En física , el polo de Landau (o el cero de Moscú , o el fantasma de Landau ) [1] es la escala de impulso (o energía) en la que la constante de acoplamiento (fuerza de interacción) de una teoría cuántica de campos se vuelve infinita. Esta posibilidad fue señalada por el físico Lev Landau y sus colegas. [2] El hecho de que los acoplamientos dependan de la escala de impulso (o longitud) es la idea central detrás del grupo de renormalización .
Los polos de Landau aparecen en teorías que no son asintóticamente libres , como la electrodinámica cuántica (QED) o la teoría φ 4 (un campo escalar con una interacción cuártica ), como la que puede describir el bosón de Higgs . En estas teorías, la constante de acoplamiento renormalizada crece con la energía. Un polo de Landau aparece cuando el acoplamiento se vuelve infinito en una escala de energía finita. En una teoría que pretende ser completa, esto podría considerarse una inconsistencia matemática. Una posible solución es que la carga renormalizada podría llegar a cero cuando se elimine el corte, lo que significa que la carga queda completamente protegida por fluctuaciones cuánticas ( polarización del vacío ). Este es un caso de trivialidad cuántica , [3] lo que significa que las correcciones cuánticas suprimen completamente las interacciones en ausencia de un límite.
Dado que el polo de Landau normalmente se identifica mediante cálculos perturbativos de uno o dos bucles, es posible que el polo sea simplemente una señal de que la aproximación perturbativa falla en un acoplamiento fuerte. La teoría de la perturbación también puede ser inválida si existen estados no adiabáticos . La teoría del calibre de red proporciona un medio para abordar cuestiones de la teoría cuántica de campos más allá del ámbito de la teoría de la perturbación y, por lo tanto, se ha utilizado para intentar resolver esta cuestión.
Los cálculos numéricos realizados en este marco parecen confirmar la conclusión de Landau de que en QED la carga renormalizada desaparece por completo para un corte infinito. [4] [5] [6] [7]
Según Landau, Abrikosov y Khalatnikov , [8] la relación de la carga observable g obs con la carga "desnuda" g 0 para teorías de campos renormalizables cuando Λ ≫ m está dada por
donde m es la masa de la partícula y Λ es el límite de momento. Si g 0 < ∞ y Λ → ∞ entonces g obs → 0 y la teoría parece trivial. De hecho, invirtiendo la Ec. 1 , de modo que g 0 (relacionado con la escala de longitud Λ −1 ) revele un valor preciso de g obs ,
A medida que Λ crece, la carga desnuda g 0 = g (Λ) aumenta, para finalmente divergir en el punto de renormalización
Esta singularidad es el polo de Landau con un residuo negativo , g (Λ) ≈ −Λ Landau / ( β 2 (Λ − Λ Landau )) .
De hecho, sin embargo, el crecimiento de g 0 invalida las ecuaciones. 1 , 2 en la región g 0 ≈ 1 , ya que estos se obtuvieron para g 0 ≪ 1 , por lo que la existencia no perturbativa del polo de Landau se vuelve cuestionable.
El comportamiento real de la carga g ( μ ) en función de la escala de momento μ está determinado por la ecuación de Gell-Mann – Low [9]
lo que da las Ecs. 1 , 2 si se integra bajo las condiciones g ( μ ) = g obs para μ = my g ( μ ) = g 0 para μ = Λ , cuando solo se retiene el término con β 2 en el lado derecho. El comportamiento general de g ( μ ) depende de la apariencia de la función β ( g ) .
Según la clasificación de Bogoliubov y Shirkov, [10] existen tres casos cualitativamente diferentes:
Landau y Pomeranchuk [11] intentaron justificar la posibilidad (c) en el caso de QED y la teoría φ 4 . Han observado que el crecimiento de g 0 en la ecuación. 1 lleva la carga observable g obs al límite constante, que no depende de g 0 . El mismo comportamiento se puede obtener de las integrales funcionales, omitiendo los términos cuadráticos en la acción. Si descuidar los términos cuadráticos ya es válido para g 0 ≪ 1 , es aún más válido para g 0 del orden o mayor que la unidad: da una razón para considerar la ecuación. 1 para ser válido para g 0 arbitrario . La validez de estas consideraciones a nivel cuantitativo queda excluida por la forma no cuadrática de la función β . [ cita necesaria ]
Sin embargo, pueden ser correctos cualitativamente. De hecho, el resultado g obs = const( g 0 ) se puede obtener de las integrales funcionales sólo para g 0 ≫ 1 , mientras que su validez para g 0 ≪ 1 , según la ecuación. 1 , puede estar relacionado con otras razones; para g 0 ≈ 1 este resultado probablemente se viole, pero se puede esperar la coincidencia de dos valores constantes en el orden de magnitud de la condición de coincidencia. Los resultados de Monte Carlo [12] parecen confirmar la validez cualitativa de los argumentos de Landau-Pomeranchuk, aunque también es posible una interpretación diferente.
