Interacción cuartica

Teoría cuántica de campos con interacciones de cuatro puntos.

En la teoría cuántica de campos , una interacción cuártica es un tipo de autointeracción en un campo escalar . Otros tipos de interacciones cuárticas se pueden encontrar en el tema de interacciones de cuatro fermiones . Un campo escalar libre clásico satisface la ecuación de Klein-Gordon . Si se denota un campo escalar , una interacción cuártica se representa agregando un término de energía potencial a la densidad lagrangiana . La constante de acoplamiento no tiene dimensiones en el espacio-tiempo de 4 dimensiones . ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle ({\lambda }/{4!})\varphi ^{4}}$ ${\displaystyle \lambda }$

Este artículo utiliza la firma métrica para el espacio de Minkowski . ${\displaystyle (+---)}$

El Lagrangiano para un campo escalar real

La densidad lagrangiana para un campo escalar real con interacción cuártica es

${\displaystyle {\mathcal {L}}(\varphi )={\frac {1}{2}}[\partial ^{\mu }\varphi \partial _{\mu }\varphi -m^{2}\varphi ^{2}]-{\frac {\lambda }{4!}}\varphi ^{4}.}$

Este lagrangiano tiene un mapeo de simetría global Z ₂ . ${\displaystyle \varphi \to -\varphi }$

El lagrangiano para un campo escalar complejo

El lagrangiano para un campo escalar complejo se puede motivar de la siguiente manera. Para dos campos escalares y el lagrangiano tiene la forma ${\displaystyle \varphi _{1}}$ ${\displaystyle \varphi _{2}}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}(\varphi _{1},\varphi _{2})={\frac {1}{2}}[\partial _{\mu }\varphi _{1}\partial ^{\mu }\varphi _{1}-m^{2}\varphi _{1}^{2}]+{\frac {1}{2}}[\partial _{\mu }\varphi _{2}\partial ^{\mu }\varphi _{2}-m^{2}\varphi _{2}^{2}]-{\frac {1}{4}}\lambda (\varphi _{1}^{2}+\varphi _{2}^{2})^{2},}$

que se puede escribir de manera más concisa introduciendo un campo escalar complejo definido como ${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle \phi \equiv {\frac {1}{\sqrt {2}}}(\varphi _{1}+i\varphi _{2}),}$

${\displaystyle \phi ^{*}\equiv {\frac {1}{\sqrt {2}}}(\varphi _{1}-i\varphi _{2}).}$

Expresado en términos de este complejo campo escalar, el lagrangiano anterior se convierte en

${\displaystyle {\mathcal {L}}(\phi )=\partial ^{\mu }\phi ^{*}\partial _{\mu }\phi -m^{2}\phi ^{*}\phi -\lambda (\phi ^{*}\phi )^{2},}$

que es, por tanto, equivalente al modelo SO(2) de campos escalares reales , como puede verse al expandir el campo complejo en partes reales e imaginarias. ${\displaystyle \varphi _{1},\varphi _{2}}$ ${\displaystyle \phi }$

Con campos escalares reales, podemos tener un modelo con una simetría global SO(N) dada por el lagrangiano ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \varphi ^{4}}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}(\varphi _{1},...,\varphi _{N})={\frac {1}{2}}[\partial ^{\mu }\varphi _{a}\partial _{\mu }\varphi _{a}-m^{2}\varphi _{a}\varphi _{a}]-{\frac {1}{4}}\lambda (\varphi _{a}\varphi _{a})^{2},\quad a=1,...,N.}$

Expandir el campo complejo en partes reales e imaginarias muestra que es equivalente al modelo SO(2) de campos escalares reales.

