Teoría del calibre de celosía

Theory of quantum gauge fields on a lattice

En física , la teoría de calibre de red es el estudio de las teorías de calibre en un espacio-tiempo que ha sido discretizado en una red .

Las teorías de calibre son importantes en la física de partículas e incluyen las teorías predominantes de las partículas elementales : la electrodinámica cuántica , la cromodinámica cuántica (QCD) y el modelo estándar de la física de partículas . Los cálculos de la teoría de calibre no perturbativa en el espacio-tiempo continuo implican formalmente evaluar una integral de trayectoria de dimensión infinita , que es computacionalmente intratable. Al trabajar en un espacio-tiempo discreto , la integral de trayectoria se vuelve de dimensión finita y puede evaluarse mediante técnicas de simulación estocástica como el método de Monte Carlo . Cuando el tamaño de la red se toma infinitamente grande y sus sitios son infinitamente cercanos entre sí, se recupera la teoría del calibre continuo. ^[1]

Lo esencial

En la teoría del calibre de red, el espacio-tiempo es Wick girado hacia el espacio euclidiano y discretizado en una red con sitios separados por distancia y conectados por enlaces. En los casos más comúnmente considerados, como la QCD de la red , los campos de fermiones se definen en los sitios de la red (lo que conduce a la duplicación de los fermiones ), mientras que los campos de calibre se definen en los enlaces. Es decir, a cada enlace se le asigna un elemento U del grupo compacto de Lie G (no álgebra ). Por lo tanto, para simular QCD con el grupo de Lie SU(3) , se define una matriz unitaria de 3×3 en cada enlace. Al enlace se le asigna una orientación, correspondiendo el elemento inverso al mismo enlace con la orientación opuesta. Y a cada nodo se le asigna un valor en (un vector de color 3, el espacio en el que actúa la representación fundamental de SU(3)), un bispinor (Dirac 4-spinor), un vector n _f y una variable de Grassmann . ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{3}}$

Por lo tanto, la composición de los elementos SU(3) de los enlaces a lo largo de una trayectoria (es decir, la multiplicación ordenada de sus matrices) se aproxima a una exponencial ordenada por trayectoria (integral geométrica), a partir de la cual se pueden calcular los valores del bucle de Wilson para trayectorias cerradas.

Acción de Yang-Mills

La acción de Yang-Mills se escribe en la red utilizando bucles de Wilson (llamados así en honor a Kenneth G. Wilson ), de modo que el límite reproduce formalmente la acción continua original. ^[1] Dada una representación irreducible fiel ρ de G , la acción reticular de Yang-Mills, conocida como acción de Wilson , es la suma de todos los sitios reticulares de la traza (componente real de la) sobre los n enlaces e ₁ , .. ., y _en el bucle de Wilson, ${\displaystyle a\to 0}$

${\displaystyle S=\sum _{F}-\Re \{\chi ^{(\rho )}(U(e_{1})\cdots U(e_{n}))\}.}$

Aquí, χ es el carácter . Si ρ es una representación real (o pseudoreal ), tomar el componente real es redundante, porque incluso si se invierte la orientación de un bucle de Wilson, su contribución a la acción permanece sin cambios.

Hay muchas acciones Wilson posibles, dependiendo de qué bucles Wilson se utilicen en la acción. La acción de Wilson más simple utiliza sólo el bucle de Wilson 1 × 1 y se diferencia de la acción continua por "artefactos de red" proporcionales al pequeño espaciamiento de la red . Al utilizar bucles de Wilson más complicados para construir "acciones mejoradas", los artefactos de la red se pueden reducir para que sean proporcionales a , lo que hace que los cálculos sean más precisos. ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a^{2}}$

Medidas y cálculos.

Este resultado de un cálculo Lattice QCD muestra un mesón , compuesto por un quark y un antiquark. (Según M. Cardoso et al. ^[2] )

Cantidades como las masas de partículas se calculan estocásticamente utilizando técnicas como el método de Monte Carlo . Las configuraciones del campo de calibre se generan con probabilidades proporcionales a , donde es la acción de la red y está relacionada con el espaciamiento de la red . La cantidad de interés se calcula para cada configuración y se promedia. Los cálculos a menudo se repiten en diferentes espaciamientos de red para que el resultado pueda extrapolarse al continuo . ${\displaystyle e^{-\beta S}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a\to 0}$

Estos cálculos suelen ser extremadamente intensivos desde el punto de vista computacional y pueden requerir el uso de las supercomputadoras más grandes disponibles . Para reducir la carga computacional se puede utilizar la llamada aproximación apagada , en la que los campos fermiónicos se tratan como variables "congeladas" no dinámicas. Si bien esto era común en los primeros cálculos de QCD de red, los fermiones "dinámicos" son ahora estándar. ^[3] Estas simulaciones suelen utilizar algoritmos basados ​​en dinámica molecular o algoritmos de conjuntos microcanónicos . ^{[4] [5]}

Los resultados de los cálculos QCD reticulares muestran, por ejemplo, que en un mesón no sólo son importantes las partículas (quarks y antiquarks), sino también los " tubos de flujo " de los campos de gluones. ^{[ cita necesaria ]}

Trivialidad cuántica

La teoría del calibre de red también es importante para el estudio de la trivialidad cuántica por parte del grupo de renormalización del espacio real . ^[6] La información más importante en el flujo de RG son los llamados puntos fijos .

