyle {\begin{aligned}\left[a({\vec {k}}_{1}),a({\vec {k}}_{2})\right]=\left[a^{\dagger }({\vec {k}}_{1}),a^{\dagger }({\vec {k}}_{2})\right]&=0,\\\left[a({\vec {k}}_{1}),a^{\dagger }({\vec {k}}_{2})\right]&=(2\pi )^{3}2E\delta ({\vec {k}}_{1}-{\vec {k}}_{2}).\end{aligned}}}$

El estado aniquilado por todos los operadores a se identifica como el vacío puro , y se crea una partícula con impulso k → aplicándola al vacío. ${\displaystyle |0\rangle }$ ${\displaystyle a^{\dagger }({\vec {k}})}$

Aplicando todas las combinaciones posibles de operadores de creación al vacío se construye el espacio de Hilbert relevante : esta construcción se llama espacio de Fock . El vacío es aniquilado por el hamiltoniano

${\displaystyle H=\int {d^{3}k \over (2\pi )^{3}}{\frac {1}{2}}a^{\dagger }({\vec {k}})a({\vec {k}}),}$

donde la energía del punto cero ha sido eliminada mediante el orden de Wick . (Ver cuantificación canónica ).

Las interacciones se pueden incluir agregando una interacción hamiltoniana. Para una teoría de φ ^{4 , esto corresponde a agregar un término ordenado de Wick} g : φ ⁴ :/4. al hamiltoniano e integrando sobre x . Las amplitudes de dispersión se pueden calcular a partir de este hamiltoniano en la imagen de interacción . Estos se construyen en la teoría de la perturbación mediante la serie Dyson , que proporciona los productos ordenados en el tiempo, o las funciones de Green de n partículas como se describe en el artículo de la serie Dyson . Las funciones de Green también se pueden obtener a partir de una función generadora que se construye como solución a la ecuación de Schwinger-Dyson . ${\displaystyle \langle 0|{\mathcal {T}}\{\phi (x_{1})\cdots \phi (x_{n})\}|0\rangle }$

Integral de trayectoria de Feynman

La expansión del diagrama de Feynman también se puede obtener a partir de la formulación integral de trayectoria de Feynman . ^[4] Los valores esperados de vacío ordenados en el tiempo de polinomios en φ , conocidos como funciones de Green de n -partículas, se construyen integrando todos los campos posibles, normalizados por el valor esperado de vacío sin campos externos.

${\displaystyle \langle 0|{\mathcal {T}}\{\phi (x_{1})\cdots \phi (x_{n})\}|0\rangle ={\frac {\int {\mathcal {D}}\phi \phi (x_{1})\cdots \phi (x_{n})e^{i\int d^{4}x\left({1 \over 2}\partial ^{\mu }\phi \partial _{\mu }\phi -{m^{2} \over 2}\phi ^{2}-{g \over 4!}\phi ^{4}\right)}}{\int {\mathcal {D}}\phi e^{i\int d^{4}x\left({1 \over 2}\partial ^{\mu }\phi \partial _{\mu }\phi -{m^{2} \over 2}\phi ^{2}-{g \over 4!}\phi ^{4}\right)}}}.}$

Todas estas funciones de Green se pueden obtener expandiendo la exponencial en J ( x ) φ ( x ) en la función generadora

${\displaystyle Z[J]=\int {\mathcal {D}}\phi e^{i\int d^{4}x\left({1 \over 2}\partial ^{\mu }\phi \partial _{\mu }\phi -{m^{2} \over 2}\phi ^{2}-{g \over 4!}\phi ^{4}+J\phi \right)}=Z[0]\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {i^{n}}{n!}}J(x_{1})\cdots J(x_{n})\langle 0|{\mathcal {T}}\{\phi (x_{1})\cdots \phi (x_{n})\}|0\rangle .}$

Se puede aplicar una rotación de Wick para hacer que el tiempo sea imaginario. Cambiar la firma a (++++) convierte la integral de Feynman en una función de partición de mecánica estadística en el espacio euclidiano .

