Teoría de Yang-Mills bidimensional

Teoría de Yang-Mills en dos dimensiones con una medida bien definida

En física matemática, la teoría de Yang-Mills bidimensional es el caso especial de la teoría de Yang-Mills en el que la dimensión del espacio-tiempo se toma como dos. Este caso especial permite una medida de Yang-Mills rigurosamente definida , lo que significa que la integral de trayectoria (euclidiana) puede interpretarse como una medida en el conjunto de conexiones módulo transformaciones de calibración. Esta situación contrasta con el caso de cuatro dimensiones, donde actualmente se desconoce una construcción rigurosa de la teoría como medida.

Un aspecto del tema de particular interés es el límite de N grande , en el que se toma como grupo estructural el grupo unitario y luego se toma el límite de tendencia al infinito. El límite de N grande de la teoría bidimensional de Yang-Mills tiene conexiones con la teoría de cuerdas. ${\displaystyle U(N)}$ ${\displaystyle N}$

Fondo

El interés en la medida de Yang-Mills proviene de un enfoque teórico de campo cuántico constructivo o mecánico estadístico para formular una teoría cuántica para el campo de Yang-Mills. Un campo de calibración se describe matemáticamente mediante una 1-forma en un fibrado principal sobre una variedad que toma valores en el álgebra de Lie del grupo de Lie . Suponemos que el grupo de estructura , que describe las simetrías físicas del campo de calibración, es un grupo de Lie compacto con una métrica bi-invariante en el álgebra de Lie , y también suponemos dada una métrica de Riemann en la variedad . El funcional de acción de Yang-Mills está dado por ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle L(G)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle L(G)}$ ${\displaystyle M}$

$${\displaystyle S_{YM}(A)={\frac {1}{2}}\int _{M}\|F^{A}\|^{2}\,d\sigma _{M}}$$

donde es la curvatura de la forma de conexión , la norma al cuadrado en el integrando proviene de la métrica en el álgebra de Lie y la de la variedad base, y es la medida del volumen de Riemann en . ${\displaystyle F^{A}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \sigma _{M}}$ ${\displaystyle M}$

La medida se da formalmente como una medida de probabilidad normalizada en el espacio de todas las conexiones en el fibrado, con un parámetro, y es una constante de normalización formal . Más precisamente, es más probable que la medida de probabilidad sea significativa en el espacio de órbitas de conexiones bajo transformaciones de calibre . ${\displaystyle \mu _{T}}$ $${\displaystyle d\mu _{T}(A)={\frac {1}{Z_{T}}}e^{-S_{YM}(A)/T}DA,}$$ ${\displaystyle T>0}$ ${\displaystyle Z_{T}}$

La medida de Yang-Mills para variedades bidimensionales

El estudio de la teoría de Yang-Mills en dos dimensiones se remonta al menos al trabajo de AA Migdal en 1975. ^[1] En retrospectiva, se puede ver que algunas fórmulas que aparecen en el trabajo de Migdal están conectadas con el núcleo de calor en el grupo de estructura de la teoría. El papel del núcleo de calor se hizo más explícito en varios trabajos a fines de la década de 1970, que culminaron con la introducción de la acción del núcleo de calor en el trabajo de Menotti y Onofri en 1981. ^[2]

En la teoría del continuo, la medida de Yang-Mills fue rigurosamente definida para el caso donde por Bruce Driver ^[3] y por Leonard Gross , Christopher King y Ambar Sengupta . ^[4] Para variedades compactas, tanto orientadas como no orientadas, con o sin borde, con topología de fibrado especificada, la medida de Yang-Mills fue construida por Sengupta ^{[5] [6] [7] [8]} En este enfoque, la medida de Yang-Mills bidimensional se construye utilizando una medida gaussiana en un espacio de dimensión infinita condicionado para satisfacer las relaciones implícitas en las topologías de la superficie y del fibrado. Las variables de bucle de Wilson (ciertas variables importantes en el espacio) se definieron utilizando ecuaciones diferenciales estocásticas y sus valores esperados se calcularon explícitamente y se encontró que concordaban con los resultados de la acción del núcleo de calor. ${\displaystyle \mu _{T}}$ ${\displaystyle M={\mathbb {R} }^{2}}$