Los posibles estados macroscópicos del sistema, a gran escala, vienen dados por este conjunto de puntos fijos. Si estos puntos fijos corresponden a una teoría de campo libre, se dice que la teoría es trivial o que no interactúa. Numerosos puntos fijos aparecen en el estudio de las teorías de la red de Higgs, pero la naturaleza de las teorías cuánticas de campos asociadas con ellos sigue siendo una cuestión abierta. ^[7]

La trivialidad aún no se ha demostrado rigurosamente, pero los cálculos reticulares han proporcionado pruebas sólidas de ello. Este hecho es importante ya que la trivialidad cuántica se puede utilizar para limitar o incluso predecir parámetros como la masa del bosón de Higgs .

Otras aplicaciones

Originalmente, las teorías de calibre de red bidimensional resolubles ya habían sido introducidas en 1971 como modelos con interesantes propiedades estadísticas por el teórico Franz Wegner , que trabajó en el campo de las transiciones de fase. ^[8]

Cuando solo aparecen bucles Wilson 1 × 1 en la acción, se puede demostrar que la teoría del calibre de celosía es exactamente dual para hacer girar los modelos de espuma . ^[9]

Ver también

• Teoría del calibre de red hamiltoniano
• Teoría del campo reticular
• QCD de celosía
• Trivialidad cuántica
• acción de wilson

Referencias

1. Wilson, K. (1974). "Confinamiento de quarks". Revisión física D. 10 (8): 2445. Código bibliográfico : 1974PhRvD..10.2445W. doi : 10.1103/PhysRevD.10.2445.
2. Cardoso, M.; Cardoso, N.; Bicudo, P. (3 de febrero de 2010). "Cálculo de celosía QCD de los campos de color para el sistema híbrido estático quark-gluón-antiquark y estudio microscópico de la escala de Casimir". Revisión física D. 81 (3): 034504. arXiv : 0912.3181 . Código bibliográfico : 2010PhRvD..81c4504C. doi : 10.1103/physrevd.81.034504. ISSN  1550-7998. S2CID  119216789.
3. A. Bazavov; et al. (2010). "Simulaciones QCD no perturbativas con sabores 2 + 1 de quarks escalonados mejorados". Reseñas de Física Moderna . 82 (2): 1349-1417. arXiv : 0903.3598 . Código Bib : 2010RvMP...82.1349B. doi : 10.1103/RevModPhys.82.1349. S2CID  119259340.
4. David JE Callaway y Aneesur Rahman (1982). "Formulación de conjuntos microcanónicos de la teoría del calibre de celosía". Cartas de revisión física . 49 (9): 613–616. Código bibliográfico : 1982PhRvL..49..613C. doi :10.1103/PhysRevLett.49.613.
5. David JE Callaway y Aneesur Rahman (1983). "Teoría del calibre de celosía en el conjunto microcanónico" (PDF) . Revisión física . D28 (6): 1506-1514. Código bibliográfico : 1983PhRvD..28.1506C. doi : 10.1103/PhysRevD.28.1506.
6. Wilson, Kenneth G. (1 de octubre de 1975). "El grupo de renormalización: fenómenos críticos y el problema de Kondo". Reseñas de Física Moderna . Sociedad Estadounidense de Física (APS). 47 (4): 773–840. Código bibliográfico : 1975RvMP...47..773W. doi :10.1103/revmodphys.47.773. ISSN  0034-6861.
7. DJE Callaway (1988). "Búsqueda de trivialidad: ¿Pueden existir partículas escalares elementales?". Informes de Física . 167 (5): 241–320. Código bibliográfico : 1988PhR...167..241C. doi :10.1016/0370-1573(88)90008-7.
8. F. Wegner, "Dualidad en modelos de Ising generalizados y transiciones de fase sin parámetro de orden local", J. Math. Física. 12 (1971) 2259-2272. Reimpreso en Claudio Rebbi (ed.), Lattice Gauge Theories and Monte-Carlo-Simulations , World Scientific, Singapur (1983), p. 60-73. Abstracto
9. R. Oeckl; H. Pfeiffer (2001). "El dual de la teoría pura del calibre de celosía no abeliana como modelo de espuma giratoria". Física Nuclear B. 598 (1–2): 400–426. arXiv : hep-th/0008095 . Código Bib : 2001NuPhB.598..400O. doi :10.1016/S0550-3213(00)00770-7. S2CID  3606117.

Otras lecturas

• Creutz, M., Quarks, gluones y redes , Cambridge University Press, Cambridge, (1985). ISBN 978-0521315357 
• Montvay, I., Münster, G., Campos cuánticos en una celosía , Cambridge University Press, Cambridge, (1997). ISBN 978-0521599177 
• Makeenko, Y., Métodos de la teoría de calibre contemporánea , Cambridge University Press, Cambridge, (2002). ISBN 0-521-80911-8 . 
• Smit, J. , Introducción a los campos cuánticos en una red , Cambridge University Press, Cambridge, (2002). ISBN 978-0521890519 
• Rothe, H., Teorías del calibre de celosía, Introducción , World Scientific, Singapur, (2005). ISBN 978-9814365857 
• DeGrand, T., DeTar, C., Métodos de celosía para cromodinámica cuántica , World Scientific, Singapur, (2006). ISBN 978-9812567277 
• Gattringer, C., Lang, CB, Cromodinámica cuántica en la red , Springer, (2010). ISBN 978-3642018497 
• Knechtli, F., Günther, M., Peardon, M., Cromodinámica cuántica de celosía: conceptos básicos prácticos , Springer, (2016). ISBN 978-9402409970 
• Weisz Peter, Majumdar Pushan (2012). "Teorías del calibre de celosía". Scholarpedia . 7 (4): 8615. Código bibliográfico : 2012SchpJ...7.8615W. doi : 10.4249/scholarpedia.8615 .

enlaces externos

• La biblioteca FermiQCD para la teoría del campo de celosía
• Bibliotecas de software de cromodinámica cuántica de celosía de EE. UU.