Integral de Stratonovich

Integral used in physics

En los procesos estocásticos , la integral de Stratonovich o integral de Fisk-Stratonovich (desarrollada simultáneamente por Ruslan Stratonovich y Donald Fisk) es una integral estocástica , la alternativa más común a la integral de Itô . Aunque la integral de Itô es la opción habitual en matemáticas aplicadas, la integral de Stratonovich se utiliza con frecuencia en física.

En algunas circunstancias, las integrales de la definición de Stratonovich son más fáciles de manipular. A diferencia del cálculo de Itô , las integrales de Stratonovich se definen de modo que se cumpla la regla de la cadena del cálculo ordinario.

Quizás la situación más común en la que se encuentran es como solución a las ecuaciones diferenciales estocásticas de Stratonovich (EDS). Estas son equivalentes a las EDS de Itô y es posible realizar conversiones entre las dos siempre que una definición sea más conveniente.

Definición

La integral de Stratonovich se puede definir de manera similar a la integral de Riemann , es decir, como un límite de sumas de Riemann . Supongamos que es un proceso de Wiener y es una semimartingala adaptada a la filtración natural del proceso de Wiener. Entonces la integral de Stratonovich ${\displaystyle W:[0,T]\times \Omega \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle X:[0,T]\times \Omega \to \mathbb {R} }$

${\displaystyle \int _{0}^{T}X_{t}\circ \mathrm {d} W_{t}}$

es una variable aleatoria definida como el límite en el cuadrado medio de ^[1] ${\displaystyle :\Omega \to \mathbb {R} }$

${\displaystyle \sum _{i=0}^{k-1}{X_{t_{i+1}}+X_{t_{i}} \over 2}\left(W_{t_{i+1}}-W_{t_{i}}\right)}$

a medida que la malla de la partición de tiende a 0 (en el estilo de una integral de Riemann-Stieltjes ). ${\displaystyle 0=t_{0}<t_{1}<\dots <t_{k}=T}$ ${\displaystyle [0,T]}$

Cálculo

Se pueden utilizar muchas técnicas de integración del cálculo ordinario para la integral de Stratonovich, por ejemplo: si es una función suave, entonces ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$

${\displaystyle \int _{0}^{T}f'(W_{t})\circ \mathrm {d} W_{t}=f(W_{T})-f(W_{0})}$

y más generalmente, si es una función suave, entonces ${\displaystyle f:\mathbb {R} \times \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$

${\displaystyle \int _{0}^{T}{\partial f \over \partial W}(W_{t},t)\circ \mathrm {d} W_{t}+\int _{0}^{T}{\partial f \over \partial t}(W_{t},t)\,\mathrm {d} t=f(W_{T},T)-f(W_{0},0).}$

Esta última regla es similar a la regla de la cadena del cálculo ordinario.

Métodos numéricos

Las integrales estocásticas rara vez se pueden resolver en forma analítica, lo que hace que la integración numérica estocástica sea un tema importante en todos los usos de las integrales estocásticas. Varias aproximaciones numéricas convergen a la integral de Stratonovich, y se utilizan variaciones de estas para resolver las ecuaciones diferenciales de Stratonovich (Kloeden y Platen 1992). Sin embargo, cabe señalar que el esquema de Euler más utilizado (el método de Euler-Maruyama ) para la solución numérica de las ecuaciones de Langevin requiere que la ecuación esté en forma de Itô. ^[2]

Notación diferencial

Si , y son procesos estocásticos tales que ${\displaystyle X_{t},Y_{t}}$ ${\displaystyle Z_{t}}$

${\displaystyle X_{T}-X_{0}=\int _{0}^{T}Y_{t}\circ \mathrm {d} W_{t}+\int _{0}^{T}Z_{t}\,\mathrm {d} t}$

Para todos , también escribimos ${\displaystyle T>0}$

${\displaystyle \mathrm {d} X=Y\circ \mathrm {d} W+Z\,\mathrm {d} t.}$

Esta notación se utiliza a menudo para formular ecuaciones diferenciales estocásticas (EDS), que en realidad son ecuaciones sobre integrales estocásticas. Es compatible con la notación del cálculo ordinario, por ejemplo

${\displaystyle \mathrm {d} (t^{2}\,W^{3})=3t^{2}W^{2}\circ \mathrm {d} W+2tW^{3}\,\mathrm {d} t.}$

Comparación con la integral de Itô

La integral de Itô del proceso con respecto al proceso de Wiener se denota por (sin el círculo). Para su definición se utiliza el mismo procedimiento que el anterior en la definición de la integral de Stratonovich, excepto que se elige el valor del proceso en el extremo izquierdo de cada subintervalo, es decir, ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle W}$ $${\displaystyle \int _{0}^{T}X_{t}\,\mathrm {d} W_{t}}$$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle X_{t_{i}}}$en lugar de ${\displaystyle (X_{t_{i+1}}+X_{t_{i}})/2}$

Esta integral no obedece la regla de la cadena ordinaria como lo hace la integral de Stratonovich; en su lugar hay que utilizar el lema de Itô, ligeramente más complicado .