Dana S. Fine ^{[9] [10] [11]} utilizó la integral funcional formal de Yang-Mills para calcular los valores esperados del bucle. Otros enfoques incluyen el de Klimek y Kondracki ^[12] y Ashtekar et al. ^[13] Thierry Lévy ^{[14] [15]} construyó la medida de Yang-Mills bidimensional en un marco muy general, comenzando con las fórmulas de valores esperados del bucle y construyendo la medida, de manera algo análoga a la medida del movimiento browniano que se construye a partir de probabilidades de transición . A diferencia de otros trabajos que también apuntaban a construir la medida a partir de valores esperados del bucle, la construcción de Lévy permite considerar una familia muy amplia de observables del bucle.

La medida discreta de Yang-Mills es un término que se ha utilizado para la versión de la teoría de calibración de red de la medida de Yang-Mills, especialmente para superficies compactas. La red en este caso es una triangulación de la superficie. Los hechos notables ^{[16] [17]} son: (i) la medida discreta de Yang-Mills puede codificar la topología del fibrado sobre la superficie del continuo incluso si solo se utiliza la triangulación para definir la medida; (ii) cuando dos superficies se cosen a lo largo de un bucle límite común, las medidas discretas de Yang-Mills correspondientes convolucionan para producir la medida para la superficie combinada.

Valores esperados del bucle de Wilson en dos dimensiones

Para un bucle liso por partes en la variedad base y un punto en la fibra en el fibrado principal sobre el punto base del bucle, existe la holonomía de cualquier conexión en el fibrado. Para bucles regulares , todos basados ​​en y cualquier función en la función se denomina variable de bucle de Wilson , de interés principalmente cuando es un producto de trazas de las holonomías en representaciones del grupo . Al ser una variedad riemanniana bidimensional, los valores esperados del bucle ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle P\to M}$ ${\displaystyle o\in M}$ ${\displaystyle h_{\gamma }(A)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \gamma _{1},\ldots ,\gamma _{n}}$ ${\displaystyle o}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle G^{n}}$ ${\displaystyle A\mapsto \varphi {\bigl (}h_{\gamma _{1}}(A),\ldots ,h_{\gamma _{n}}(A){\bigr )}}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle M}$

$${\displaystyle \int \varphi {\bigl (}h_{\gamma _{1}}(A),\ldots ,h_{\gamma _{n}}(A){\bigr )}\,d\mu _{T}(A)}$$

se calcularon en los trabajos antes mencionados.

Si es el plano entonces donde es el núcleo de calor en el grupo , es el área encerrada por el bucle , y la integración es con respecto a la medida de Haar de masa unitaria . Esta fórmula fue demostrada por Driver ^[3] y por Gross et al. ^[3] utilizando la construcción de medida gaussiana de la medida de Yang-Mills en el plano y definiendo el transporte paralelo interpretando la ecuación de transporte paralelo como una ecuación diferencial estocástica de Stratonovich . ${\displaystyle M}$ $${\displaystyle \int \varphi {\bigl (}h_{\gamma }(A){\bigr )}\,d\mu _{T}(A)=\int _{G}\varphi (x)Q_{Ta}(x)\,dx,}$$ ${\displaystyle Q_{t}(y)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \gamma }$

Si es la 2-esfera entonces ${\displaystyle M}$

$${\displaystyle \int \varphi {\bigl (}h_{\gamma }(A){\bigr )}\,d\mu _{T}(A)={\frac {1}{Q_{Tc}(e)}}\int _{G}\varphi (x)Q_{Ta}(x)Q_{Tb}(x^{-1})\,dx,}$$

donde ahora es el área de la región "externa" del bucle , y es el área total de la esfera. Esta fórmula fue demostrada por Sengupta ^[5] utilizando la construcción de la medida gaussiana condicionada de la medida de Yang-Mills y el resultado concuerda con lo que se obtiene utilizando la acción del núcleo de calor de Menotti y Onofri. ^[2] ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle c}$