En todos los modelos anteriores, la constante de acoplamiento debe ser positiva, ya que de lo contrario el potencial sería ilimitado por debajo y no habría un vacío estable. Además, la integral de trayectoria de Feynman que se analiza a continuación estaría mal definida. En las 4 dimensiones, las teorías tienen un polo Landau . Esto significa que sin un límite en la escala de alta energía, la renormalización haría que la teoría fuera trivial . ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \phi ^{4}}$

El modelo pertenece a la clase Griffiths-Simon, ^[1] lo que significa que también puede representarse como el límite débil de un modelo de Ising en un determinado tipo de gráfico. La trivialidad tanto del modelo como del modelo de Ising se puede mostrar mediante una representación gráfica conocida como expansión de corriente aleatoria. ^[2] ${\displaystyle \phi ^{4}}$ ${\displaystyle \phi ^{4}}$ ${\displaystyle d\geq 4}$

Cuantización integral de Feynman

La expansión del diagrama de Feynman también se puede obtener a partir de la formulación integral de trayectoria de Feynman . ^[3] Los valores esperados de vacío ordenados en el tiempo de polinomios en φ, conocidos como funciones de Green de n -partículas, se construyen integrando todos los campos posibles, normalizados por el valor esperado de vacío sin campos externos,

${\displaystyle \langle \Omega |{\mathcal {T}}\{{\phi }(x_{1})\cdots {\phi }(x_{n})\}|\Omega \rangle ={\frac {\int {\mathcal {D}}\phi \phi (x_{1})\cdots \phi (x_{n})e^{i\int d^{4}x\left({1 \over 2}\partial ^{\mu }\phi \partial _{\mu }\phi -{m^{2} \over 2}\phi ^{2}-{\lambda \over 4!}\phi ^{4}\right)}}{\int {\mathcal {D}}\phi e^{i\int d^{4}x\left({1 \over 2}\partial ^{\mu }\phi \partial _{\mu }\phi -{m^{2} \over 2}\phi ^{2}-{\lambda \over 4!}\phi ^{4}\right)}}}.}$

Todas estas funciones de Green se pueden obtener expandiendo la exponencial en J ( x ) φ ( x ) en la función generadora

${\displaystyle Z[J]=\int {\mathcal {D}}\phi e^{i\int d^{4}x\left({1 \over 2}\partial ^{\mu }\phi \partial _{\mu }\phi -{m^{2} \over 2}\phi ^{2}-{\lambda \over 4!}\phi ^{4}+J\phi \right)}=Z[0]\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}\langle \Omega |{\mathcal {T}}\{{\phi }(x_{1})\cdots {\phi }(x_{n})\}|\Omega \rangle .}$

Se puede aplicar una rotación de Wick para hacer que el tiempo sea imaginario. Cambiar la firma a (++++) da una integral de mecánica estadística φ ⁴ sobre un espacio euclidiano de 4 dimensiones ,

${\displaystyle Z[J]=\int {\mathcal {D}}\phi e^{-\int d^{4}x\left({1 \over 2}(\nabla \phi )^{2}+{m^{2} \over 2}\phi ^{2}+{\lambda \over 4!}\phi ^{4}+J\phi \right)}.}$

Normalmente, esto se aplica a la dispersión de partículas con momentos fijos, en cuyo caso es útil una transformada de Fourier , que da en su lugar

${\displaystyle {\tilde {Z}}[{\tilde {J}}]=\int {\mathcal {D}}{\tilde {\phi }}e^{-\int d^{4}p\left({1 \over 2}(p^{2}+m^{2}){\tilde {\phi }}^{2}-{\tilde {J}}{\tilde {\phi }}+{\lambda \over 4!}{\int {d^{4}p_{1} \over (2\pi )^{4}}{d^{4}p_{2} \over (2\pi )^{4}}{d^{4}p_{3} \over (2\pi )^{4}}\delta (p-p_{1}-p_{2}-p_{3}){\tilde {\phi }}(p){\tilde {\phi }}(p_{1}){\tilde {\phi }}(p_{2}){\tilde {\phi }}(p_{3})}\right)}.}$

¿Dónde está la función delta de Dirac ? ${\displaystyle \delta (x)}$

El truco estándar para evaluar esta integral funcional es escribirla como producto de factores exponenciales, esquemáticamente,

${\displaystyle {\tilde {Z}}[{\tilde {J}}]=\int {\mathcal {D}}{\tilde {\phi }}\prod _{p}\left[e^{-(p^{2}+m^{2}){\tilde {\phi }}^{2}/2}e^{-\lambda /4!\int {d^{4}p_{1} \over (2\pi )^{4}}{d^{4}p_{2} \over (2\pi )^{4}}{d^{4}p_{3} \over (2\pi )^{4}}\delta (p-p_{1}-p_{2}-p_{3}){\tilde {\phi }}(p){\tilde {\phi }}(p_{1}){\tilde {\phi }}(p_{2}){\tilde {\phi }}(p_{3})}e^{{\tilde {J}}{\tilde {\phi }}}\right].}$