${\displaystyle Z[J]=\int {\mathcal {D}}\phi e^{-\int d^{4}x\left[{1 \over 2}(\nabla \phi )^{2}+{m^{2} \over 2}\phi ^{2}+{g \over 4!}\phi ^{4}+J\phi \right]}.}$

Normalmente, esto se aplica a la dispersión de partículas con momentos fijos, en cuyo caso es útil una transformada de Fourier , que da en su lugar

${\displaystyle {\tilde {Z}}[{\tilde {J}}]=\int {\mathcal {D}}{\tilde {\phi }}e^{-\int {d^{4}p \over (2\pi )^{4}}\left({1 \over 2}(p^{2}+m^{2}){\tilde {\phi }}^{2}-{\tilde {J}}{\tilde {\phi }}+{g \over 4!}{\int {d^{4}p_{1} \over (2\pi )^{4}}{d^{4}p_{2} \over (2\pi )^{4}}{d^{4}p_{3} \over (2\pi )^{4}}\delta (p-p_{1}-p_{2}-p_{3}){\tilde {\phi }}(p){\tilde {\phi }}(p_{1}){\tilde {\phi }}(p_{2}){\tilde {\phi }}(p_{3})}\right)}.}$

¿Dónde está la función delta de Dirac ? ${\displaystyle \delta (x)}$

El truco estándar para evaluar esta integral funcional es escribirla como producto de factores exponenciales, esquemáticamente,

${\displaystyle {\tilde {Z}}[{\tilde {J}}]=\int {\mathcal {D}}{\tilde {\phi }}\prod _{p}\left[e^{-(p^{2}+m^{2}){\tilde {\phi }}^{2}/2}e^{-g/4!\int {d^{4}p_{1} \over (2\pi )^{4}}{d^{4}p_{2} \over (2\pi )^{4}}{d^{4}p_{3} \over (2\pi )^{4}}\delta (p-p_{1}-p_{2}-p_{3}){\tilde {\phi }}(p){\tilde {\phi }}(p_{1}){\tilde {\phi }}(p_{2}){\tilde {\phi }}(p_{3})}e^{{\tilde {J}}{\tilde {\phi }}}\right].}$

Los dos segundos factores exponenciales se pueden expandir como series de potencias, y la combinatoria de esta expansión se puede representar gráficamente mediante diagramas de Feynman de la interacción Cuártica .

La integral con g = 0 puede tratarse como un producto de infinitas integrales gaussianas elementales: el resultado puede expresarse como una suma de diagramas de Feynman , calculados utilizando las siguientes reglas de Feynman:

• Cada campo ~φ( p ) en la función de Green euclidiana de n puntos está representada por una línea externa (medio borde) en el gráfico y asociada con el impulso p .
• Cada vértice está representado por un factor − g .
• En un orden dado g ^k , todos los diagramas con n líneas externas y k vértices se construyen de manera que los momentos que fluyen hacia cada vértice sean cero. Cada línea interna está representada por un propagador 1/( q ² + m ² ), donde q es el impulso que fluye a través de esa línea.
• Cualquier momento no restringido se integra en todos los valores.
• El resultado se divide por un factor de simetría, que es el número de formas en que se pueden reorganizar las líneas y los vértices del gráfico sin cambiar su conectividad.
• No incluya gráficos que contengan "burbujas de vacío", subgráficos conectados sin líneas externas.

La última regla tiene en cuenta el efecto de dividir por ~z[0]. Las reglas de Feynman del espacio de Minkowski son similares, excepto que cada vértice está representado por −ig , mientras que cada línea interna está representada por un propagador i /( q ² − m ² + iε ), donde el término ε representa la pequeña rotación de Wick necesaria. para hacer converger la integral gaussiana del espacio de Minkowski.

Renormalización

Las integrales sobre momentos no restringidos, llamadas "integrales de bucle", en los gráficos de Feynman suelen divergir. Esto normalmente se maneja mediante renormalización , que es un procedimiento para agregar contratérminos divergentes al lagrangiano de tal manera que los diagramas construidos a partir del lagrangiano original y los contratérminos sean finitos. ^[5] Se debe introducir una escala de renormalización en el proceso, y la constante de acoplamiento y la masa dependen de ella.

La dependencia de una constante de acoplamiento g en la escala λ está codificada por una función beta , β ( g ) , definida por

${\displaystyle \beta (g)=\lambda \,{\frac {\partial g}{\partial \lambda }}~.}$

Esta dependencia de la escala de energía se conoce como "la ejecución del parámetro de acoplamiento", y el grupo de renormalización describe la teoría de esta dependencia sistemática de la escala en la teoría cuántica de campos .

Las funciones beta generalmente se calculan en un esquema de aproximación, más comúnmente la teoría de perturbaciones , donde se supone que la constante de acoplamiento es pequeña. Luego se puede hacer una expansión en las potencias de los parámetros de acoplamiento y truncar los términos de orden superior (también conocidos como contribuciones de bucle superiores , debido al número de bucles en los gráficos de Feynman correspondientes ).