Como ejemplo para superficies de género superior, si es un toro , entonces ${\displaystyle M}$

$${\displaystyle \int \varphi {\bigl (}h_{\gamma }(A){\bigr )}\,d\mu _{T}(A)={\frac {\int _{G}\varphi (x)Q_{Ta}(x)Q_{Tb}(x^{-1}wzw^{-1}z^{-1})\,dx\,dw\,dz}{\int _{G}Q_{Tc}(wzw^{-1}z^{-1})\,dw\,dz}},}$$

siendo el área total del toro y un bucle contráctil en el toro que encierra un área . Esto, y sus contrapartes en géneros superiores, así como para superficies con borde y para haces con topología no trivial, fueron demostrados por Sengupta. ^{[6] [8]} ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle a}$

Existe una extensa literatura de física sobre los valores esperados de bucle en la teoría bidimensional de Yang-Mills. ^{[18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25]} Muchas de las fórmulas anteriores se conocían en la literatura de física desde la década de 1970, con los resultados expresados ​​inicialmente en términos de una suma sobre los caracteres del grupo de calibración en lugar del núcleo de calor y con la función siendo la traza en alguna representación del grupo. Las expresiones que involucran el núcleo de calor aparecieron luego explícitamente en la forma de la "acción del núcleo de calor" en el trabajo de Menotti y Onofri. ^[2] El papel de la propiedad de convolución del núcleo de calor se utilizó en los trabajos de Sergio Albeverio et al. ^{[26] [27]} en la construcción de procesos estocásticos de cosuperficie inspirados en la teoría de Yang-Mills e, indirectamente, por Makeenko y Migdal ^[22] en la literatura de física. ${\displaystyle \varphi }$

El límite bajo de testosterona

La función de partición de Yang-Mills es, formalmente,

${\displaystyle \int e^{-{\frac {1}{T}}S_{YM}(A)}\,DA}$

En el caso bidimensional podemos considerar que esto es (proporcional al) denominador que aparece en los valores esperados del bucle. Así, por ejemplo, la función de partición para el toro sería

$${\displaystyle \int _{G^{2}}Q_{TS}(aba^{-1}b^{-1})\,da\,db,}$$

donde es el área del toro. En dos de los trabajos más impactantes ^{[28] [29]} en el campo, Edward Witten mostró que como la función de partición produce el volumen del espacio de módulos de conexiones planas con respecto a una medida de volumen natural en el espacio de módulos. Esta medida de volumen está asociada a una estructura simpléctica natural en el espacio de módulos cuando la superficie es orientable , y es la torsión de un cierto complejo en el caso en que la superficie no es orientable. El descubrimiento de Witten ha sido estudiado de diferentes maneras por varios investigadores. ^{[30] [31] [32]} Sea el espacio de módulos de conexiones planas en un fibrado trivial, con grupo de estructura siendo un grupo de Lie semisimple compacto conexo cuya álgebra de Lie está equipada con una métrica Ad-invariante, sobre una variedad orientable bidimensional compacta de género . Witten mostró ^[28] que el volumen simpléctico de este espacio de módulos está dado por ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle T\downarrow 0}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{g}^{0}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle g\geq 2}$

$${\displaystyle \operatorname {vol} _{\overline {\Omega }}{\bigl (}{\mathcal {M}}_{g}^{0}{\bigr )}=|Z(G)|\operatorname {vol} (G)^{2g-2}\sum _{\alpha }{\frac {1}{(\dim \alpha )^{2g-2}}},}$$

donde la suma es sobre todas las representaciones irreducibles de . Esto fue probado rigurosamente por Sengupta ^[33] (ver también los trabajos de Lisa Jeffrey y de Kefeng Liu ^[34] ). Existe una gran literatura ^{[35] [36] [37] [ 38] [39]} sobre la estructura simpléctica en el espacio de módulos de conexiones planas, y más generalmente sobre el espacio de módulos en sí, siendo el trabajo temprano más importante el de Michael Atiyah y Raoul Bott . ^[40] ${\displaystyle G}$