Los segundos dos factores exponenciales se pueden expandir como series de potencias y la combinatoria de esta expansión se puede representar gráficamente. La integral con λ = 0 puede tratarse como un producto de infinitas integrales gaussianas elementales, y el resultado puede expresarse como una suma de diagramas de Feynman , calculados utilizando las siguientes reglas de Feynman:

• Cada campo en la función de Green euclidiano de n puntos está representado por una línea externa (medio borde) en el gráfico y asociado con el impulso p . ${\displaystyle {\tilde {\phi }}(p)}$
• Cada vértice está representado por un factor -λ .
• En un orden dado λ ^k , todos los diagramas con n líneas externas y k vértices se construyen de manera que los momentos que fluyen hacia cada vértice sean cero. Cada línea interna está representada por un factor 1/( q ² + m ² ), donde q es el impulso que fluye a través de esa línea.
• Cualquier momento no restringido se integra en todos los valores.
• El resultado se divide por un factor de simetría, que es el número de formas en que se pueden reorganizar las líneas y los vértices del gráfico sin cambiar su conectividad.
• No incluya gráficos que contengan "burbujas de vacío", subgráficos conectados sin líneas externas.

La última regla tiene en cuenta el efecto de dividir entre . Las reglas de Feynman del espacio de Minkowski son similares, excepto que cada vértice está representado por , mientras que cada línea interna está representada por un factor i /( q ² - m ² + i ε ), donde el término ε representa la pequeña rotación de Wick necesaria para hacer converger la integral gaussiana del espacio de Minkowski. ${\displaystyle {\tilde {Z}}[0]}$ ${\displaystyle -i\lambda }$ 

Renormalización

Las integrales sobre momentos no restringidos, llamadas "integrales de bucle", en los gráficos de Feynman suelen divergir. Esto normalmente se maneja mediante renormalización , que es un procedimiento para agregar contratérminos divergentes al lagrangiano de tal manera que los diagramas construidos a partir del lagrangiano original y los contratérminos sean finitos. ^[4] Se debe introducir una escala de renormalización en el proceso, y la constante de acoplamiento y la masa dependen de ella. Es esta dependencia la que conduce al polo de Landau mencionado anteriormente y requiere que el límite se mantenga finito. Alternativamente, si se permite que el límite llegue al infinito, el polo de Landau sólo puede evitarse si el acoplamiento renormalizado llega a cero, lo que hace que la teoría sea trivial . ^[5]

Ruptura espontánea de simetría

Puede ocurrir una característica interesante si m ² se vuelve negativo, pero con λ todavía positivo. En este caso, el vacío consta de dos estados de mínima energía, cada uno de los cuales rompe espontáneamente la simetría global Z ₂ de la teoría original. Esto lleva a la aparición de estados colectivos interesantes como muros de dominio . En la teoría O (2), el vacío estaría en un círculo, y la elección de uno rompería espontáneamente la simetría O (2). Una simetría rota continua conduce a un bosón de Goldstone . Este tipo de ruptura espontánea de simetría es el componente esencial del mecanismo de Higgs . ^[6]

Ruptura espontánea de simetrías discretas.

El sistema relativista más simple en el que podemos ver una ruptura espontánea de simetría es uno con un solo campo escalar con Lagrangiano. ${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle {\mathcal {L}}(\varphi )={\frac {1}{2}}(\partial \varphi )^{2}+{\frac {1}{2}}\mu ^{2}\varphi ^{2}-{\frac {1}{4}}\lambda \varphi ^{4}\equiv {\frac {1}{2}}(\partial \varphi )^{2}-V(\varphi ),}$

dónde y ${\displaystyle \mu ^{2}>0}$

${\displaystyle V(\varphi )\equiv -{\frac {1}{2}}\mu ^{2}\varphi ^{2}+{\frac {1}{4}}\lambda \varphi ^{4}.}$

Minimizar el potencial con respecto a conduce a ${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle V'(\varphi _{0})=0\Longleftrightarrow \varphi _{0}^{2}\equiv v^{2}={\frac {\mu ^{2}}{\lambda }}.}$

Ahora ampliamos el campo en torno a esta escritura mínima.