La función β en un bucle (la primera contribución perturbativa) para la teoría φ ⁴ es

${\displaystyle \beta (g)={\frac {3}{16\pi ^{2}}}g^{2}+O\left(g^{3}\right)~.}$

El hecho de que el signo delante del término de orden más bajo sea positivo sugiere que la constante de acoplamiento aumenta con la energía. Si este comportamiento persistiera en acoplamientos grandes, esto indicaría la presencia de un polo de Landau con energía finita, derivado de una trivialidad cuántica . Sin embargo, la pregunta sólo puede responderse de manera no perturbadora, ya que implica un fuerte acoplamiento.

Se dice que una teoría cuántica de campos es trivial cuando el acoplamiento renormalizado, calculado a través de su función beta , llega a cero cuando se elimina el corte ultravioleta. En consecuencia, el propagador se convierte en el de una partícula libre y el campo ya no interactúa.

Para una interacción φ ^{4 ,} Michael Aizenman demostró que la teoría es realmente trivial, para la dimensión espacio-temporal D ≥ 5. ^[6]

Para D = 4, la trivialidad aún no se ha demostrado rigurosamente, pero los cálculos reticulares han proporcionado pruebas sólidas de ello. Este hecho es importante ya que la trivialidad cuántica se puede utilizar para limitar o incluso predecir parámetros como la masa del bosón de Higgs . Esto también puede conducir a una masa de Higgs predecible en escenarios de seguridad asintóticos . ^[7]

Ver también

• Renormalización
• Trivialidad cuántica
• Polo Landau
• Invariancia de escala (descripción CFT)
• Electrodinámica escalar

Notas

1. es decir, se transforma bajo la representación trivial (0, 0) del grupo de Lorentz, dejando sin cambios el valor del campo en cualquier punto del espacio-tiempo, en contraste con un campo vectorial o tensor , o más generalmente, tensores espinores, cuyo Los componentes se mezclan bajo transformaciones de Lorentz. Dado que el espín de una partícula o campo, por definición, está determinado por la representación de Lorentz bajo la cual se transforma, todos los campos y partículas escalares (y pseudoescalares) tienen espín cero y, como tales, son bosónicos según el teorema de la estadística de espín . Véase Weinberg 1995, capítulo 5.
2. Esto significa que no es invariante bajo transformaciones de paridad que invierten las direcciones espaciales, distinguiéndolo de un escalar verdadero, que es invariante de paridad. Ver Weinberg 1998, Capítulo 19
3. Marrón, Lowell S. (1994). Teoría cuántica de campos . Prensa de la Universidad de Cambridge . ISBN 978-0-521-46946-3.Capítulo 3.
4. Una referencia general para esta sección es Ramond, Pierre (21 de diciembre de 2001). Teoría de campo: una introducción moderna (Segunda ed.). Estados Unidos: Westview Press. ISBN 0-201-30450-3.
5. Consulte la referencia anterior o, para más detalles, Itzykson, Zuber; Zuber, Jean-Bernard (24 de febrero de 2006). Teoría cuántica de campos . Dover. ISBN 0-07-032071-3.
6. Aizenman, M. (1981). "Prueba de la trivialidad de Φ⁴
   _díasTeoría de campo y algunas características del campo medio de los modelos de Ising para d > 4". Physical Review Letters . 47 (1): 1–4. Bibcode :1981PhRvL..47....1A. doi :10.1103/PhysRevLett.47.1.
7. Callaway, DJE (1988). "Búsqueda de trivialidad: ¿Pueden existir partículas escalares elementales?". Informes de Física . 167 (5): 241–320. Código bibliográfico : 1988PhR...167..241C. doi :10.1016/0370-1573(88)90008-7.

Referencias

• Peskin, M .; Schroeder, D. (1995). Una introducción a la teoría cuántica de campos. Prensa de Westview. ISBN 978-0201503975.
• Weinberg, S. (1995). La teoría cuántica de campos . vol. I. Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 0-521-55001-7.
• Weinberg, S. (1998). La teoría cuántica de campos . vol. II. Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 0-521-55002-5.
• Srednicki, M. (2007). Teoría cuántica de campos . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 9780521864497.
• Zinn-Justin, J (2002). Teoría cuántica de campos y fenómenos críticos . Prensa de la Universidad de Oxford. ISBN 978-0198509233.

enlaces externos

• La base conceptual de la teoría cuántica de campos Haga clic en el enlace para ver el cap. 3 para encontrar una introducción extensa y simplificada a los escalares en la mecánica cuántica relativista y la teoría cuántica de campos.