Volviendo a la medida de Yang-Mills, Sengupta ^[33] demostró que la medida en sí converge en un sentido débil a un múltiplo adecuadamente escalado de la medida de volumen simpléctico para superficies orientables de género . Thierry Lévy y James R. Norris ^[41] establecieron un principio de grandes desviaciones para esta convergencia, mostrando que la medida de Yang-Mills codifica el funcional de acción de Yang-Mills aunque este funcional no aparece explícitamente en la formulación rigurosa de la medida. ${\displaystyle \geq 2}$

El grande-nortelímite

El límite N grande de las teorías de calibración se refiere al comportamiento de la teoría para grupos de calibración de la forma , , , , y otras familias similares, como . Existe una gran literatura de física sobre este tema, incluidos los primeros trabajos importantes de Gerardus 't Hooft . Una herramienta clave en este análisis es la ecuación de Makeenko-Migdal. ${\displaystyle U(N)}$ ${\displaystyle SU(N)}$ ${\displaystyle O(N)}$ ${\displaystyle SO(N)}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \uparrow \infty }$

En dos dimensiones, la ecuación de Makeenko-Migdal adopta una forma especial desarrollada por Kazakov y Kostov. En el límite de N grande, la forma 2-D de la ecuación de Makeenko-Migdal relaciona la función de bucle de Wilson para una curva complicada con múltiples cruces con el producto de las funciones de bucle de Wilson para un par de curvas más simples con al menos una intersección menos. En el caso de la esfera o el plano, se propuso que la ecuación de Makeenko-Migdal podría (en principio) reducir el cálculo de las funciones de bucle de Wilson para curvas arbitrarias a la función de bucle de Wilson para una curva cerrada simple.

En la dimensión 2, algunas de las ideas principales fueron propuestas por IM Singer ^[42] , quien nombró a este límite el campo maestro (una noción general en algunas áreas de la física ). Xu ^[43] estudió el límite grande de los valores esperados del bucle de Yang-Mills bidimensional utilizando ideas de la teoría de matrices aleatorias . Sengupta ^{[44] calculó el límite} N grande de los valores esperados del bucle en el plano y comentó sobre la conexión con la probabilidad libre. Confirmando una propuesta de Singer, ^[42] Michael Anshelevich y Sengupta ^[45] demostraron que el límite N grande de la medida de Yang-Mills sobre el plano para los grupos está dado por una contraparte teórica de probabilidad libre de la medida de Yang-Mills. Thierry Lévy realizó un estudio extenso del campo maestro en el plano. ^{[46] [47] Bruce K. Driver, Brian C. Hall y Todd Kemp, [48]} Franck Gabriel, ^[49] y Antoine Dahlqvist han realizado varias contribuciones importantes . ^[50] Dahlqvist y Norris ^[51] han construido el campo maestro en la esfera bidimensional. ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle U(N)}$

En dimensiones espacio-temporales mayores a 2, hay muy poco en términos de resultados matemáticos rigurosos. Sourav Chatterjee ha demostrado varios resultados en teoría de calibre N grande para dimensiones mayores a 2. Chatterjee ^[52] estableció una fórmula explícita para el término principal de la energía libre de la teoría de calibre reticular tridimensional para cualquier N, ya que el espaciamiento reticular tiende a cero. Sea la función de partición de la teoría de calibre reticular -dimensional con fuerza de acoplamiento en la caja con espaciamiento reticular y tamaño siendo n espaciamientos en cada dirección. Chatterjee mostró que en dimensiones d = 2 y 3, es hasta el orden principal en , donde es un término de energía libre límite. También se obtuvo un resultado similar para en dimensión 4, para , , y de forma independiente. ${\displaystyle U(N)}$ ${\displaystyle Z(n,\varepsilon ,g)}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle U(N)}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \log Z(n,\varepsilon ,g)}$ $${\displaystyle n^{d}\left({\frac {1}{2}}(d-1)N^{2}\log(g^{2}\varepsilon ^{4-d})+(d-1)\log \left({\frac {\prod _{j=1}^{N-1}j!}{(2\pi )^{N/2}}}\right)+N^{2}K_{d}\right)}$$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle K_{d}}$ ${\displaystyle n\to \infty }$ ${\displaystyle \varepsilon \to 0}$ ${\displaystyle g\to 0}$

Referencias

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