${\displaystyle \varphi (x)=v+\sigma (x),}$

y sustituyendo en el lagrangiano obtenemos

${\displaystyle {\mathcal {L}}(\varphi )=\underbrace {-{\frac {\mu ^{4}}{4\lambda }}} _{\text{unimportant constant}}+\underbrace {{\frac {1}{2}}[(\partial \sigma )^{2}-({\sqrt {2}}\mu )^{2}\sigma ^{2}]} _{\text{massive scalar field}}+\underbrace {(-\lambda v\sigma ^{3}-{\frac {\lambda }{4}}\sigma ^{4})} _{\text{self-interactions}}.}$

donde notamos que el escalar ahora tiene un término de masa positivo . ${\displaystyle \sigma }$

Pensar en términos de valores esperados del vacío nos permite comprender qué le sucede a una simetría cuando se rompe espontáneamente. El lagrangiano original era invariante bajo la simetría . Desde ${\displaystyle Z_{2}}$ ${\displaystyle \varphi \rightarrow -\varphi }$

${\displaystyle \langle \Omega |\varphi |\Omega \rangle =\pm {\sqrt {\frac {6\mu ^{2}}{\lambda }}}}$

son ambos mínimos, debe haber dos vacíos diferentes: con ${\displaystyle |\Omega _{\pm }\rangle }$

${\displaystyle \langle \Omega _{\pm }|\varphi |\Omega _{\pm }\rangle =\pm {\sqrt {\frac {6\mu ^{2}}{\lambda }}}.}$

Como la simetría toma , debe tomar también. Las dos posibles vacías de la teoría son equivalentes, pero hay que elegir una. Aunque parece que en el nuevo lagrangiano la simetría ha desaparecido, sigue ahí, pero ahora actúa como Esta es una característica general de las simetrías rotas espontáneamente: el vacío las rompe, pero en el lagrangiano en realidad no están rotas, sólo están escondidas. , y a menudo se realiza sólo de forma no lineal. ^[7] ${\displaystyle Z_{2}}$ ${\displaystyle \varphi \rightarrow -\varphi }$ ${\displaystyle |\Omega _{+}\rangle \leftrightarrow |\Omega _{-}\rangle }$ ${\displaystyle Z_{2}}$ ${\displaystyle \sigma \rightarrow -\sigma -2v.}$

Soluciones exactas

Existe un conjunto de soluciones clásicas exactas a la ecuación de movimiento de la teoría escrita en la forma

${\displaystyle \partial ^{2}\varphi +\mu _{0}^{2}\varphi +\lambda \varphi ^{3}=0}$

que se puede escribir para el caso sin masa, como ^[8] ${\displaystyle \mu _{0}=0}$

${\displaystyle \varphi (x)=\pm \mu \left({\frac {2}{\lambda }}\right)^{1 \over 4}{\rm {sn}}(p\cdot x+\theta ,i),}$

donde es la función seno elíptica de Jacobi y son dos constantes de integración, siempre que se cumpla la siguiente relación de dispersión ${\displaystyle \,{\rm {sn\!}}}$ ${\displaystyle \,\mu ,\theta }$

${\displaystyle p^{2}=\mu ^{2}\left({\frac {\lambda }{2}}\right)^{1 \over 2}.}$

Lo interesante es que comenzamos con una ecuación sin masa pero la solución exacta describe una onda con una relación de dispersión propia de una solución masiva. Cuando el término de masa no es cero se obtiene