El caso (c) en la clasificación de Bogoliubov y Shirkov corresponde a la trivialidad cuántica en plena teoría (más allá de su contexto perturbacional), como puede verse mediante una reductio ad absurdum . De hecho, si g obs < ∞ , la teoría es internamente inconsistente. La única forma de evitarlo es para μ 0 → ∞ , lo cual es posible solo para g obs → 0 . Es una creencia muy extendida [ ¿por quién? ] que tanto la teoría QED como la de φ 4 son triviales en el límite del continuo .
En una teoría destinada a representar una interacción física en la que se sabe que la constante de acoplamiento es distinta de cero, los polos de Landau o la trivialidad pueden verse como un signo de que la teoría está incompleta . Por ejemplo, generalmente no se cree que QED [ cita necesaria ] sea una teoría completa por sí sola, porque no describe otras interacciones fundamentales y contiene un polo de Landau. Convencionalmente, la QED forma parte de la teoría electrodébil más fundamental . El grupo U(1) Y de la teoría electrodébil también tiene un polo de Landau que generalmente se considera [ ¿por quién? ] ser una señal de la necesidad de una integración definitiva en una Gran Teoría Unificada . La gran escala unificada proporcionaría un límite natural muy por debajo de la escala de Landau, evitando que el polo tenga consecuencias físicas observables.
El problema del polo Landau en QED es de interés puramente académico, por la siguiente razón. El papel de g obs en las ecuaciones. 1 , 2 se juega con la constante de estructura fina α ≈ 1/137 y la escala de Landau para QED se estima como10 286 eV , que está mucho más allá de cualquier escala de energía relevante para la física observable. A modo de comparación, las energías máximas accesibles en el Gran Colisionador de Hadrones son del orden10 13 eV , mientras que la escala de Planck , en la que la gravedad cuántica se vuelve importante y la relevancia de la propia teoría cuántica de campos puede cuestionarse, es10 28 eV .
El bosón de Higgs en el modelo estándar de física de partículas se describe mediante la teoría φ 4 (ver Interacción cuártica ). Si este último tiene un polo de Landau, entonces este hecho se utiliza para establecer un "límite de trivialidad" en la masa de Higgs. El límite depende de la escala en la que se supone que entra la nueva física y del valor máximo del acoplamiento cuártico permitido (su valor físico se desconoce). Para acoplamientos grandes, se requieren métodos no perturbativos. Esto puede incluso conducir a una masa de Higgs predecible en escenarios de seguridad asintóticos . Los cálculos reticulares también han sido útiles en este contexto. [13]
Una comprensión más profunda del significado físico y la generalización del proceso de renormalización que conduce a los polos de Landau proviene de la física de la materia condensada. El artículo de Leo P. Kadanoff de 1966 propuso el grupo de renormalización "bloque-giro". [14] La idea de bloqueo es una forma de definir los componentes de la teoría a grandes distancias como agregados de componentes a distancias más cortas. Este enfoque fue desarrollado por Kenneth Wilson . [15] Recibió el premio Nobel por estas decisivas contribuciones en 1982.
Supongamos que tenemos una teoría descrita por una determinada función Z de las variables de estado { s i } y un conjunto de constantes de acoplamiento { J k } . Esta función puede ser una función de partición , una acción o un hamiltoniano . Considere una cierta transformación de bloqueo de las variables de estado { s i } → {} , el número dedebe ser menor que el número de s i . Ahora intentemos reescribir Z sólo en términos de. Si esto se puede lograr mediante un cierto cambio en los parámetros, { J k } → {} , entonces se dice que la teoría es renormalizable . La información más importante en el flujo RG son sus puntos fijos . Los posibles estados macroscópicos del sistema, a gran escala, vienen dados por este conjunto de puntos fijos. Si estos puntos fijos corresponden a una teoría de campo libre, se dice que la teoría exhibe trivialidad cuántica y posee un polo de Landau. En el estudio de las teorías de la red de Higgs aparecen numerosos puntos fijos , pero no se sabe si corresponden a teorías de campo libre. [3]
La solución del problema del polo de Landau requiere el cálculo de la función Gell-Mann-Low β ( g ) en g arbitrario y, en particular, su comportamiento asintótico para g → ∞ . Los cálculos esquemáticos permiten obtener sólo unos pocos coeficientes de expansión β 2 , β 3 , ... , que no permiten investigar la función β en su conjunto. El progreso fue posible después del desarrollo del método de Lipatov para calcular la teoría de perturbaciones de orden grande: [16] Ahora se puede intentar interpolar los coeficientes conocidos β 2 , β 3 , ... con su comportamiento de orden grande, y luego sumar los serie de perturbaciones.
Los primeros intentos de reconstrucción de la función β mediante este método se refieren a la trivialidad de la teoría φ 4 . La aplicación de métodos de suma más avanzados produjo el exponente α en el comportamiento asintótico β ( g ) ∝ g α , un valor cercano a la unidad. La hipótesis del comportamiento asintótico de β ( g ) ∝ g se presentó recientemente analíticamente para la teoría φ 4 y QED. [17] [18] [19] Junto con la positividad de β ( g ) , obtenida por suma de la serie, sugiere el caso (b) de la clasificación de Bogoliubov y Shirkov anterior y, por lo tanto, la ausencia del polo de Landau en estas teorías. , suponiendo que la teoría de la perturbación sea válida (pero consulte la discusión anterior en la introducción).