La conversión entre las integrales de Itô y Stratonovich se puede realizar utilizando la fórmula

${\displaystyle \int _{0}^{T}f(W_{t},t)\circ \mathrm {d} W_{t}={\frac {1}{2}}\int _{0}^{T}{\partial f \over \partial W}(W_{t},t)\,\mathrm {d} t+\int _{0}^{T}f(W_{t},t)\,\mathrm {d} W_{t},}$

donde es cualquier función continuamente diferenciable de dos variables y y la última integral es una integral de Itô (Kloeden y Platen 1992, p. 101). ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle t}$

Las ecuaciones de Langevin ejemplifican la importancia de especificar la interpretación (Stratonovich o Itô) en un problema dado. Supongamos que es una difusión de Itô homogénea en el tiempo con un coeficiente de difusión continuamente diferenciable , es decir, satisface la SDE . Para obtener la versión de Stratonovich correspondiente, el término (en la interpretación de Itô) debe traducirse a (en la interpretación de Stratonovich) como ${\displaystyle X_{t}}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \mathrm {d} X_{t}=\mu (X_{t})\,\mathrm {d} t+\sigma (X_{t})\,\mathrm {d} W_{t}}$ ${\displaystyle \sigma (X_{t})\,\mathrm {d} W_{t}}$ ${\displaystyle \sigma (X_{t})\circ \mathrm {d} W_{t}}$

${\displaystyle \int _{0}^{T}\sigma (X_{t})\circ \mathrm {d} W_{t}={\frac {1}{2}}\int _{0}^{T}{\frac {d\sigma }{dx}}(X_{t})\sigma (X_{t})\,\mathrm {d} t+\int _{0}^{T}\sigma (X_{t})\,\mathrm {d} W_{t}.}$

Obviamente, si es independiente de , las dos interpretaciones conducirán a la misma forma para la ecuación de Langevin. En ese caso, el término de ruido se llama "aditivo" (ya que el término de ruido se multiplica solo por un coeficiente fijo). De lo contrario, si , la ecuación de Langevin en forma de Itô puede, en general, diferir de la que tiene en forma de Stratonovich, en cuyo caso el término de ruido se llama multiplicativo (es decir, el ruido se multiplica por una función de que es ). ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle X_{t}}$ ${\displaystyle dW_{t}}$ ${\displaystyle \sigma =\sigma (X_{t})}$ ${\displaystyle dW_{t}}$ ${\displaystyle X_{t}}$ ${\displaystyle \sigma (X_{t})}$

De manera más general, para dos semimartingalas cualesquiera y ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

${\displaystyle \int _{0}^{T}X_{s-}\circ \mathrm {d} Y_{s}=\int _{0}^{T}X_{s-}\,\mathrm {d} Y_{s}+{\frac {1}{2}}[X,Y]_{T}^{c},}$

donde es la parte continua de la covariación . ${\displaystyle [X,Y]_{T}^{c}}$

Integrales de Stratonovich en aplicaciones

La integral de Stratonovich carece de la importante propiedad de la integral de Itô, que no "mira hacia el futuro". En muchas aplicaciones del mundo real, como la modelización de los precios de las acciones, solo se dispone de información sobre los acontecimientos pasados, por lo que la interpretación de Itô es más natural. En las matemáticas financieras se suele utilizar la interpretación de Itô.

En física, sin embargo, las integrales estocásticas se presentan como soluciones de ecuaciones de Langevin . Una ecuación de Langevin es una versión de grano grueso de un modelo más microscópico (Risken 1996); dependiendo del problema en consideración, la interpretación de Stratonovich o Itô o incluso interpretaciones más exóticas como la interpretación isotérmica, son apropiadas. La interpretación de Stratonovich es la interpretación más utilizada dentro de las ciencias físicas.

El teorema de Wong-Zakai establece que los sistemas físicos con espectro de ruido no blanco caracterizado por un tiempo de correlación de ruido finito pueden aproximarse mediante ecuaciones de Langevin con ruido blanco en la interpretación de Stratonovich en el límite donde tiende a cero. ^{[ cita requerida ]} ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \tau }$

Debido a que el cálculo de Stratonovich satisface la regla de la cadena ordinaria, las ecuaciones diferenciales estocásticas (EDS) en el sentido de Stratonovich son más sencillas de definir en variedades diferenciables , en lugar de solo en . La complicada regla de la cadena del cálculo de Itô lo convierte en una opción más complicada para las variedades. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Interpretación de Stratonovich y teoría supersimétrica de ecuaciones diferenciales parciales

En la teoría supersimétrica de las ecuaciones diferenciales simples, se considera el operador de evolución obtenido promediando el pullback inducido en el álgebra exterior del espacio de fases por el flujo estocástico determinado por una ecuación diferencial simple. En este contexto, resulta natural utilizar la interpretación de Stratonovich de las ecuaciones diferenciales simples.

Notas

1. Gardiner (2004), pág. 98 y el comentario en la pág. 101
2. Perez-Carrasco R.; Sancho JM (2010). "Algoritmos estocásticos para ruido blanco multiplicativo discontinuo" (PDF) . Phys. Rev. E . 81 (3): 032104. Bibcode :2010PhRvE..81c2104P. doi :10.1103/PhysRevE.81.032104. PMID  20365796.

Referencias

• Øksendal, Bernt K. (2003). Ecuaciones diferenciales estocásticas: una introducción con aplicaciones . Springer, Berlín. ISBN 3-540-04758-1.
• Gardiner, Crispin W. (2004). Manual de métodos estocásticos (3.ª edición). Springer, Berlín-Heidelberg. ISBN 3-540-20882-8.
• Jarrow, Robert; Protter, Philip (2004). "Una breve historia de la integración estocástica y las finanzas matemáticas: los primeros años, 1880-1970". IMS Lecture Notes Monograph . 45 : 1–17. CiteSeerX  10.1.1.114.632 .
• Kloeden, Peter E.; Platina, Eckhard (1992). Solución numérica de ecuaciones diferenciales estocásticas . Aplicaciones de las Matemáticas. Berlín, Nueva York: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-54062-5..

• Arriesgado, Hannes (1996). La ecuación de Fokker-Planck . Serie Springer en Sinergética. Berlín, Heidelberg: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-61530-9..