${\displaystyle \varphi (x)=\pm {\sqrt {\frac {2\mu ^{4}}{\mu _{0}^{2}+{\sqrt {\mu _{0}^{4}+2\lambda \mu ^{4}}}}}}{\rm {sn}}\left(p\cdot x+\theta ,{\sqrt {\frac {-\mu _{0}^{2}+{\sqrt {\mu _{0}^{4}+2\lambda \mu ^{4}}}}{-\mu _{0}^{2}-{\sqrt {\mu _{0}^{4}+2\lambda \mu ^{4}}}}}}\right)}$

siendo ahora la relación de dispersión

${\displaystyle p^{2}=\mu _{0}^{2}+{\frac {\lambda \mu ^{4}}{\mu _{0}^{2}+{\sqrt {\mu _{0}^{4}+2\lambda \mu ^{4}}}}}.}$

Finalmente, para el caso de una ruptura de simetría se tiene

${\displaystyle \varphi (x)=\pm v\cdot {\rm {dn}}(p\cdot x+\theta ,i),}$

siendo y se cumple la siguiente relación de dispersión ${\displaystyle v={\sqrt {\frac {2\mu _{0}^{2}}{3\lambda }}}}$

${\displaystyle p^{2}={\frac {\lambda v^{2}}{2}}.}$

Estas soluciones de ondas son interesantes ya que, a pesar de que comenzamos con una ecuación con un signo de masa incorrecto, la relación de dispersión tiene el correcto. Además, la función de Jacobi no tiene ceros reales, por lo que el campo nunca es cero, sino que se mueve alrededor de un valor constante dado que se elige inicialmente y describe una ruptura espontánea de simetría. ${\displaystyle \,{\rm {dn}}\!}$

Se puede proporcionar una prueba de unicidad si observamos que la solución se puede buscar en la forma ser . Entonces, la ecuación diferencial parcial se convierte en una ecuación diferencial ordinaria que es la que define la función elíptica de Jacobi al satisfacer la relación de dispersión adecuada. ${\displaystyle \varphi =\varphi (\xi )}$ ${\displaystyle \xi =p\cdot x}$ ${\displaystyle p}$

Ver también

• Teoría de campos escalares
• Trivialidad cuántica
• Polo Landau
• Renormalización
• Mecanismo de Higgs
• bosón de piedra dorada
• Potencial de Coleman-Weinberg

Referencias

1. Simón, Barry; Griffiths, Robert B. (1 de junio de 1973). "La teoría de campos (φ4) 2 como modelo clásico de Ising". Comunicaciones en Física Matemática . 33 (2): 145-164. Código bibliográfico : 1973CMaPh..33..145S. CiteSeerX  10.1.1.210.9639 . doi :10.1007/BF01645626. ISSN  1432-0916. S2CID  123201243.
2. Aizenman, Michael; Duminil-Copin, Hugo (1 de julio de 2021). "Trivialidad marginal de los límites de escala de los modelos críticos 4D Ising y $\phi_4^4$". Anales de Matemáticas . 194 (1). arXiv : 1912.07973 . doi : 10.4007/anales.2021.194.1.3. ISSN  0003-486X. S2CID  209386716.
3. Una referencia general para esta sección es Ramond, Pierre (21 de diciembre de 2001). Teoría de campo: una introducción moderna (Segunda ed.). Estados Unidos: Westview Press. ISBN 0-201-30450-3..
4. Consulte la referencia anterior o, para más detalles, Itzykson, Zuber; Zuber, Jean-Bernard (24 de febrero de 2006). Teoría cuántica de campos . Dover..
5. DJE Callaway (1988). "Búsqueda de trivialidad: ¿Pueden existir partículas escalares elementales?". Informes de Física . 167 (5): 241–320. Código bibliográfico : 1988PhR...167..241C. doi :10.1016/0370-1573(88)90008-7.
6. Se puede encontrar una descripción básica de la ruptura espontánea de la simetría en las dos referencias anteriores, o en la mayoría de los demás libros de teoría cuántica de campos.
7. Schwartz, Teoría cuántica de campos y modelo estándar, Capítulo 28.1
8. Marco Frasca (2011). "Soluciones exactas de ecuaciones de campo escalares clásicas". Revista de Física Matemática No Lineal . 18 (2): 291–297. arXiv : 0907.4053 . Código Bib : 2011JNMP...18..291F. doi :10.1142/S1402925111001441. S2CID  17314344.

Otras lecturas

• 't Hooft, G. , "La base conceptual de la teoría cuántica de campos" (versión en línea).